渗透变中不变思想 提升数学抽象能力

文 尹 力 郭修瑾

在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的对象，需要在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质就是变中不变的思想。变中不变思想是数学抽象派生出的数学思想，从变化中寻找不变是舍弃非本质因素，聚焦本质特征的过程。渗透变中不变思想有利于学生体会变化的生活现象和数学问题中蕴含不变的规律，启发学生感知数学学科的特点，形成透过表象看本质的意识，进而促进学生数学抽象能力的发展。因此，教师要在课堂教学中有意识地挖掘并渗透变中不变思想。

一、概念深化时渗透变中不变思想

学习概念时，首先借助典型例证帮助学生形成初步认识。接着，运用各种形式丰富的非典型例证将概念精致化，促使学生深化概念。可见，概念的例证多变，但概念的本质不变，引导学生从不同例证中悟到它们所共有的本质特征是学习概念时变中不变思想。这一过程中，多样的例证会首先刺激学生的感官，吸引学生注意，甚至对新概念的建构造成干扰，教师若能将不同的例证进行比较分析，提问学生“什么变了，什么没变”“变与不变哪个更重要”等，将助力学生深入认识概念，感悟变中不变思想。

比如《认识一个物体的几分之一》教学中，教师先结合主题图认识二分之一，随后让学生用正方形纸折一折，涂出其中的二分之一。集体交流时，将不同的折法进行比较，提问学生“为什么折法不同，却都能表示二分之一”，引导学生体会虽然折与涂的方法不同，但“平均分成两份，涂其中一份”不变，因而都能表示二分之一。进一步，我们还可以让学生用不同形状的纸折一折、涂一涂表示二分之一。反馈时则聚焦“纸的形状可以随意变化”，但“平均分成两份，表示其中一份”的特点不变。经历以上环节，学生能明显体会到表示分数时什么是重要的、什么是不重要的、什么可以变化的、什么不能变的，从而“变中不变”的思想也能顺势点明。

再如《认识三角形的高》教学中，教师先引导学生认识竖直方向的高，在纠错或画高等练习中接触任意方向的高，深化高的概念教学。显然，这一过程中不论高的方向如何变化，“顶点到对边的垂直线段”的本质特征不变。随后，将各种三角形罗列在一起，提问学生“观察这些三角形的高，什么变了，什么不变”，引导学生舍弃形式、发现本质、体会思想。当然，学生还可能注意并提及其他变化的方面，但高的本质内涵总是不变的，这样的“节外生枝”将有利于学生感悟变中不变思想。

二、公式推导时渗透变中不变思想

公式推导是从已有经验演绎出新结论的过程。学生的已有经验往往是具体的、个别的，公式推导正是需要从这些具体经验开始，经过相同的演绎过程，获得普遍性的认识。不难发现，这一过程中学生的经验多变，而推导的过程与结论不变，变中不变思想便蕴含其中。教学时要将个体经验激发出来，充分体现变化的因素，再聚焦推导过程，关注不变的特点，最后引导学生回顾反思公式推导的过程就能从中提炼出变中不变的思想。

以平行四边形面积公式的推导为例，教师先结合一个平行四边形讲解公式推导的过程，随后要求学生自己设计一个平行四边形，试着像刚才那样推导出它的面积公式。学生自主设计平行四边形的环节十分关键，能让学生充分展示个体经验，使得集体交流时有丰富的素材。反馈时，先要求学生根据自己的平行四边形试着写一写、说一说推导过程，确保学生对公式的推导过程形成意义建构。然后选择并呈现几则案例提问：推导公式时什么变化？什么没变？引导学生发现，全班学生会设计出不同的平行四边形，它们的形状是变化的，但我们可以将任意平行四边形剪一剪、拼一拼得到面积相等的长方形，再发现平行四边形的高与长方形的宽、平行四边形的底与长方形的长的相等关系，由长方形的面积公式推出平行四边形的面积公式。也就是说，平行四边形的形状变化，但推导过程与结论不变，顺势提炼变中不变思想。

实际上，数学法则、定理的提炼过程与公式推导类似，也能渗透变中不变思想。因为提炼法则与定理时，我们总是从具体案例开始，对一个案例进行详细研究，再转向其他案例进行验证与提炼。这一过程中法则、定理不断由特殊向一般发展，不断由多变的形式向不变的本质聚合。提炼出一般的法则与定理后再引导学生回顾整个过程，变与不变的关系会突显出来，变中不变的思想便跃然纸上。

三、问题变式时渗透变中不变思想

问题变式是指将习得的新问题变换形式，但本质特征不变，驱动学生从不同角度、立足不同情境解决问题，深化学生理解，提高灵活运用的水平。问题变式有三种层次，分别是数据变式、情境变式与结构变式。数据变式是问题变式的最低层次，因问题情境未发生变化，学生能轻易关联解决问题的方法，但这种运用只停留于模仿水平。情境变式真正考验学生对问题的理解水平，因为缺乏相似情境的刺激，学生只有深刻理解问题，掌握解决问题方法的本质，才能顺利解决问题。前两者变化的是数据、情境等非本质因素，解决问题的方法未变。结构变式则是问题的基本结构发生变化，相应解决问题的方法也变了，但仍然蕴含不变的东西，即解决问题的思想。这是变式的最高层次，最具有启发的力量，能将看似完全不相干的问题联系起来。教学最后引导学生感受这类问题中无论数据、情境、方法如何变化，总能发现不变的东西，渗透变中不变思想。

如苏教版四年级上册的一则实际问题：小明买了3 本笔记本用了18 元，5 本笔记本需要多少元？数据变式：小明买了7 本笔记本用了42 元，15 本笔记本需要多少元？情境变式：15 本字典摞在一起是168 毫米，27 本字典摞在一起有多高？先要求学生解决问题，明确解决问题的思路，再提问学生“三道问题相比，什么变了，什么不变”，体会情境与数据在变，但都是先求“一倍量”，即解决问题的方法未变，初步感悟变中不变思想。随后呈现结构变式：原来一本字典15 元，降价后原来买20 本的钱现在能买30 本，现在一本字典多少元？解决结构变式问题后继续提问“与前三道问题相比，它们有什么相同点”。显然，该问题的结构也发生了变化，学生不能再沿用先前的思路解决，难以发现彼此间的联系，不妨继续启发：找找看，这几道问题都是先求什么？为什么先求这些量？经过分析，学生发现，前三道问题都是先求“一倍量”，第四题先求“总量”。在各自问题中，“一倍量”与“总量”都是确定的、不变的量。进而，我们可以启发学生体会，尽管第四道问题的结构发生变化，但解决问题的思路与之前相同，即先求出确定的量，再根据确定的量求出其他量。在结构变式中学生能挖掘出看似毫不相关的问题之间的联系，引发学生强烈的情感共鸣，学生对变中不变思想的体会也更加深刻。

四、整理回顾时渗透变中不变思想

数学知识是普遍联系的，整理回顾时应该把每堂课教学的知识置于整体知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体结构的联系，关联已有知识，进行比较与区分、建构与深化，将点状经验连成线、织成网、结成块，使学生感受数学的整体性。这一过程中，能够彼此关联的数学知识必然具有共性特征，不同内容蕴含同一本质，体现着变与不变两个方面，为变中不变思想的渗透创设了契机。教学时，教师要有全局观点，挖掘出学生的相关经验，能准确地洞悉本质，建构相关经验的内在关联。在此基础上，引导学生体会什么变化，什么不变，提炼变中不变思想。

如《异分母分数加、减法》是小学阶段加减法运算的最后一课，学完后及时引导学生整理复习，与以往学习的整数、小数、同分母分数和量的计量进行比较，就能从不同内容中挖掘共同的运算本质并渗透变中不变思想。《异分母分数加、减法》教毕，笔者结合具体案例引导学生回顾和反思：整数加、减法（32＋54），小数加、减法（3.2＋5.4），同分母分数加、减法（，异分母分数加、减法以及量的加、减法（5 米＋6 分米），它们有什么不同点？有什么相同点？使学生逐步发现：计算32+54 就是3 个十加5 个十等于8 个十，2 个一加4 个一等于6 个一，所以和是86；计算3.2+5.4 是3 个一加5 个一等于8 个一，2 个0.1 加4 个0.1 等于6 个0.1，所以和是8.6；计算就是2 个加3 个等于5 个，所以和是；计算异分母分数加、减法，如时，要先通分成，再用3 个加2个等于5 个，和就是；计算5 米+6 分米时，也要先把计量单位统一，然后再相加，要么把5 米+6 分米转化为50 分米+6 分米=56 分米，要么把5米+6 分米转化为5 米+0.6 米=5.6 米等。体会到虽然运算的对象不同，但算理相同，也就是计数（计量）单位相同时，可以把计数（计量）单位的个数直接相加、减，如果不同，就要设法先把计数（计量）单位转化成相同的，然后再加、减。至此，学生不难回答先前的问题：整数、小数、同分母分数、异分母分数和量的加减法什么不同，什么相同，从而教师能进一步引导学生体会其中蕴含的变中不变思想。

不管是“概念深化”“公式推导”“问题变式”还是“整理回顾”，都能体现“一”与“多”的关系，“一”是内在的、本质的、不变的，“多”是外在的、形式的、多变的。教学时要列举形式、挖掘本质，由多样的形式突显唯一的本质，加强对比、深化体验，变中不变的思想才会深入学生心里。课堂教学中广泛渗透变中不变思想的契机，紧扣以上核心思想，我们就能在课堂中自主挖掘、适时渗透，促进学生数学抽象能力的发展。