高中数学导数的解题应用

黄龙孙

(江苏省常州高级中学 213003)

一、利用导数求极值问题

极值问题一般在考察时就是对导数知识进行考核，如果不利用导数进行求解，那么极值问题就会变得十分困难，学生在解题时也会很浪费时间.在导数的应用下，学生可以轻松地判断出函数图像的变化趋势，然后根据一些特殊的点来判断出极值点，最后解决极值问题.

(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)求函数f(x)的极值.

①当a≤0 时，f′(x)>0，

所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，所以函数f(x)无极值.

②当a>0时，令f′(x)=0,

得ex=a,即x=lna.

所以当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0

当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0

所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，

故f(x)在x=lna处取得极小值，且极小值为f(lna)=lna，无极大值.

综上所述：

当a≤0 时，函数无极值;

当a>0时，f(x)在x=lna处取得极小值lna，无极大值.

二、利用导数推导函数图像

图像是函数学习的难点，它也是学生学习时抽象性最大的问题，很多学生都无法理解图像的意义，尤其是在推导函数图像时，像一些高次幂的函数学生根本无法画出图像，在导数的帮助下，学生可以计算出图像的变化规律，从而能够根据间断点来大致的区分函数图像.

例2 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图1所示，则导函数y′=f′(x)的图像可能为( ).

图1

解析观察原函数图像可以得到：当x∈(-∞,0)时，函数f(x)单调递增,所以能够判断出在x∈(-∞,0)时，f′(x)>0,故选项A和C排除，在选项B和D中选择；根据原函数图像在(0,+∞)中的单调区间，可以分析出：函数图像先递增后递减，最后又呈递增趋势，根据导数几何意义，可以推导出f′(x)的图形趋势为：f′(x)图像先处于x轴上方，在处于x轴下方，最后又处于x轴上方,根据选项内容可以分析出：选项B错误，选项D正确.

三、导数综合应用题

导数的综合应用题一般难度都会比较大，但是在如果学生对函数的基本知识有着较高的熟练度，那么这种类型的第一题学生都可以轻松地计算出.对于第二题来说，它就需要学生能够熟练的应用导数知识点来进行分析，可以正确的进行求导，然后根据题意找到正确的解题思路，从而能够逐渐的计算出正确的答案，促进学生的正确率.

(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；

(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.

所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6

(2)先对函数y求导，得：

y′=-6x2+66x-108=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).

令y′=0,得x=2或x=9，根据x的定义域，x=2舍去，显然，当x∈(6,9)时，y′>0:当x∈(9,11)时，y′<0.

所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上单调递增，在(9,11)上单调递减.

所以当x=9时，y取最大值，且ymax=135,

故当售价为9元时，年利润最大，并且最大年利润为135万元.

总之，导数知识点在高中数学中是非常重要的，教师必须要重视这方面的教学，能够联系实际的例题来引导学生进行思考，从而可以让学生更好的理解导数的知识点，提高在学习时的学习效率.