追求深度学习，促进思维生长——以“对数函数”教学为例

南京航空航天大学附属高级中学 (210007) 吴 茹 孔德鹏

数学深度学习指以数学学科的核心内容为载体，以提升学生的思维品质与数学素养为目标，以整体分析与理解相关内容本质为策略，通过精心设计问题情境，引发学生认知冲突，组织学生全身心参与学习活动，使学生体验成功、获得发展的有意义的学习过程[1].数学深度学习不仅是数学学习的内在要求，也是时代对数学学习的更高要求.数学深度学习不仅注重知识、技能及数学方法的理解与掌握，更注重一般性思维策略与品质的提升，让学生在数学学习中学会思考.笔者以“对数函数”教学为例，谈谈指向深度学习的数学教学设计及思考.

一、学习内容分析

“对数函数”是苏教版《普通高中教科书·数学》(必修第一册)第6章第3节的内容.本单元内容包括对数函数的概念、图象及性质，共2课时.本节课是第一课时，主要学习内容是：通过细胞分裂具体实例，得到对数函数的概念；通过借助指数函数的研究经验，探究对数函数的图象及性质；应用对数函数性质解决一些简单问题.

本单元是在研究对数、函数的概念与性质、幂函数及指数函数的基础上，进一步研究对数函数的概念、图象与性质.学生可以借助研究指数函数的活动经验，探究对数函数的图象与性质.对数函数作为基本初等函数之一，是函数主题的重要内容，在导数章节也会研究与之相关的函数.另外，对数函数模型也是分析和解决实际问题的重要工具，如研究地震震级、声音分贝、PH测定等.

基于以上分析，笔者将本节课的重点设置为：对数函数的图象及性质.通过回顾指数函数的概念、图象及性质，进而回顾指数函数的学习经验，类比指数函数图象与性质的研究方法，自主探究对数函数的图象及性质.

二、教学目标设置

开展教学活动的前提是要有明确的教学目标，教学目标既是教学的出发点，也是教与学的归宿[1].结合《普通高中数学课程标准(2020年修订版)》(以下简称《标准》)要求和教材上的内容安排，将本节课的目标设置为：

(1)从具体实例中抽象出对数函数的特征，并能用数学符号语言表达，了解对数函数的概念，提升数学抽象核心素养；

(2)能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性、特殊点等性质；

(3)知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0，a≠1)；

(4)通过借助指数函数的学习经验，自主探究对数函数的图象、性质，提高从数学角度提出和解决问题能力，培养创新精神，发展直观想象、逻辑推理等核心素养；

(5)回顾对数函数的研究过程，进一步体会研究具体函数的一般方法，促进自主学习能力提升，促进深度学习.

三、 教学过程设计

1. 创设情境，抽象概念

问题1回顾研究指数函数的研究过程，想想我们研究了指数函数的哪些内容？是如何展开研究的？

学生容易想到主要研究了指数函数的定义、图象及性质；研究过程是先通过具体的生活情境，得到指数函数的抽象定义，再通过画几个具体指数函数图象，总结归纳指数函数的性质；请学生说说指数函数的性质，如定义域、值域、定点、单调性等.

设计意图：从整体上考虑，对数函数是在指数函数的研究基础上进行的，不应该分开研究，而是应该进行类比研究；引导学生回忆研究指数函数的研究过程，从学生的最近发展区出发，盘活研究函数的基本经验，为学生自主探究对数函数的图象及性质做好思维铺垫.

问题2某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……假设细胞分裂的次数为x，相应的细胞个数为y，则y=2x.因此知道x的值，就能求出y的值.现在我们来研究相反的问题：知道了细胞个数y，如何确定分裂次数x？

学生通过将指数式改写为对数式，得到x=log2y.

设计意图：再次通过学生熟悉的细胞分裂问题创设情境，一方面帮助学生进一步理解指数函数的概念，同时也让学生进一步体会欧拉曾说过的“对数源出于指数”；另一方面，熟悉的情境贴近学生心理，符合学生认知规律，能激发学生的探究欲望.

问题3对于这个对应关系x=log2y，它是一个函数吗？

这个问题需要给学生足够的思考时间，启发学生用函数的定义去判断这个对应是否为函数.函数y=2x是在R上单调递增，那么x与y一定是一一对应的，对于每一个给定的y值，都有唯一的x与之对应.所以根据函数的定义，x=log2y是一个函数，这里面y表示自变量，x表示函数值.而我们习惯上用x表示自变量，y表示它的函数.这样上面这个函数就可以写成y=log2x形式.

设计意图：通过判断x=log2y是否为函数，引导学生深度思考.这不仅可以进一步帮助学生理解函数的概念，发展学生的逻辑思维；而且可以为对数函数概念的形成提供理论支撑，让学生潜移默化中感受到指对函数之间的联系，进而借助指数函数的基本经验研究对数函数的图象及性质.

问题4对于函数y=log2x，你会提出哪些问题？

由于之前的铺垫，学生自然会想到几个问题：(1)这个函数叫什么函数？能不能类比指数函数，取名叫对数函数？(2)函数y=log2x的图象是怎么样？有什么性质？(3)函数y=2x与y=log2x有什么联系？解决第一个问题，就可以抽象得出对数函数的定义；解决第二个问题，就可以通过描点法得到其图象，注意图象与y轴的关系，并能够加以解释；不仅如此，学生在描点时会发现所描点正好和y=2x描的点的横纵坐标是反着的，进而激发学生画出y=2x的图象，经过比较分析，得到两个函数图象关于直线y=x对称.

设计意图：通过学生主动思考，提出问题，培养学生发现并提出问题的能力，激发学生的创造思维；通过解决学生提出的问题，自然地抽象出对数函数的概念，通过研究函数y=log2x的图象，让学生初步感受y=log2x的图象及与指数函数y=2x图象的关系，能为接下来的探究指明方向.

2.自主探究，分享交流

刚刚研究一个特殊的对数函数的图象及性质，不具有一般性.本节课的重点是通过几组具体的对数函数，总结归纳出一般对数函数的图象及性质.

问题5基于研究指数函数的经验，试探究对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图象与性质.

由学生自己确定研究的具体函数模型，一部分学生类比指数函数描点作图，一部分学生利用对称性作图.再由图象总结对数函数的性质，最后通过希沃助手，投影学生的研究成果，分享归纳对数函数的图象及性质.

设计意图：对问题5的处理，将主动权完全放给学生，由之前的学习经验学生会选择不同的底数的对数函数进行研究，或与同底指数函数进行比较研究，这给学生提供更广阔的探究空间，进一步积累了数学探究的经验；学生自己发现性质不仅提高了学生探究的积极性和成就感，也有利于学生创造思维的发展，提升学生直观想象及逻辑推理等核心素养；通过互动交流，优化学生的认知结构，提升学生的数学表达能力.

3.基于经验，自主编题

在初步认识了对数函数的概念、图象及性质后，接下来便是简单应用.在指数函数的过程中，指数函数的简单应用是比较大小、解方程、解不等式及求指数型函数的定义域、值域等问题.

问题6基于研究指数函数的经验，结合本节课所学内容，请设计一道例题.

类比指数函数图象及性质的应用，引导学生思考对数函数的图象及性质可以解决的问题，并尝试编题.

设计意图：数学学习不仅学习知识，更要以知识为载体，发展学生的发散和创造性思维.通过这种“自给自足”的解题方式，促进学生的深度学习，使学生真正理解对数函数的图象及性质；有利于培养学生类比迁移的能力，培养学生的创造性思维；通过角色转换，学生体验编题的喜悦，激发学生数学学习的兴趣.

4.总结概括，形成经验

问题7今天借助研究指数函数的学习经验，研究了对数函数的图象与性质.如果以后再遇到一个陌生的函数模型，我们该如何展开研究呢？

设计意图：通过回顾类比指数函数的学习经验展开对数函数的学习过程，使学生进一步体会研究函数的一般方法，形成一般性思维策略，帮助学生学会学习.

5.问题延伸，能力提升

问题8函数y=ax与y=logax(a>0，a≠1)互为反函数，如何理解“反”？

设计意图：通过提出新问题，再聚焦“核心知识”，促进学生课后继续对两个函数深度思考.这不仅能够促进学生对数学知识整体性的理解，思考两者在概念、图象及性质上的联系，而且可以让学生体会用联系的眼光看问题，进而可以联想到类比指数函数问题解决策略解决对数函数相关问题，为下节课内容做铺垫.

四、教学反思

1. 努力提高学生提出问题能力，促进深度思考

顾明远教授说：“新世纪的教育要求学生独立思考，敢想敢做，勇于创新，不能提出问题的学生不是一个好学生[2].”发现并提出问题能力是发展学生数学核心素养的重要途径，《标准》强调培养学生“四能”，强调数学要促进思维的发展就必须培养学生的问题意识，学生只有发现问题，才能真正调动内驱力.培养学生发现和提出问题的主阵地就是数学课堂，在现行数学课堂中，仍有部分教师是“教师问——学生答”的模式，学生没有提出问题的机会，这样不利于发展学生的创新精神及发散思维.所以，教师要努力改变自己的教学行为，教学设计的出发点要注重培养学生提问题能力，特别是能够引发深入思考的问题，只有这样学生才能真正做到学会思考.

一个好的情境，能够吸引学生的注意力，激发学生的好奇心及求知欲，进而可以引导学生发现并提出问题，使学生真正成为学习的主体.创设的情境要能让学生联想新旧知识的关联，进而根据已有的学习经验，进行发问.在本课例中，笔者利用与指数函数相同的情境引入新课，利用相反的问题，通过指对互化得到新的函数，再根据函数书写习惯，变成y=log2x的形式，学生自然会提出问题：y=log2x的图象是什么样的？它和y=2x这两者有什么关系.对学生而言，对数是很陌生的，现在又研究对数函数，学生内心是抗拒的，通过创造这样一个好时机，让学生自己联系到指数函数，拉近学生与新学知识的距离，可以让学生主动探究新知，真正成为学习的主体.在教学过程中，教师如能坚持有意识培养学生的发问意识，潜移默化中促进学生深度思考，提升学生的创新思维，才能培养出具备创新意识和探索精神的新型人才.

2.类比引领学生自主探究，促进深度理解

建构主义认为，学习是学习者以自身已有知识和经验为基础的主动的建构活动，不应被看成对教师所授知识的被动接受[3].在教学中，应从学生的最近发展区出发，引导学生抓住知识或方法之间的联系，进行有效的自主探究活动，帮助学生建立良好的认知结构.比如，在概念课、性质课、定理课等引入环节，常常可以从新知在整个知识体系中的地位、与已学知识内部联系出发，回忆基本活动经验，提出新的问题，引导学生进行类比探究，实现有效的知识建构.

对数函数是学生在研究指数函数的基础上进行研究的，研究内容和方法基本相同，学生可以借助研究指数函数的活动经验，进行自主探究对数函数的图象、性质及应用.在本课例中，将主动权交给学生，没有给学生具体的对数函数进行研究，这恰恰给学生更大的空间.有的学生会选择描点作图，有的学生选择对称作图，而且发现了比教材上更多的性质，学生课堂上积极性高，讨论热烈，取得不错的效果.在应用环节上，学生能够类比指数函数的应用，出题类型众多，有比较大小、解不等式、求定义域等问题，还有一位同学出了一道实际应用问题，真正做到了学以致用.

像这样把具有相似结构的一类课建立联系进行整体设计，即通过对数学教材的“深度理解”，将已形成的学习经验迁移至新的情境中，类比学习新知，以简驭繁，解决相应问题，完善认知结构.通过类比学生自主研究的这种形式，不再是单纯知识的传递，更注重学生的学，在探究交流中，能更好的落实自主探究、合作交流等教学方式，这也将更有利于学生在学习过程中将自己的经历转化为有效的基本活动经验.

3. 努力做好深度教学，促进学生深度学习

随着新一轮课改的启动，高考改革的深入推进.作为新高考的“风向标”卷，2020年普通高中学校招生全国统一考试·新高考卷Ⅰ(山东)有向“素养立意”转变的特点，在试题的难度设计上不仅有层次性，而且在思维上有灵活性、深刻性，方法上有综合性、探究性和创造性等.这样的难度设计有利于高校选拔人才，也有利于中学数学教学的改革.面对新高考形势变革，数学教学不能只满足于数学知识与技能的简单积累，而应该更加注重通过数学教学，让学生真正理解数学内容，建立整体性的认识，形成一般性的思维策略，努力提升核心素养.

如果教师做不到“深度教学”，学生就很难真正做到“深度学习”.这对教师提出更高的要求，数学教学必须围绕数学问题进行深度教学，帮助学生形成一般性的思维策略，让学生真正做到“学懂、学活、学深”.深度教学的重要的环节分为：建立联系、问题引领、分享交流、学会学习.在本案例中，通过解决问题1和2，盘活指数函数的活动经验，能够让学生在后续研究中确定研究对数函数方法，也能让学生初步感知指对函数之间的关系(建立联系)；通过对一个特殊的对数函数y=log2x的研究，让学生了解它的图象与性质，也能为解决问题3(问题引领)，提供一定的经验，在总结对数函数的图象及性质时，展示多位学生画的图象，请多位学生总结归纳对数函数图象及性质(分享交流)，紧接着让学生自主命题，应用新知；通过问题7的解决，让学生深度思考研究函数的一般方法，形成一般性的思维策略(学会学习).

用联系的观点来分析思考，才能更深入的认识；相反地，只有更深入的认识，才更容易发现不同对象的联系.重视问题串设计，只有适当的问题才能引领学生更深刻地思考，提升思维.如果教师能够长期坚持深度教学，深度学习自然就会成为学生的自觉行为，学生的全面发展和核心素养的提升也必将落到实处.