高校解析几何教学改革创新的探索

曾眺英

关键词：高校;解析几何;教学改革;科学技术

“解析几何”是高等师范院校数学专业一门必修的基础课。自20世纪50年代以来，“数学分析”“高等代数”“解析几何”一直是数学专业学生的入门三基课程，在教学安排中占据了重要地位以及较大的课时比例。解析几何是在17世纪由法国数学家笛卡儿和费马共同创立的，《几何学》的问世是解析几何学产生的重要标志。关于解析几何的重要性，美国著名数学史家M·克莱因曾说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”在大学数学的专业课学习中，解析几何的学习不仅可以为数学分析、高等代数的一些研究提供几何模型与背景，还为后续课程（高等几何、微分几何）的学习夯实基础。对数学系师范生来说，解析几何的课程学习对学生今后从事中学数学教学具有积极重要的指导作用。

现在各院校数学系普遍使用的由苏州大学的吕林根、许子道共同编写的《解析几何》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材。这本教材一共包含六章内容：向量与坐标;轨迹与方程;平面与空间直线;柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面;二次曲线的一般理论;二次曲面的一般理论。按照我院“解析几何”的课程标准规定在大一上学期开设，4个学分，一共是70个课时。

十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要。纲要第十三篇指出，“提升国民素质促进人的全面发展”。其中第四十三章提到要提高高等教育质量，要建立高水平现代教师教育体系，加强师德师风建设，完善教师管理和发展政策体系，提升教师教书育人能力素质;深化新时代教育评价改革，建立健全教育评价制度和机制，发展素质教育，更加注重学生爱国情怀、创新精神和健康人格培养，发挥在线教育优势，完善终身学习体系，建设学习型社会。2019年教育部关于深化本科教育教学改革全面提高人才培养质量的意见中指出：全面提高课程建设质量。立足经济社会发展需求和人才培养目标，优化公共课、专业基础课和专业课比例结构，加强课程体系整体设计，提高课程建设规划性、系统性，避免随意化、碎片化，坚决杜绝因人设课;严把考试和毕业出口关。完善过程性考核与结果性考核有机结合的学业考评制度，综合应用笔试、口试、非标准答案考试等多种形式，科学确定课堂问答、学术论文、调研报告、作业测评、阶段性测试等过程考核比重。

目前虽然高校已经越来越重视课堂教学，但是高校解析几何课程依然存在一些问题：缺乏对教学内容的整体把控并且在相关知识背景的延伸以及后续课程的连贯性方面做得不够好;教师们的教学理念陈旧、教学方法和教学内容相对落后;在教学过程中，有多次运算需要用到高等代数的知识，由于“高等代数”内容设置原因相关内容还没有讲到，致使教学内容不够严谨，课堂效果受到影响。以笔者所在高校为例，解析几何的教学方面还存在的问题有：教学课时偏少，只有理论教学而忽视了实践教学，不利于应用型人才的培养;尽管教师队伍的数量和结构变化改善了很多，但是几何师资团队力量依然薄弱，在繁重的教学任务之下，老师们疲于授课，教学质量受到一定程度的影响。

我们国家的著名数学家姜伯驹院士曾说：“随着科学技术的发展，数学课程要不断改革，其中以几何课程的改革问题争议最多，难度最大，中国如此，外国也如此。”几何课程教学改革已经成为一个严肃而重要的话题。解析几何在高等数学课程体系中是很重要的。在科学技术迅猛发展的今天，解析几何学科在园林艺术、建筑设计、灯光设计等方面得到了广泛的应用。在新形势下，国内不少学者的解析几何课程教学改革方面也有不少成果。笔者在本文中结合所在高校教学中存在的一些问题，谈几点关于解析几何教学改革创新方面的建议。

一、立足于课程目标

广义的课程目标：在广义上的课程目标的涵义定位于教育与社会的关系，是一个比较大的视角，涵盖面是全层次的。它即是教育意图，包含了“教育方针”“教育目的”“培养目标”“课程教学目的”和“教学目标”。

课程目标是预先确定的要求学生通过某门课程的学习所应达到的学习结果，这种结果表现为学生在课程相关素质或特征方面的变化。课程目标是指导课程设置、编排、实施和评价的整个过程的准则，也是课程自身性质和理念的体现。

目前我院的解析几何课程目标主要有以下四个方面：

课程目标1：掌握向量及其运算的基本概念、基本理论，掌握常见特殊空间曲面、曲线的基本性质及图形，会求其方程，会判断相关位置。掌握二次曲线的基本性质和知识体系，为高等代数、数学分析的一些研究提供几何模型与背景，为后继课程及其他相关学科的学习夯实基础。

课程目标2：理解重要定理、例子的证明、求解及应用。培养学生的逻辑思维能力和空间想象力，训练学生的表达能力、计算能力和解决问题的基本技能，提升学生学习数学的能力。

课程目标3：了解解析几何的形成背景、发展过程，强化将几何问题代数化的基本思想，深入理解数形结合的思想方法，掌握研究空间图形的方法，及由特殊到一般，具体到抽象的研究方法。提高学生发现问题、探索问题、解决问题进而获取新知识的思维方法，培养学生自主学习与终身学习能力。

课程目标4：通过课程的学习，使学生对中学几何有关内容从理论上有更深刻的认识，能够从更高的角度看待和处理中学数学问题，从而培养学生的专业发展意识;同时，了解解析几何与数学其他分支、物理学、工程學的联系，增强学生应用数学的信心，激发学生终身学习数学的热情，培养学生的职后发展能力。

课程目标是学生学习的终点，课程目标与毕业要求是密切相关的。只有明确了课程目标，才能有助于确定课程与教育目的之间的衔接关系，从而确定课程编制的方向，才能有助于选择和组织相关的课程内容，并且可以作为课程事实的依据和课程评价的准则，立足课程目标才能促进优化教学。

二、优化教学内容

由于师范专业与非师专业（信息技术、统计学）的课程目标与毕业要求是不太一样的，为做到因材施教，我院师范专业学生使用的教材是吕林根、许子道编的2019年第5版的《解析几何》;而非师范专业已经将解析几何内容与高等代数融合在一起使用的是高等教育出版社的《高等代数与解析几何》。我们现在师范班用的这个书本是全国优秀教材，编写时间比较早且已经使用了20多年，虽然经过了多次修订，但是修改内容偏少且有一部分内容是比较陈旧了。

解析几何是用几何的方法解决代数的问题，所以其中有不少内容是和高等代数的知识联系在一起的。特别是在解析几何的第一章有好几处出现了行列式的知识，然而教材上只是以附录的形式简单介绍了行列式的定义以及一些性质，并没有在相应的位置将行列式的内容以知识点的形式进行介绍说明。这样学生理解起来是有一定困难的。因此任课老师要注意将行列式、矩阵和线性方程组的相关知识在课堂补充讲解，让学生先吃透相应的代数内的证明过程又用到了齐次线性方程组有非零解的充要条件为其系数行列式等于零的内容。那么教师们在讲解这部分内容的时候需要注意补充行列式的概念、性质以及线性方程组求解等知识，并且注意举例子进行说明便于学生理解。此外，1.5节关于三个非零向量共面的充要条件以及1.8节向量积的运算都是类似情况。

谈到对解析几何内容的优化，必须注意有主要与次要的区别。教师们要从大局上把握需要整合和优化的内容。课时是有限的，考虑到第一章不少知识学生已经在高中时候学过，那么我们可以重点讲解诠释第3、4章。除此之外，教师们需注意课堂内容的优化和课后练习的整合，课堂讲解要注意数形结合并且做到精选教材中的课后习题，让学生们把几何基础打扎实。

三、改革教学方法

首先，适当在解析几何课程教学中穿插数学史的内容。在很多人看来，数学是一门枯燥无味的学科，而这从某种程度上说是因为我们的教材介绍的往往是一些相对不变而又僵化的数学内容。如果在讲解数学知识时适当地渗透一点数学史内容，会激发学生的学习兴趣，从而有助于学生深化相关概念和原理的认识。例如在介绍绪论的时候，可以给学生们介绍解析几何这门学科产生的时间和历史，以及这门学科产生的重要意义。在介绍2.1节旋轮线的时候，可以跟学生说说“几何学中的海伦”的故事。而在讲解1.5节“标架与坐标”的时候，关于“笛卡儿标架”“笛卡儿坐标系”的内容，可以给学生讲一些关于数学家笛卡儿的故事。笛卡儿是法国著名的数学家，从小喜欢思考，博览群书。关于笛卡儿创立解析几何有个传说，是讲他有一天晨思时看见苍蝇在天花板在爬行，由此产生了关于解析几何的设想。笛卡儿善于思考、敢于探索真理的科学精神能够鞭策激励学生。

其次，要善用多媒体辅助教学。解析几何课程内容有抽象理论也有直观图形，很多图形靠传统的黑板手工绘画既花费时间又不能达到好的直观效果。对逻辑性稍强的内容如第一章的向量与坐标，适合用黑板教学为逐步推导和演算;对于后面的平面曲线、曲面、旋转面及二次曲面等空间图形就需要多使用PPT课件展示给学生，便于直观的理解并且给课堂教学增添乐趣。例如在讲解第4.5节抛物面知识时，需要利用平行截法，通过平行平面的截口形状来介绍曲面的图形。这时，教师们可以采用多媒体动画分别演示平行于三个不同坐标面的平面截抛物面所得到的平面曲线，通过这个动态过程来研究曲面图形形成的本质。

再次，要加强学生的实践能力。在科学技术技迅猛发展的今天，本科教育需要培养应用型创新人才。课堂上教师不能单纯地一直在讲课，还需要让学生参与进来，培养他们的實践能力，让理论和实践相互结合。教师们可以适当地编制实验手册，安排一点实验课给学生。要让学生会通过数学软件绘制出解析几何教材中的一些立体图形，比如球面、环面、椭圆抛物面等，激发学生的学习热情，锻炼实际操作能力。另外还可以让学生制作手工几何模型，比如可以让学生们课后试着手工制作旋转椭球面、单叶双曲面、工艺品设计等，培养他们的动手能力和创新思维。

四、建立多元化评价模式

我校师范专业解析几何课程原来的成绩评价方式是平时成绩占30%，期末卷面成绩占70%。这种评定方式的期末成绩占比偏高，会让大部分学生不注重平时的积累而过分把成绩寄托在期末考试，往往造成学生精神压力或者个别同学考试作弊。在新形势下的现代教学应该把学习过程和集中考试结合起来，增加平时成绩的多元化以及在总成绩中的占比。

目前我校师范专业解析几何的成绩评价方式是总成绩=课堂出勤（10%）+平时作业（20%）+期中测试（10%）+期末考试（60%）。其中出勤的评价标准是：根据学生上课出勤情况（1）全勤100分;（2）旷课一次扣10分;（3）迟到、早退、事假一次扣5分;（4）病假、公假、丧假不扣分。而平时表现的评价标准是：一个教学班分成两个小组，每次批改其中一个小组的作业。根据学生作业完成程度（正确率、认真程度、独立完成）来打分，同时根据学生参加课堂讨论和回答问题等综合评价。通过这种评价方式的改革，学生的学习兴趣大大提高了、主观学习性也得到增强，培养了学生们的综合素质和应用能力。

我们还根据学生的课堂表现、作业、平时测验和期末考试情况及教学督导的反馈，检验学生对本课程涉及的学科素养和学会反思的达成情况，及时对教学中的不足之处进行改进，调整教学指导策略;根据学生的课堂表现、平时作业、平时测验及期末考试成绩，检验本课程所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况;根据解析几何所支撑的毕业要求分解指标点的达成度情况，参考优秀专业经验，在学院教学指导委员会指导下，重新修订本课程大纲，实现持续改进。

五、结语

解析几何是数学专业的重要入门课程。目前我校解析几何课程改革得到了一定的效果，学生的空间想象能力、动手操作能力、理论联系实践能力都有所提高。我们仍然要坚持教学改革和创新，不断改进解析几何课程的教学。为了更好地促进解析几何课程建设，后面我们会注意将数学建模思想融入解析几何的教学，提升学生们利用解析几何知识解决实际生活问题的能力。同时也要及时引进人才，增强几何教学团队的师资力量，促进教师之间的交流与合作，提升教师的专业素质以及教学能力。只有破除传统陈旧的育人模式的局限性，不断坚持教学改革、与时俱进，才能培养出新形势下的高质量综合型人才。