盘活数学思想，让面积“生长”更有力量——以《平行四边形面积》教学为例

文|张荷洁

数学思想是解决数学问题的重要法宝，小学数学教材文本中蕴含着丰富的数学思想。而小学阶段的教学，教师往往只注意知识的学习和积累，并未重视对这些知识起到联系作用的思想方法的掌握，这对学生数学后继学习能力的发展势必会造成不利的影响。教师要用心体察教材的编写意图，用好课本中的材料，凸显思想方法的作用。

《平行四边形面积》是多边形面积教学的起始课，用转化的思想方法推导面积计算公式对学生来说不仅是第一次，它还对学生进一步探究三角形、梯形面积具有较强的价值引领作用。纵观《平行四边形面积》一课的教学，一般都设计剪拼的环节，使学生感悟转化的思想，也为下一步面积的教学积累一定的活动经验。但转化思想的习得总感觉不是那么自然。怎样才能更好领悟教材编写的意图，使转化思想自然而然地发生？基于这样的思考，笔者从教材切入，对《平行四边形面积》教学进行了进一步的研究，以期将教材中丰富的数学思想化隐为显。本文结合《平行四边形面积》教学，聚焦于学生数学学习的生长点, 从叩问和教学反思与改进两个维度出发，就如何尝试探讨盘活数学思想，让面积“生长”更有力量做一些阐述。

一、以面积度量唤起经验，自主寻找面积“生长”根源

建构主义教学理论认为：教学要激活学生原有的知识经验，并让其作为基点，生长出新的经验。《平行四边形面积》的学习也不例外，教学要找准学生的思维原点，从而寻找学生思维的最近发展区。

1.叩问：如何自主寻找面积“生长”根源？

《数学课程标准（2011年版）》指出：面积是图形与几何领域测量部分的重要内容。“数起源于数，量起源于量。”这是大家熟知的一句名言。对于第二学段五年级的学生而言，线段属于一维图形的量已经比较熟悉，要知道线段的长短大都会用一维的长度单位去度量，而面积也是一种量，属于二维图形的量，相比之下，学生对面积这个量的认识要陌生得多。所以在教学《平行四边形面积》的引入中，如何让学生自主想到用二维的面积单位小方格去度量面积，这是《平行四边形面积》学习的数学本质，也是面积“生长”的根源所在。

2.教学反思与改进：用数学的眼光观察面积，唤起面积度量的经验。

《平行四边形面积》教学的引入，通常有如下两种，第一种教学引入：一部分教师采用类比法引入，长方形面积的计算方法是长乘宽，继而引发猜想：平行四边形的面积怎么求？于是有的学生用底和高相乘计算出平行四边形的面积，也有的学生用平行四边形的长和宽（两条邻边）相乘，进而提出问题，求平行四边形的面积计算到底能不能用邻边相乘的方法？第二种教学引入：一部分教师直接以数方格引入教学。如给出一个透明的方格纸，要求学生以方格纸为工具进行比对，从而数出平行四边形的面积。

分析第一种教学引入，平行四边形的面积学生还没有研究过，就直接要求学生计算它的面积，这样的引入势必会让部分学生感到为难，会引起学生错误的猜测。学生用平行四边形的长和宽（两条邻边）相乘计算面积，是因为受长方形面积公式表达形式负迁移的影响，而忽视了长方形面积公式是一个度量结果的实际意义。

分析第二种教学引入，以学生的已有经验为基础，能让学生开展方格纸的比对度量活动，继而计算平行四边形面积单位的数量，对理解平行四边形面积提供了意义支撑。但第二种教学引入，教师要“我”量的意图明显。

上面教学分析，引发了我的教学思考：能否变要我“量”为我要“量”，唤起学生自觉度量的意识呢？教学实践中我们对第二种教学引入做了如下的改进：在度量活动之前，唤起学生对平行四边形面积的意义感性认识。平行四边形面积是二维空间的量，其意义的理解对学生而言是认识上的一次飞跃，虽然学生在之前有学习“认识面积”和“长方形与正方形的面积”作为基础，但对于学生来说，经验积累还不厚实。引入新课时，要引导学生用数学的眼光观察图形，从熟悉的长方形面积入手，回忆长方形面积公式表达形式的实际意义，再通过类比与正向迁移，让学生先说说对平行四边形面积的认识，进一步理解平行四边形的面积同样是一个量，要计算平行四边形的面积，同样可以通过测量进行研究。

二、以化零为整解决困惑，让面积转化意识悄然萌芽

材料引起活动，材料引发思考。小方格是学生学习数学的重要材料，可以促进学生空间观念的形成和发展，在本课的学习中，数方格活动同样要赋予它丰富的教育价值。

1.叩问：如何让面积转化意识悄然萌芽？

不同版本小学数学教材的编排，都安排有数方格计算图形计算面积的活动，毫无疑问，数方格是一种直观度量面积的方法，是“度量思想”的重要载体，在《平行四边形面积》的教学中，应该如何挖掘数方格活动的教育价值？数方格活动如何才能更好地发挥作用？除了求得图形面积的结果外，数方格活动的过程能否引发学生思考，进而让面积转化意识悄然萌芽？这是笔者在本课教学研究中的另一个思考点。

2.教学反思与改进：数方格活动引发猜想，在化零为整中解决困惑。

教学中，用方格测量平行四边形的面积，会遭遇这样的尴尬：不满一格，该怎么算？为解决此问题，执教教师大都在数方格前就规定“不满一格的都按半格计算”，然后根据平行四边形和长方形数得的结果，引导学生进行比较，发现两个图形之间的等量关系，为后面的面积转化奠定基础。

分析以上教学，这样的规定能让数格子活动顺利地进行下去，但也束缚了学生的思维。为什么“不满一格都按半格计算”，对于这样的规定学生知其然而不知其所以然。何况这样的规定具有局限性，当平行四边形发生变形，底边和邻边的夹角越来越小时，这样的规定就会失去合理性，会导致计量结果的错误。

小学生的思维主要是形象思维，平面图形的转化需建立在熟知图形的特征基础上，如何让图形特征具体形象化，方格图是重要中介。为发挥小方格的作用，使数方格活动更有教学价值，教学实践中我们做了如下改进：在学生使用方格这个重要的数学工具时，不做“不满一格的都按半格计算”的规定，而是先放手让学生自己去探索、去研究。数方格的过程中学生自己会发现有的满格，有的不满格。不满格的面积怎么计量？从而引导学生从细微处入手，仔细观察在方格图中不满格的面积，利用方格图凸显图形特征的优势让学生进行空间想象，自觉产生不满格的图形面积可以拼补成完整格子面积的意识，然后再进行剪拼、平移、补整，通过出入相补活动，不满格的面积都凑成了满格的面积，最后再进行计数。解决问题的过程中化零为整的思想油然而生，不仅解决了不满格方格计量的困惑，也促进了面积转化的悄然萌芽。

三、以等积变形实现联结，让“面积生长”更通畅

布鲁纳的学习理论告诉我们：学习实质就是建立同类事物的联系。数学学习也是如此，教学中教师应引导学生把握知识内在整体关联，在探寻联系中主动建构知识，形成结构。在本课教学中，平行四边形面积学习同样要与它有关的内容发生关联,从而实现“教”与“学”的增值。

1.叩问：如何转化让面积“生长”更通畅？

转化是数学学习中一种最常用的基本思想方法，《多边形面积》这一单元中面积公式的推导都运用了转化的思想方法。根据教材编排的特点，多边形面积教学应根据图形间的内在联系安排教学顺序，促进教与学的迁移。将平行四边形转化成长方形，通常有两种方法：一种是通过变形将平行四边形“拉成”长方形；另一种是通过剪拼转化。究竟哪一种转化能让面积“生长”更通畅？相比较，第一种转化采用变形的方法，转化前后图形的形状发生了变化，面积也随着发生了变化，是属于不等量转化，不利于学生寻找面积之间的关联。而另一种转化采用剪拼的方法，转化前后图形的形状虽然发生了变化，但面积大小依然不变，属于等量转化。显然，要计算转化前图形的面积，学生有等量代换的活动经验，变化中抓住面积不变可以帮助学生找到图形之间的关系，从而顺利地解决问题。

2.教学反思与改进：于变中抓不变量，以等积变形实现联结。

纵观平行四边形面积的教学，不管是哪一种方法导学，教师都会引导学生经历将平行四边形转化成面积相同的长方形———等积变形的过程，再通过观察、比较，寻找图形之间的关联：观察转化前后的两个图形，你有什么发现？然后进行比较、沟通，得出平行四边形面积的计算公式。

数学是一门讲“理”的学科，数学知识的习得要由“理”来支撑，平行四边形面积公式的得出需要引导学生有理有据地推导，要发展学生的合情推理能力。但由于小学生注意力发展还不完善，教学中“变与不变”的同时出现，会分散学生的注意力，干扰学生的理解。如何在“变与不变”中更好地实现图形之间的联结，以达成对平行四边形面积计算的深刻理解？

人们认识事物总是从整体到部分，然后再由表及里，逐步深入，学生对平行四边形面积公式推导过程也应如此。教材提供的运算定律或其他的性质的教学思路，给了我们很大的启发。结合这样的思考，实践中我们对本环节教学做了如下的改进：基于上述的数方格度量带来转化的启示，通过进一步的观察、思考和操作让平行四边形面积等积变形后，先让学生从整体认识入手，发现面积总量不变的原理，然后探寻图形各部分之间的关联，借用数学语言描述转化前后图形各部分的关联，得出平行四边形的面积等于底乘高，接着再通过有“据”验证,举例说明：是不是所有的平行四边形都可以这样转化，让不完全归纳推理力求“完全”，以促成对平行四边形面积公式推理过程的真正理解。

总之，《平行四边形面积》的学习就如一棵大树的生长，如果把学生经历了学习过程后习得的数学思想称为“生长点”，我们要找准“生长点”，盘活数学思想，唤起经验，让其厚实根基、自然萌芽、根本通畅，并对其施肥、灌溉，让数学思想再“衍生”，再生长出新“生长点”，如此循环往复，面积的“生长”也就会更有力量，就能生长出更多的知识，从而达成学以致用、用以致学的目标。