多维度巧解以圆为背景的最值问题

蒋 敏 李 鲜

(四川省南充龙门中学 637130)

圆是一类特殊的几何图形，它形式简洁，图形优美，生活中随处可见，具有高度的对称性.以圆为背景，考察最大值、最小值，取值范围等等，是解析几何中常见的一类题型.它涉及的学科知识内涵丰富，解题构思常常巧妙灵活，能够很好的锻炼学生的数学思维能力，进一步渗透数学学科核心素养.在课堂教学中，结合学生实际，教师积极引导，学生自主探究，以微专题的形式，多维度巧解以圆为背景的最值问题，让解题教学的育人目标能够顺利达成、落地生根.

一、以斜率、截距、距离的几何意义为视角巧解最值

例1已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求：

(2)y-x的最小值；

(3)x2+y2的最大值和最小值.

图1

类题巩固1 已知(x-2)2+(y-1)2=1，求(x-1)2+y2的最值.

解析令(x-1)2+y2=r2是以(1,0)为圆心，半径为r的同心圆，问题转化为求在(x-2)2+(y-1)2=1条件下，半径r的最值.

例2 设点M(x0，1)，若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是( ).

图2

点评由题易知，随着N点在圆上的移动，∠OMN的大小在变化，只有N点运动到让MN是圆的切线时，∠OMN最大.结合图形可知当∠OMN≥45°，则圆上就存在满足条件的点.

类题巩固2 已知圆C:x2+y2=4，点P(x0,y0)在直线x-y-4=0上，O为坐标原点，若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，则x0的取值范围为____.

解析过点P作圆C的切线，切点为D，连结CD，则CD⊥PD，若∠DPC=30°，则PC=2CD=4；

二、以构造函数法的视角来巧解最值

点评根据条件列出关于所求目标函数的关系式，然后转化为函数求最值.这是求圆中最值的常用方法.同时，解答中尤其要结合变量的取值范围.

三、以常用的不等式性质的视角来巧解最值

例4 在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____.

点评当所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a·b或者a+b的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需注意“一正、二定、三相等”的限制.

类题巩固4 直线2ax+by-2ab+6=0(a>0，b>0)平分圆(x-1)2+(y-2)2=4的面积，则ab的最小值等于____.