等度收敛函数列的性质与应用
2021-12-22邱香兰王小元周丽英肖可成
邱香兰 王小元 周丽英 肖可成
摘 要：一致收敛函数列是数学分析研究的重点与难点，而其中的等度一致连续函数列更是众多学者研究的热点。等度收敛函数列则是模仿等度一致连续函数列的定义而定义的。文章通过探究等度收敛函数列的性质与应用，得出函数列等度收敛的条件强于一致收敛的条件，找到能移植到等度收敛函数列中的一致收敛函数列的性质，并列出该性质的证明过程，同时呈现等度收敛函数列在常微分方程中的应用。
关键词： 等度收敛函数;数列;性质;应用
中圖分类号：G642 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2022）02-0112-03
一、引言
数学这门古老的学科在其发展过程中经历了三次数学危机，而每一次数学危机的解决过程都是数学研究进步的过程，是数学获得更大发展的过程。数学分析是大学数学的基础课程，数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性才能讨论极限、连续、微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐步建立起严密的数学分析理论体系。随着研究的逐步深入，人们正慢慢揭开数学分析神秘的面纱，其中，数学分析中的等度收敛是收敛与等度一致连续的结合，不仅具有一致收敛的性质，还具有一致连续的性质。作为一种全新的概念，等度收敛有很大探究空间，是众多学者研究的课题。一致收敛以及一致连续也是数学分析的重要内容，等度连续虽然出现较少却具有桥梁的连接作用。为探索它们之间的关系，徐丽从它们的定义出发，运用数学分析中的定理与技巧，找到相互推导需要用到的条件。由此，这几个概念之间的关系变得清晰明了。之后，邢家省等人重新提出不受关注的奥斯古德定理，并进一步论证这个定理具有的价值、意义。实际上，奥斯古德定理只是判断一致收敛的一种方法，但它是从函数列的等度一致连续性出发得出来的，因此也可以说奥斯古德定理是在探索等度一致连续和一致收敛的关系。目前，对等度一致连续的研究多数是在拓扑学之中，而等度收敛是一个全新的概念，它包含等度一致连续与收敛的内容，并推导出一致收敛、一致连续，而这也给学者提供了新的研究思路、新的研究方向。要说明一致收敛，只要说明等度收敛即可，要判断一致连续，也只要说明等度收敛即可，但是从后面的研究可以发现，等度收敛的条件很强，要判断等度收敛并不是一件轻松的事。由此可见，等度收敛还有很大的探究空间。本文主要探究等度收敛函数列的性质与应用。
二、等度收敛函数列概念的界定
目前，很多教材都没有等度一致连续的定义，这里只能对等度一致连续这一概念进行描述。若函数列
f（x）中每一个函数在数集D上都一致连续，则函数列
f（x） 在D上是等度一致连续。下面模仿等度一致连续函数列的定义来定义等度收敛函数列。若函数列
f（x） 收敛于f（x），且其中每一个函数fn（x）在数集D上都一致连续，则称函数列
f（x）在D上为等度收敛函数列，记作：fn（x）→f（x）（n→∞），x∈D。等度收敛函数列用ε-δ 语言描述为： ?ε>0，?δ=δ（ε）>0，当x1，x2∈D且x1-x2<δ时，?n有
f（x1）-
f（x2）<ε，并且f（x）=f（x）。
三、等度收敛函数列的性质
性质1（一致收敛性）：若函数列
f（x）在[a， b]上等度收敛于f（x），则
f（x）在[a， b]上一致收敛。
证明：因为函数列
f（x）在[a， b]上等度收敛于f（x），所以对?ε>0，?δ=δ（ε）>0，当x1，x2∈[a， b]且x1-x2<δ时，?n有
f（x1）-
f（x2）<ε，并且f（x）=f（x）。即函数fn（x）在[a， b]上一致连续，又由收敛数列的保不等式性知，f（x1）-f（x2）≤ε，即f（x）在[a， b]上也一致连续。
每一x∈[a， b]，都对应着一个邻域U（x， δ），所有这样的邻域U（x， δ）所形成的开区间集H自然覆盖了闭区间[a， b]。于是由有限覆盖定理可知，必存在有限多个这样的邻域U（x1， δ），U（x2， δ），…，U（xm， δ） 也覆盖了闭区间[a， b]。令分割 Δ：a=x1
f（xi）-
f（xi）<（i=1， 2，…， n），只要取N=maxN1， N2， N3， …Nm，当n>N，?x∈[a， b]，?xi有x-xi<δ，从而
f（x）-f
（x）=
f（x）-
f（xi）+
f（xi）-
f（xi）+
f（xi）-f
（x）≤
f
（x）-
f（xi）+
f（xi）-f
（xi）+
f（xi）-f
（x）<++=ε，故
f（x）在[a， b]上一致收敛于f（x）。
性质2（连续性）：设函数列
f（x）在[a， b]上等度收敛于f（x），则f（x）在[a， b]上连续。由性质1的证明过程知性质2成立。
性质3（可积性）：设函数列
f（x）在[a， b]上等度收敛于f（x），则f（x）在[a， b]上可积，且f（x）dx=f（x）dx。
证明：分两步证明。（1）因为函数列
f（x）在[a， b]上等度收敛于f（x），则由上述性质2知f（x）在[a， b]上连续。因为闭区间上的连续函数一定可积，所以f（x）在[a， b]上可积。（2）要证明f（x）dx=f（x）dx，证明f（x）dx=f（x）dx即可。也就是要证明 ?ε>0，?N>0，当n>N，?x∈[a， b]时有
f（x）dx-
f（x）dx=
fn（x）-f（x）dx<ε。由于
f（x）在[a， b]上等度收斂于f（x），根据性质1知fn（x）一致收敛于f（x）， x∈[a， b]，即?ε>0，?N>0，当n>N，?x∈[a， b]都有fn（x）-f（x）<。于是进行放缩有
f（x）dx-
f（x）dx=
fn（x）-f（x）dx≤fn（x）-f（x）dx<·（b-a）=ε，综合（1）（2）便可得证。
性质4（可导性）：设函数列
f（x）在[a， b]上收敛于f（x）， fn'（x）在[a， b]上等度收敛于f'（x），则
f（x）在[a， b]上可导，且
f（x）=f（x），证明：因为函数列
f'（x）在[a， b]上等度收敛于f'（x），所以根据性质2知，函数列
f'（x）在[a， b]上连续，于是有f'（x）=f'（x）。∵f（x）-f（x0）=f'（t）dt fn（x）=fn（x0）+f'（t）dt，∴f（x）=f（x0）+f'（t）dt=f（x0）+f'（t）dt，∴
f（x）=
f'（t）dt=f'（x）=f'（x）= f（x），结论得证。
性质5（一致连续性）：
f（x）在D上等度收敛于f（x），则fn（x）和f（x）在D上一致连续。
证明：由于fn（x）在D上等度一致连续，所以?ε>0，?δ=δ（ε）>0，当x1，x2∈D且x1-x2<δ时，?nfn（x1）-fn（x2）<ε。很显然，一方面，按照一致连续的定义，函数fn（x）在D上一致连续;另一方面，因为f（x）= f（x），所以只要让n→∞，取极限就会有f（x1）-f（x2）<ε，即f（x）在D上也一致连续。
上述性质2、3、4与一致收敛的函数列的相应三个性质比较，等度收敛的优点特别突出，它不再需要一些附加条件，比如在证明一致收敛函数列的极限函数的可微性时，要增加函数列的每一项都有连续的导数的条件。这是因为等度收敛函数列不仅有一致收敛函数列的性质，还有其他性质，如一致连续性。
四、等度收敛函数列的应用
等度收敛函数列应用于许多数学领域，本文主要研究其在常微分方程中的应用。用Picard逐步逼近法得到函数列φn（x）如下：
φ0（x）=y0
φn（x）=y0+
f（ξ，φn-1（ξ））dξ， x0≤x≤x0+h（n=1， 2…）且有 φn（x）-y0≤b，证明函数列φn（x）是等度收敛的。
分析：已知“函数序列φn（x）在x0≤x≤x0+h上是一致收敛的”。那么，根据等度收敛函数列定义的界定，证明φn（x）在x0≤x≤x0+h上是等度一致连续的即可。
证明：由于φn（x）=y0+f（ξ，φn-1（ξ））dξ， 且有φn（x）-y0≤b，所以φn（x）在x0≤x≤x0+h上有界。设M=f（x，y）， ?ε>0，?δ=则对于任意的x1，x2∈U+（x0， h）且x1-x2<δ时有φn（x1）-φn（x2）=
f（x，φn-1（x））dx-
f（x，φn-1（x））dx=
f（x，φn-1（x））dx≤
f（x，φn-1（x））dx≤Mx1-x2<ε。所以φn（x）是等度一致连续的。又已知函数序列φn（x）在x0≤x≤x0+h上是一致收敛的，所以φn（x）是等度收敛的。已知，φn（x）是x0≤x≤x0+h上的连续解。下面用一致连续的定义证明φ（x）是一致连续的。证明：对于?ε>0，?δ=>0，当x1，x2∈x-x0≤h且x1-x2<δ时，有φ（x1）-φ（x2）=y0+
f（ξ，φ（ξ））dξ-y0+
f（ξ，φ（ξ））dξ≤
f（x，φ（x））dx≤f（x，φ（x）dx≤Mx1-x2<ε，所以φ（x）是x0≤x≤x0+h上的一致连续解。
五、结语
等度收敛是一个新概念，但是其内容对学生并不是完全陌生的，等度收敛是收敛与等度一致连续的升华。等度一致连续虽然在大学数学教材中并不常见，但是在实分析中的作用很大，收敛则是数学分析中的常见内容，二者结合创造出“新”的数学知识，即一致收敛与一致连续。于是，等度收敛与一致收敛、一致连续之间便架起了桥梁，一致收敛的性质可以转移到等度收敛中，而因为等度一致连续的存在又使得等度收敛增加了一致收敛的性质。这样，数学分析中的一致收敛、一致连续变得更加紧密。本文从等度收敛的定义入手，首先探究等度收敛与一致收敛的关系，然后根据关系推导出等度收敛的性质及判断技巧，最后将这个新的概念运用于解题之中。由此得出结论，等度收敛函数列概念的提出非常有价值而且还有许多未知领域值得人们去探索、去研究。
参考文献：
[1]杨万秀.一类测度泛函微分系统解对参数的连续依赖性和可微性[D].西北师范大学，2020.
[2]刘倩，宋莹炯，鲁志波，张冬燕.高阶常系数线性常微分方程的新颖解法[J].高等数学研究，2020（03）.
[3]王高雄，周之銘，朱思铭，王寿松.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4]杨丽娟.一类非线性四阶常微分方程边值问题解的存在唯一性[J].山东大学学报，2020（06）.
[5]周羚君.常微分方程解的延伸定理的特殊形式[J].大学数学，2020（02）.
[6]魏运.函数列内闭一致收敛及其性质[J].内蒙古财经大学学报，2017（04）.
[7]严慧.函数序列一致收敛性的分析与证明[J].湖北师范学院学报，2016（02）.
[8]王秀英，许宏文.一致收敛函数序列的一个性质及其应用[J].牡丹江师范学院学报，2014（02）.
[9]林新和.关于函数列连续一致收敛关系的研究[J].呼伦贝尔学院学报，2011（06）.
[10]徐丽.函数列一致连续和一致收敛及等度连续的关系[J].上海电力学院学报，2007（03）.
[11]勾明志，付洋，蔡克珍.非线性中立型分数阶微分方程解的存在性[J].安庆师范大学学报，2020（02）.
Properties and Application of Equidegree
Convergent Function Sequence
Qiu Xianglan， Wang Xiaoyuan， Zhou Liying， Xiao Kecheng
（School of Engineering and Management， Pingxiang University， Pingxiang 337000， China）
Abstract： Uniformly convergent function sequence is the focus and difficulty of mathematical analysis， and the equidegree uniformly continuous function sequence is the focus of many scholars. The equidegree convergent function sequence is defined by imitating the definition of equidegree uniformly continuous function sequence. By exploring the properties and applications of equidegree convergence function sequence， this paper obtains that the condition of equidegree convergence of function sequence is stronger than that of uniform convergence， finds the property of uniform convergence function sequence that can be transplanted into equidegree convergence function sequence， lists the proof process of this property， and presents the application of equidegree convergence function sequence in ordinary differential equations.
Key words： equidegree convergence function; sequence; nature; application
