宽象限相依序列移动平均过程的矩完全收敛性
2021-12-21潘晓映胡天琳王鑫蕊施建华
潘晓映, 胡天琳, 王鑫蕊, 施建华,2,3,4*
(1.闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000;2.福建省粒计算及其应用重点实验室,福建漳州363000;3.福建省数据科学与统计重点实验室,福建漳州363000;4.数字福建气象大数据研究所,福建漳州363000)
概率极限理论是概率统计领域的一个主要分支,许多学者对其进行了研究.众所周知,独立随机变量的极限理论已经发展得非常完善,但现实世界中不独立情形普遍存在,关于随机变量的相依性概念随之被提出,并引起众多学者的兴趣.其中,较为宽泛的一种相依结构是宽象限相依(widely orthant depen‐dent,WOD)序列,它是在2013年由Wang等[1]所提出的,具体定义如下:
定义1设{Yn,n≥1}为随机变量,若存在正实数序列{gU(n),n≥1},对任意的n≥1 和yi∈(-∞,∞),1 ≤i≤n,满足
则称{Yn,n≥1}为WUOD(widely upper orthant dependent)随机变量序列;若存在正实数序列对任意的n≥ 1 和yi∈(-∞,∞),1 ≤i≤n,满足
则称{Yn,n≥1}为WLOD(widely lower orthant dependent)随机变量序列.如果{Yn,n≥1}既是WUOD 序列,又是WLOD序列,则称它为WOD随机变量序列,其中,gU(n)和gL(n)为控制系数.
WOD 是非常重要的一种相依结构,它包含了独立变量,NA(negatively associated)变量,NOD(nega‐tively orthant dependent)变量,END(extended negatively dependent)变量等作为特例.因此,对于WOD概率极限的研究具有重要的理论意义与应用价值.自WOD的定义被提出后,许多学者纷纷对其进行研究,并获得了一些重要的结论.如Wang 等[2]得到了具有WOD 增量的随机游走的一些基本更新定理;Wang 等[3]研究了带有控制变化尾的非同分布WOD 随机变量部分和的精确大偏差;Shen[4]研究建立了关于WOD 随机变量的Bernstein 型不等式;Cheng[5]获得了带有重尾的WOD 随机变量随机和的尾概率;Wang 等[6]得到了WOD 样本下密度函数的最近邻估计的相合性.Shen 等[7]研究了基本WOD 样本的生存函数和失效率函数估计量的渐进性质.除此之外,WOD随机变量的矩完全收敛性也受到诸多学者的关注.
自1988 年Chow[8]提出的矩完全收敛的定义,先后有章志华等[9],邱德华等[10],张玉等[11],Wu 等[12],邱德华等[13]分别得到φ-混合随机变量序列,WOD 随机变量序列,NSD 随机变量阵列,ρ*-混合随机变量序列,同分布END随机变量序列的矩完全收敛.关于矩完全收敛的定义如下.
定义2设{Xn,n≥1}是一随机变量序列,an> 0,bn> 0和q> 0,如果对于任意的ε> 0,
则称{Xn,n≥1}是q阶矩完全收敛,这里的a+= max {0,a}.
近年来,移动平均过程{Xn,n≥1}的极限理论也引起了许多学者的兴趣,下面引入移动平均过程的定义.
定义3设{Yi,- ∞
称{Xn,n≥1}为由{Yi,- ∞
随机变量序列{Yi,- ∞
移动平均过程Xn=在时间序列分析、金融数学与信息论等领域上有着极其广泛的应用.在解决实际问题的过程中,随机变量序列{Yi,- ∞
对此,许多学者对由相依随机变量序列{Yi,- ∞1 主要结果
受邱德华等[22]工作的启发,考虑由WOD 随机变量序列生成的移动平均过程的矩完全收敛性,利用三段截尾技术[23-25]并结合Menshov-Rademacher型矩不等式,得到了移动平均部分和的最大值矩完全收敛性,结论将END随机变量序列推广到更加宽泛的WOD随机变量序列上.
定义4设{Yi,- ∞ 0,对任意的-∞ 0,有
则称{Yi,- ∞
本文约定,C总表示与n无关的常数,它在不同位置可以代表不同的值,即使在同一式子中亦是如此.{Yi,- ∞
定理1设p> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞
则对于任意的ε> 0,
推论1设p> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞ 0,有
定理2设p> 0,v> 0,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞
则对于任意的ε> 0,
注意到,当p= 1时,可以由定理2得到推论2.
推论2设v> 1,α> 1 2,αp> 1,{Yi,- ∞ 0,有
2 引理
引理1[1]设{Xn,n≥1}是WOD 随机变量 序列,{fn(·),n≥1}均是非降(或非增)的函数列,则{fn(Xn),n≥1}仍是WOD随机变量序列.
引理2[26](Menshov-Rademacher 型不等式) 设p≥1,{Yn,n≥1}是均值为零的WOD 随机变量序列,并且对任意的n≥ 1 ,都有E|Yn|p< ∞,则存在仅依赖于p的正常数c1(p),c2(p)得
引理3[27]设{Yi,- ∞ 0,x> 0,- ∞
引理4[12]设{Yi,1 ≤i≤n}和{Zi,1 ≤i≤n}是随机变量序列,那么对任意的p>v> 0,a> 0,ε> 0,以下不等式成立:
其中当0
3 主要结果的证明
定理1的证明 由式(2)和可知
从而Xn几乎处处有意义.
借鉴NA、NQD序列下的三段截尾技术[23-25],对于固定的n≥1和-∞ 注意到EYj= 0,因此有则 令 结合引理4有 要证明式(4),我们只需要证明I1< ∞,I2< ∞,下面我们分为两种情形进行讨论. 情形1p≥1 对于I2,结合式(3),引理3以及Znj的定义有 对于I11,结合Hölder不等式,Jensen不等式,引理2,引理3以及的定义有 接下来证明I12< ∞,我们分为以下两个情形. 情形1.1p≥2 取q>结合引理3,EX2< ∞,有 情形1.21 类似于式(13),取q> 2,有 综上,I1< ∞. 情形20 关于I2,结合式(3)以及引理3,有 根据式(11),关于I11和I12,我们通过引理3以及式(3)分别有 综上所述,定理1证明完毕. 推论1的证明根据上述定理1的证明,有 推论1证毕. 定理2的证明上述的相关符号在下面证明中将继续采用,取q> 2,为了完成的证明,分以下三种情形进行讨论. 情形10 情形21 由式(11)可知,欲证I1< ∞,只需证明I11,I12< ∞.根据式(6)及式(12),有 类似于式(14),由于q> 2,有 关于I2′,由引理2得 由此可得,式(7)在1 情形3v≥2 注意q>p∨v,很容易由式(20)和式(21)知I1< ∞,因此只需要证明I2′ < ∞.根据引理2,有 根据式(6)得 关于I22′,有 综上所述,定理2证毕. 推论2的证明当1 因此,当1 当v≥2时,我们只需要证明I2′ < ∞,类似于式(24),式(25)分别有 综上所述,推论2证毕.