体育旅游产业发展与旅游经济增长 系统运行的稳定性分析

赵黎明， 纪 宁， 赵志培

（1. 天津大学管理与经济学部， 天津 300072； 2. 天津商业大学公共管理学院， 天津 300134）

党的十九大明确提出深化体育改革，更新体育理念，推动群众体育、竞技体育、体育产业协调发展，加快建设体育强国，实施全民健身、全域旅游，推进体旅融合，将体育旅游发展规划融入到地区经济社会发展规划中，努力实现体育旅游产业的联动发展和差异发展，是我国创新第三产业发展、转变经济发展方式、调整结构的必然选择，是贯彻落实科学发展观和实现中国梦的重要支撑。

一、 文献综述

20世纪60年代，英国学者Anthony[1]撰写的《体育与旅游》描述了体育与旅游的相互关系，该文章开启了对体育旅游领域的研究；之后，Williams等[2]通过分析大型赛事引发旅游业发展的独特现象，为体育旅游的研究构建了基本框架。步入21世纪以来，伴随着体育旅游产业的发展，国内外学者针对体育旅游的不同方面进行了详细研究。Gibson[3]以体育旅游参与人群为视角，对不同性别、种族、社会等级的人群参与体育旅游项目的区别进行研究。Turco等[4]为研究体育旅游产业对南非Durban市经济发展的影响，在对Durban市7项体育旅游项目的社会经济数据进行分析的基础上，为当地体育旅游资源的进一步开发提供了相关策略建议。Costa[5]等以文化视角为切入点，研究了感情植入在体育旅游中所扮演的角色及发挥的重要作用。Simon[6]提出了“体育旅游动态分析模型”，为体育旅游资源开发人员和决策者更充分地理解、评估体育旅游的价值、实现体育旅游行业的利益最大化提供了分析思路。体育旅游的社会、经济、文化和环境影响是国外研究的重点，且国外学者较重视实证和定量研究。作为世界范围内备受欢迎的休闲娱乐方式，体育旅游同时也是有力带动区域经济发展的关键因 素[7]。Qiu等[8]构建了旅游功能的系统模型，将旅游系统模型分为供给板块和需求板块。其中，旅游系统供给板块由服务与设施、交通工具、吸引物和引导四个部分组成。Leiper等[9]认为，开放性和系统性是旅游业的重要特征，旅游从业人员、旅游服务供给企业和旅游景观能够为旅游者带来身心的愉悦和精神的享受，在此基础上产生利润和就业，促进区域经济发展。Mclennan等[10]借助系统动力学模型，从促进组织学习和学习型旅游地的双方战略规划两个方面开展系统研究，通过运用案例研究法得出结论：系统动力学模型的运用能够促进利益相关者之间的学习和沟通。Erik[11]的研究表明，系统动力学是研究传统旅游产业的最佳方法，因为该方法提供了动态变化的过程、多样性类型和非线性的解决方法。国内相关研究兴起于2001年北京申奥成功之后，多为定性研究，内容多集中于体育赛事或乡村旅游。崔瑞华等[12]基于滨海体育旅游的内涵，从经济基础、基础设施、资源环境、人力资源、客源市场五个方面构建评价指标体系，测算我国沿海省份（不包括港澳台）滨海体育旅游支撑条件。曹庆荣等[13]从资源的生态开发视角出发，对乡村休闲体育旅游资源开发进行研究，提出应遵循乡村生态化开发、加强产业融合发展、健全保障制度、注重政府调控功能、发挥媒体宣传优势的乡村休闲体育旅游资源开发策略。张瑞林等[14]以消费者行为为逻辑起点，以方法目的链为研究工具，采用深度访谈法及软式阶梯访谈技术，将其研究结果以消费者知觉价值图进行呈现，探讨冰雪体育旅游消费决策的影响因素。从上述文献的对比分析来看，针对体育旅游的研究可以说是五花八门，各有千秋。但是研究方法主要是依托计量经济学、数理统计学或系统动力学分析。这些分析虽然能够解决体育旅游产业发展所涉及到的方方面面的问题，但却难以明确给出体育旅游产业的发展对整体旅游经济的影响，更难以动态分析体育旅游发展与旅游经济增长系统运行的各个阶段及不同阶段下所应采取的政策与调控方法。

本文针对体育旅游产业发展与旅游经济增长的关系建立了一个三维非线性内生增长模型，并利用非线性动力学理论对模型进行了稳定性分析，研究了体育旅游产业发展与旅游经济增长系统运行的稳定性条件；在系统失稳的状态下，本文利用Hopf分岔理论，对增长周期进行了存在性分析及稳定性分析，以便给出系统失稳后形成增长周期的理论指标，以便及时判断系统运行的状态，并有针对性地提出调控策略和方法；最后对所构建的系统模型进行了数值仿真，动态地模拟了旅游经济增长系统的各个阶段，并对所出现的结果进行了合理的经济学解释。

二、 模型建立

假设一个国家的旅游经济系统由代表性家庭与旅游经营部门共同组成，代表性家庭主要提供旅游消费，或者以旅游消费税的形式进行支付。旅游经营部门提供旅游产品、旅游服务及支付从事旅游服务人员的工资等。为研究方便，本文假定整个旅游经济系统是一个封闭的经济系统，即旅游经济系统中旅游消费人员增长率是固定的，代表旅游消费者的效用函数为固定跨时替代弹性，其目的为追求终身效用水平的最大化，即

式中：c为旅游人均消费；ρ为时间偏好率。于是，效用函数U(c)为

其约束条件为

式中：a为单位固定资本；r为利率；w为工资率；n为旅游人口增长率.

假设旅游经济系统由以下三部分组成： 旅游消费部门 （C），旅游投资部门（I） 和体育旅游产业部门（H），依照宏观经济学与产业经济学理论， 旅游部门生产总值 （Y） 的构成可由以下公式确定

本文假定投资函数为旅游业资本存量的变化率，即I(t)=(t)，式中K为未考虑折旧的非体育旅游产业部门的物质资本存量。假设代表性生产者的生产函数为Cobb-Douglas生产函数，人均产出既受旅游部门及公共部门供应的基础设施（如高速公路、机场、旅游景点、体育场馆和电子设施等）影响，也受外部旅游市场变化因素的影响。其中，基础设施的供应对人均产出的影响是正向的，而旅游市场变化因素的影响是负向的。因此，产出方程为

式中：H为体育旅游产业部门物质资本存量；K为非体育旅游部门物质资本存量；µ是用于生产的体育旅游产业部门份额，即

式中：δ为物质资本折旧率。为了讨论体育旅游产业与旅游经济增长系统的动力学性质，需要对方程进行简单处理，这里引入变换，并依照庞特里亚金最大值原理，构建哈密尔顿函数，即

经化简可得体育旅游产业与旅游经济增长系统的三维非线性动力系统为

进一步，定义x1为旅游部门资本存量的平均产出，故，代入到式（4）中，可将体育旅游产业与旅游经济增长系统的三维非线性动力系统简化为

三、 体育旅游产业发展与旅游经济增长系统运行稳定性分析

就旅游经济系统而言，为了找到其稳定的增长路径，进而分析体育旅游产业物质资本存量与旅游系统物质资本存量之间的关系，本文首先应找到系统（5）的均衡点，

体育旅游产业发展的稳定性体现在系统运行一段时间之后是否能够稳定于固定运行通道，这可以通过求解系统的平衡点来得到。因此可得体育旅游产业与旅游经济增长系统的三维非线性动力系统，即式（5）的均衡点为

在实际情况下，经济系统的每个变量如非体育旅游产业部门物质资本存量K，体育旅游产业部门物质存量H，其旅游产业部门生产总值Y都应是正值。因此，对系统进行必要的假设（H1）为

如果系统所有的参数及变量满足条件（H1），则系统均衡点E()为正值。

为了确定式（5） 在平衡点E()附近的运行稳定性， 按照非线性动力学理论，本文需引入线性变换x=X-X＊，以便将平衡点平移至坐标原点附近，系统（5）可化为

系统 （6） 的雅可比矩阵为

可得系统的特征多项式为

式中：C=(1-α)

D=(α-1)

E=(1-α)

按照 Routh-Hurwitz 判据的要求，进行如下假设 （H2）为

由非线性动力学理论，如果体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统（6）同时满足上述假设H1与H2， 可称该系统在其均衡点E()附近运行稳定。

体育旅游产业发展与旅游经济增长系统的稳定运行，体现在体育旅游经济实现增长的同时保证旅游经济系统运行的健康与平稳，同时促进旅游经济自身的发展，但是系统一旦发生失稳现象，会出现系统运行发生振荡，此时会出现两种情况：一种是波动中进入等幅振荡的情况，这种情况是系统运行进入到了周期性状态，在非线性动力学上称此状态为Hopf分岔；另一种是系统运行波动的振幅越来越大，出现发散的情况，这是经济增长系统运行中最不想见到的情况。以下本文对体育旅游产业发展与经济增长系统的Hopf分岔进行分析。

四、 体育旅游产业发展与旅游经济增长系统Hopf分岔分析

体育旅游产业作为一种新兴融合性旅游产业，在一定规模内会促进整体旅游业的发展。体育旅游市场宽广、资源相互利用高、营利前景良好，会使大量经营者趋之若鹜，不断加入到体育旅游产业中来。因此，当体育旅游产业发展规模过大时，会导致整个旅游市场运行失稳，出现振荡。针对此种情况，本部分利用非线性动力学Hopf分岔理论，研究市场运行失稳时体育旅游产业系统的运行情况，并给出判断市场失稳的指标。

1. Hopf分岔的存在性

根据非线性动力学理论， 如果系统（6）的特征方程有一对共轭的纯虚特征根，则系统（6）在其平衡点附近会发生Hopf分岔，其分岔方程为

设λ1,2=±iω是特征方程（9）的一对纯虚根，并将λ=iω代入到特征多项式中，并令f(ω)=0，可以得到

经计算可得ω=，代入分岔方程E-CD=0，并记e1=可得

经过上述分析，本文得到参数α的相关定理，记为定理1。

定理1：如果系统（6）同时满足以下三个条件

则体育旅游产业发展与旅游经济增长系统 （6）会发生Hopf分岔，并在该系统均衡点E()附近产生极限环（增长周期）。

同样地，固定参数α，设定系统参数为σ，可得定理2。

定理 2：如果体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统（6）同时满足以下三个条件

则体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统（6）会发生Hopf分岔，并在该系统均衡点E()附近产生极限环（增长周期）。

2. Hopf分岔方向及其稳定性研究

由非线性动力学理论，极限环是否稳定由第一李雅普诺夫系数来判定，其表达形式为

接下来，本文探索体育旅游产业与旅游经济增长系统增长周期的稳定性，设矩阵A为该系统的Jacobian 矩阵，并设矩阵A及其转置矩阵AT有一对共轭的纯虚特征根λ1,2=±iω0。根据复数域下的对称多项式理论及如下关系

式中：q为矩阵A的对应特征根iω0的特征向量；p为对应于矩阵AT特征值-iω0的特征向量。

经计算，可得系统Jacobian矩阵A的对应于特征值iω的特征向量q，其形式为

利用相同的方法，可以得到转置矩阵AT的对应于特征值-iω的特征向量p=(p1,1,p3)T。

按照非线性动力学Hopf分岔理论，需对上述两个特征向量内积归一化，即要求〈p,q〉=1，于是得到的形式为

通过代入计算，本文得到了体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统（6） 的第一李雅普诺夫系数的具体表达式，即

至此，本文找到了判断体育旅游产业发展与旅游经济增长系统运行失稳后所形成增长周期稳定性的指标——第一李雅普诺夫系数的表达形式。在下部分，本文将利用此指标进行数值仿真，并针对系统运行的不同情况给出相应的政策建议与市场调节方法。

五、 数值仿真

为了直观地体现体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统（6）的运行状态，本文将针对该系统进行一系列的仿真运算。首先对系统（6）的重要参数进行赋值

1. 系统稳定运行及Hopf分岔发生时的数值仿真

市场调节系数代表着政府对市场的干预程度及市场自身调节能力，通过观察体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统中市场调节系数，可以随时判断系统运行中政府宏观调控的实际效果与政策运行的健康程度。此外，旅游消费者效用弹性系数体现了消费者选择体育旅游作为消费品的意愿。当越来越多的消费者选择在体育旅游产业进行消费时，可以直接推动体育旅游产业的发展。接下来，本文将从两方面对系统（6）的运行进行探索。

（1） 固定市场调节系数α， 观察系统伴随体育旅游消费者效用弹性系数σ的变化情况。

首先固定市场调节系数α=0.5，经计算可得体育旅游消费者效用弹性系数σ在σ≈σ0=0.2时达到临界点。容易发现，当σ∈[0,σ0)时，旅游产业发展与旅游产业经济增长系统会经过一段时间调整运行后收敛到其均衡点E()附近。而体育旅游消费者效用弹性系数σ在该范围区间内的变化，仅仅能改变的是系统的调节时间及收敛到均衡点的速度。但是，当σ∈[σ0,1]时，该系统将会在其均衡点附近发生Hopf分岔，系统运行也将由稳定状态变为不稳定状态。

取α=0.5， 经计算可得此时临界状态下的σ值为0.185。本文观察当σσ==0.01,0.12和σ=0.2三种状态下系统运行的情况如图1所示。

（b）弹性系数未超过临界值时

图1 弹性系数变化时系统相图的变化

当取σ=0.01,σ=0.12时，显然此时的σ值远低于临界状态σ0=0.185。如前所述，当σ∈[0,σ0)时，系统的运行总会经过一段时间的调整收敛于其均衡点E()附近。如图1（a）所示， 体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统（6）的三个变量x1,x2,x3，均迅速地收敛到其均衡点附近，体现在时间历程图中是曲线经振荡后趋于直线，而体现在相图中是曲线经旋转收敛至一点附近，而该点即为体育旅游产业发展与旅游产业经济增长系统（6）稳定增长路径。图1（b）与图1（a）反映的情况是一致的，由于图1（b）呈现出的是σ=0.12时系统的运行状态，而此时尚未达到系统稳定性发生变化的临界点，因此系统经调整后很快收敛到均衡发展路径之上。对比两图发现，尽管两种情况下系统都是很快回归稳定增长的路径之上，但又有所不同。图1（b）的收敛速度显然要更快一些。实际情况中，从产业发展的角度来看，由于体育产业与旅游产业的初步融合，新兴的体育旅游产业诞生，此时休育旅游产业虽然具备良好的资源禀赋，但经营者与消费者从初步接受发展到认同需要一定的时间。在消费者初步选择体育旅游产业进行消费时，由于市场规模、从业者规模、政策的不完善会使体育旅游产业的发展经历一定的波动才能回归平稳增长的轨道上。伴随着体育旅游产业的发展，选择体育旅游产业进行消费的人群逐步增加，使得体育旅游产业实质资本数量得以累积、服务质量得以提升、人力资本迅速累积、技术水准得以提升以及政策制度得以完善，体育旅游产业发展的振荡期会缩短，迅速进入到稳定增长的路径之中，实现平稳快速增长。此时意味着，体育旅游产业的发展会对整体旅游经济起到促进与带动作用。但当σ=0.2≥σ0时，此时的σ值已超过了计算的临界值0.185，图1（c）给出了此种情况下系统运行的时间历程图和相图。可以发现，此种情况下系统的时间历程曲线不再收敛到其均衡点附近了，此时系统不再沿着稳定增长的路径运行，而进入到了一种循环的状态。我们可将这种循环的状态理解为经济增长系统出现了增长周期，可将这个周期分为调整期、增长期、衰退期等不同阶段。实际情况下，当选择体育旅游产业进行消费的人员超过一定范围时，由于市场自然资源禀赋、服务程度等客观条件的限制，体育旅游产业的经济增长会伴随着时间变化而呈现周期性的波动。消费者的增多超过了提供体育旅游产业的服务规模时，会使得一部分消费者得不到优质服务，导致体育旅游产业的发展受到影响。与此同时，消费者超过了体育旅游产业服务规模时，会导致体育旅游经营者不断增多。在自然资源条件及市场规模的限制下，必然会导致同质化服务的恶性竞争，难以保证体育旅游产业的健康发展。此种情况下，政府应当从市场的供给侧进行调控，在体育旅游需求旺盛的地区进行相应的外部激励，鼓励体育旅游产业发展的同时完善相应的制度法规，保证市场的健康发展；而在体育旅游需求较低地区，对体育旅游产业项目的审批应更加慎重，在衡量自身资源禀赋及市场规模的条件下，适当对政策进行调整，使体育旅游产业与整体旅游产业和谐共生、协同发展。

基于上述分析发现，体育旅游产业发展初期，选择体育旅游产业进行消费的人群越多，会正向带动体育旅游产业的蓬勃发展，但若体育旅游产业的发展速度过快、规模过大、场馆设施的盲目建设等同样会对旅游产业的经济增长带来消极影响。

（2） 固定体育旅游消费者效用弹性系数σ， 观察系统伴随市场调节系数α变化的运行情况。

取σ=0.2，通过计算可以确定市场调节系数α0=0.735为系统运行状态的临界点。同样，当市场调节系数α∈[0,α0)时，体育旅游产业发展与旅游经济增长系统总会经调整收敛到其均衡点E()附近，也就是系统运行回归稳定增长路径。但当α∈[α0,1]时， 类似于情况（1）的现象发生了，即系统运行不再收敛于其稳定增长路径之上，而是围绕着其稳定增长路径出现了等幅的上下波动，见图2。

对比图2（a）与图2（b），本文发现，伴随着市场调节力度的增大，体育旅游产业发展与旅游经济增长系统运行回归稳定增长的时间就会越长。若进一步增大调节力度会使情况发生更加剧烈变化，一旦突破临界状况，旅游经济的增长会进入一种周期状态，从而会出现周期性的增长、衰退的现象。

需要强调的是，情况（2）本身模拟的是σ=0.2时的情况，由情况（1）可以知道，在σ=0.2,α=0.5时，系统已经进入了不稳定状态。因此，当体育旅游产业发展速度较快、规模较大的时候，过度调节不仅不会稳定旅游经济的增长，反而会减缓旅游市场自身的调节速度。本文对比以下三种情况：1） 当体育旅游产业发展初期，市场容量及资本积累较小时（σ=0.12），较大的市场调节力度（α=0.5）对确保旅游经济增长有着积极正向的作用。此时对市场的调节措施诸如加大体育旅游的宣传，推出刺激体育旅游产业发展的扶持政策等对促进整体旅游业的发展有积极作用。2） 当体育旅游产业规模较大时（σ=0.12），较小的市场调节力度（α=0.1），利用市场本身的杠杆使体育旅游产业发展回归理性，对促进整体旅游市场秩序的迅速恢复有着积极作用。3） 当体育旅游规模过大（σ=0.2），市场秩序失衡时，此状态下的市场呈现波动状态，加大调控力度、实现供给侧改革会使得系统运行振荡幅度变小、频率变缓，进而使市场重回稳定，回归增长路径。

图2 市场调节系数变化时系统相图的变化

2. 系统Hopf分岔的稳定性数值仿真

实际情况下，体育旅游发展与旅游经济增长系统不会一直按照理想的稳定增长的路径一直运行下去。由于地方发展战略、政策倾斜、市场刺激等因素，会打破体育旅游产业与整体旅游市场和谐共生的局面。也就是说，一旦发生了体育旅游发展与旅游经济增长系统发生Hopf分岔从而进入周期性增长、衰退过程时，政府如何应对也是本文所要研究的主要问题之一。接下来，本文将会对系统发生Hopf分岔条件下，系统所产生的极限环（即旅游经济增长周期）的稳定性进行模拟仿真。

将本节开始时给出的关键参数代入到式（11）中，计算系统的第一李雅普诺夫系数，并将ασ,作为动态变量对其模拟仿真。图3 给出的是第一李雅普诺夫系数伴随双变量ασ,变化的曲面图。如图所示，在零点附近时，第一李雅普诺夫系数都是大于0的，而其他部分第一李雅普诺夫系数小于零。当李雅普诺夫系数小于零时，意味着系统发生Hopf分岔所产生的极限环是稳定的。

图 3 第一李雅普诺夫系数曲面图

固定α=0.8，观察第一李雅普诺夫系数随σ的变化。如图4所示， 当σ∈(0.473,1)时，第一李雅普诺夫系数为正值；而当σ＜0.473时，第一李雅普诺夫系数为负值。这意味着当市场调节力度过大时，系统运行进入了周期性振荡状态，此时应控制体育旅游产业的发展规模，以保证此时的周期性增长与衰退在相对可控范围内，以利于采取进一步措施针对旅游市场进行改造，尽力促使旅游产业经济稳定增长。当市场调节力度较小（α=0.35）却又发生旅游市场增长出现周期性振荡时，类似的分析如图5所示，政府应加大体育旅游产业的发展速度，加强宣传力度，提出各种让利性政策、降税政策等迅速提升旅游市场份额以保证此时的周期性增长与衰退在相对可控范围内，稳定市场以便采取进一步措施。

同样可以固定σ=0.6。如图6、图7所示， 说明了当体育旅游产业规模较大时（相对于临界值0.2），政府应加大市场的改革力度，对体育旅游市场实行严格的供给侧改革，以便将旅游经济增长的振荡情况控制在稳定状况，使市场秩序回归稳定，系统运行重回稳定增长路径。

图4 市场调节力度较大时李雅普诺夫系数随σ的变化

图5 市场调节力度较小时李雅普诺夫系数随σ的变化

六、 结 语

图6 σ较小时李雅普诺夫系数随市场调节的变化

图7 σ较大时李雅普诺夫系数随市场调节的变化

体育旅游产业作为旅游业与体育产业融合发展的新型业态，成为我国经济发展的重要增长极。对体育旅游产业系统、科学、全面的认识，将更好地引导、促进体育旅游产业可持续健康发展。本文依托内生经济增长模型建立了一个三维的体育旅游产业发展与旅游经济增长数理模型，并利用非线性动力学方法对模型进行了稳定性分析、Hopf分岔的存在性及稳定性分析，得出了以下结论。一定规模下的体育旅游产业发展对整体旅游经济增长起到促进作用；相反，超过一定规模的体育旅游产业可能会对整体旅游经济的发展造成负面影响，因此，不能盲目扩张、过度开发。在体育旅游产业发展初期，政府应积极介入市场，加大对体育旅游产业的宣传与扶持力度，采取一系列降税、让利政策，促进体育旅游产业的快速、健康发展，并带动整体旅游经济的增长。在体育旅游产业发展规模较大但未出现市场振荡时，政府应采取简政放权政策，减少对市场的干预，充分发挥市场自身的杠杆调节作用，使体育旅游市场自发调节，进而令旅游经济系统迅速回归稳定增长路径；当体育旅游产业发展与旅游经济增长系统运行失稳时，应坚定不移地对体育旅游市场进行供给侧改革，减少产能，优化结构，加强市场调节力度，保证体育旅游产业发展回归稳定增长路径。本文的研究成果对我国体育旅游产业的发展有重要的理论意义和较大的实用价值。