辨识椭圆的离心角与旋转角

林国红

(广东省佛山市乐从中学 528315)

在一次调研考试中，发现学生对一道解析几何题的两种不同解法分辨不清，说明学生对相关概念模糊，认识不到位，从而产生错误，并且这种错误在学生中普遍存在，非常有代表性.笔者对此特意成文，供大家参考.

一、试题的呈现与解答

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆Γ交于A,C与B,D，求四边形ABCD的面积的最小值.

当且仅当k=±1时取等号.

则四边形ABCD的面积

评注问题(2)中的两种解法，是学生解答中的普遍做法，太多数学生认为解法2比解法1更为简单，容易求最值，同时认为解法1也正确，所以无法判断那一种解法有误.

一题两个不同结果，孰对孰错？实际上，解法2是错误的.原因在于应用椭圆的参数方程解题时，未能理解参数的几何意义，没有准确把握椭圆参数方程中离心角与旋转角的区别与联系，从而产生误解，导致错误.

二、椭圆离心角与旋转角的概念及其关系

1.椭圆参数方程的推导

如图，以原点O为圆心，a,b(a>b>0)为半径分别作两个同心圆.设A为大圆上的任一点，连接OA，与小圆交于点B.过点A,B分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M.求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程.

图1 图2

2.椭圆的离心角与旋转角及其关系

由图可以看出，参数α是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角)，不是OM的旋转角，θ才是OM的旋转角.

当点A绕着点O转动时，离心角α和旋转角θ的大小都在发生变化：在第一象限时，α>θ；在第二象限时，α<θ；在第三象限时，α>θ；在第四象限时，α<θ；当点A在坐标轴上时，α=θ.

三、解法2的错因分析与解法修正

1.错因分析

原题目的条件AC⊥BD，实际上是指点A与点B的旋转角相差90°，而解法2用的是点A与点B的离心角相差90°.两者是否一致？

可见当旋转角θ增加90°时，离心角α不一定增加90°，所以在应用椭圆的参数方程时，必须理解参数的几何意义，分清离心角与旋转角.

2.解法2 的修正

所以四边形ABCD的面积

评注显然，解法2修正后的结果与解法1的一致，对比之下，解法1较易理解，运算量也稍少.

四、其它解法

评注从上述三种解法可看出，解法3所用的极坐标法运算量少，最为简单.