立足教材 灵活拓展

林淑金

[摘 要]以教材为根本，结合历年中考真题，重视教材中相关知识点和重要几何模型的梳理，是教师在上每节新课前要做的功课.教师应重视挖掘教材，并灵活拓展，让学生真正进行深度学习.教师教学，既立足教材，又灵活拓展，能有效提高学生发现问题和解决问题的能力.

[关键词]角平分线;性质定理;教材

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0018-03

一、学情分析

《角平分线》是北师大版教材八年级下册《三角形的证明》中的内容，学生已经在七年级探索并认识了角平分线的性质定理，在八年级上册学习了“互逆命题”“互逆定理”的概念，具备了一定的几何推理能力，基本掌握了几何图形研究的一般思路和方法，但是对定理间的内在联系及定理的应用缺乏深入的研究.我们借助引导学生学习角平分线性质的逆定理（在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上），让学生厘清定理间的内在联系，以达到学以致用的目的.

二、教学重难点

重点：证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理（性质的逆定理）;能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.

难点：命题中的条件对命题的影响;归纳整理出几何模型.

三、教学目标

（1）引导学生分析角平分线性质定理中包含的条件和结论，并合理调换条件和结论的位置产生新的命题，展开对新命题的研究.落实学生的主体地位，提高课堂教学效率.

（2）通过对新命题的深入研究，提炼归纳对角互补的几何模型，加强几何模型归纳和应用的意识.

四、教学过程

1.理解角平分线的性质定理

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

问题1：“角平分线上的点到角两边的距离相等”这个命题的条件和结论分别是什么？

学生回答：条件是角平分线上的点到两边的距离，结论是相等.

问题2：你能结合图形用几何语言正确表达出来吗？

学生动手画图，书写已知和求证.

已知：如图1，点[P]在[∠AOB]的平分线[OC]上（改成[OC]平分[∠AOB]，点[P]在[OC]上），[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，垂足分别为[D]，[E].

求证：[PD=PE].

问题3：这个命题证明的主要思路是什么？

学生：两角一边的条件可以证明两个三角形全等，进而证明对应线段相等.

问题4：你能用几何语言表达这个定理吗？

学生：可以.∵[OP]平分[∠AOB]，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]

∴[PD=PE].

师：标注条件①②③.

角平分线的性质定理就是①②⇒③.

①[OP]平分[∠AOB];② [PD⊥OA]，[PE⊥OB];③ [PD=PE].

设计意图：教材中对这个定理的证明有完整的过程，教师的作用是引导学生分析定理中的条件和结论并正确表达出来.通过画图（如图2）、标注条件、编朗朗上口的句子、画完整的图形等教学细节，使学生加深对定理的理解.

2.角平分线判定定理的探索

问题5：角平分线上的点到角两边的距离相等.这个定理的逆命题是什么？是真命题吗？

学生：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.（其实学生不太懂，课本上写着就照念了）

问题6：标注条件角平分线的性质是①②⇒③，性质的逆命题大多数是它的判定定理.例如两直线平行，内错角相等;内错角相等，两直线平行.前者是平行线的性质定理，后者是平行线的判定定理.那么角平分线的性质定理的逆命题是①③⇒②还是②③⇒①？

学生回答：②③⇒①.

问题7：你能结合图形（如图3）写出条件和结论吗？

学生：可以.

已知：（补充“点[P]为[∠AOB]内一点”）如图4，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]，垂足为[D]，[E]，[PD=PE].

求证：[OP]平分[∠AOB].

问题8：这个命题证明的主要思路是什么？

学生：一角两边的条件可以证明两个三角形全等，进而证明对应角相等.

师：不够准确，这里的两边一角并不是[SAS].应该是直角三角形的[HL]證明两个三角形全等，进而证明对应角相等，得角平分线.

问题9：你能用几何语言表达这个定理吗？

学生：可以.

∵如图4，[PD⊥OA]，[PE⊥OB]， [PD=PE]，

∴[OP]平分[∠AOB].

师：标注条件①②③.

①[OP]平分[∠AOB];②[PD⊥OA]，[PE⊥OB];③[PD=PE].

角平分线的性质定理就是①②⇒③.

角平分线的判定定理就是②③⇒①.

设计意图：在几何教学中，我们会遇到很多的互逆定理，这些定理很多时候都是图形的性质定理和判定定理.教学时，教师可以不断地使用“同位角相等，两直线平行;两直线平行，同位角相等”这两个最初的互逆定理来启发学生，让学生在学习几何的过程中能够厘清知识点之间的关系.

3.对条件和结论调换位置产生的新命题

问题10：上面的标注条件①②③，有①②⇒③，还有②③⇒①，那么有没有①③⇒②，大家动手画图试看看.

学生：应该有吧.

师：根据已知条件，边演示边讲解.

问题11：如图5：这个作图过程说明了什么问题？

师生：已知[OP]平分[∠AOB]，[PD=PE]（以[P]为圆心，[PE]的长度为半径画圆，交[OA]于[D]点），但不能保证 [PD⊥OA]，[PE⊥OB]，也就是①③⇒②这个命题是假命题.这也说明了条件②是研究角平分线定理的前提条件，标注条件①③分别作为条件和结论构成了互逆定理，这样也符合互逆命题的概念.

问题12：如图6、图7，已知[OP]平分[∠AOB]，[D]，[E]分别在[OA]，[OB]上，且[PD=PE].

师：大家分组看看，针对这样的已知，可能会提什么问题呢？（设计题目）

生1：如图8，若[PE=PD=5]，[OE=8]，点[P]到[OB]边的距离等于4，[OD=]                      .

师：出题者上台讲题.

针对已知题设可能会出现的两种情况，根据尺规作图很容易分类讨论.

这类填空题是有区分度的好题.

生2：如图9，求证[△ODP≌△OEP].

师：很好，我们分析一下条件.[∠DOP=∠EOP]，[OP=OP]，[PD=PE]能直接证明吗？

生2：（上台讲题）先根据角平分线的性质定理作辅助线[PN]，[PM]得[PN=PM];再根据[HL]证明[△PDN≌△PEM]，间接得到[∠ODP=∠OEP];最后根据[∠ODP=∠OEP]，[∠DOP=∠EOP]，[OP=OP]，证明[△ODP≌△OEP].

师：非常好.根据图形直观判断，我们肯定可以证明两个三角形全等.在条件不满足全等判定条件时，我们通过二次全等得以证明，生2思路很清楚.

生3：如图6，求证[∠ODP=∠OEP]，[OD=OE].

师：根据上面问题的解答，这个问题就很显然了吧？延续生2的全等三角形思路，对应角、对应边相等就没有问题了.大家再想想如图7的情况可以求证什么？两个三角形全等？[∠ODP=∠OEP]？

生：不可能，看着就不相等.

师：角不能相等可能会有什么其他数量关系？

生4：如图10，求证[∠ODP+∠OEP=180°].

师：非常合理的猜测，证明看看.

生4：（上台讲题）先根据角平分线的性质定理作辅助线[PN]，[PM]得[PN=PM];再根据[HL]证明[△PDN≌△PEM]，得到[∠ODP=∠PEM]，间接可以得到[∠ODP+∠OEP=180°].

师：好棒！思路清晰，讲解完整！点C在角平分线上的位置不同，图形也不一样，如图11、图12、图13.

问题13：应用我们这节课所学，大家能否解下面的题目？

已知：如图14，在四边形[ABCD]中，[∠ADC+∠ABC=180°]，[AC]平分[∠BAD].求证：[BC=CD].

问题14：角平分线，对角互补，线段相等，三条件解题的关键是：角平分线基本图形辅助线是什么？

学生：两垂直.

师：非常棒！动手试看看，谁可以上台来讲题？

生：作两垂直线段如图15，根据对角互补可以得到[∠ABC=∠CDM]，根據角平分线的性质可以得到[CN=CM].还有直角这个条件，就可以证明[△BCN≌△DCM].

师：看来大家都非常熟练掌握了角平分线的性质定理，对于它的基本图形中的两垂直也是印象深刻.对角互补的模型应用值得我们继续研究，将它整理成一个专题，希望你们在课后查有关对角互补模型的资料，我们下节课再来一起分享和展示.

设计意图：对于初中阶段出现的几何模型，学生一直是一知半解，大多是在解题时教师才提及这个就是对角互补的模型.但是对于各个几何模型的根源及原生形态，很少有人提及.笔者认为在数学教学中注重拓展知识的自然性，有助于学生在解决问题时能联想到最原始的基本图形，分解图形，降低难度.

4.课后作业

（1）如图16，[∠AOB=∠DCE=90°]，[OC]平分[∠AOB]，求证：[CD=CE]，[OD+OE=2OC].

（2）如图16，[∠AOB=∠DCE=90°]，[CD=CE]，求证：[OC]平分[∠AOB].

以教材为根本，结合历年中考真题，重视教材中相关知识点和重要几何模型的梳理，是教师在上每节新课前要做的功课.教师应重视挖掘教材，并灵活拓展，让学生真正进行深度学习.

[   参   考   文   献   ]

[1]  佩利格里诺，希尔顿，沈学珺.运用深度学习提高21世纪能力[J].上海教育科研，2015（2）：1.

[2]  朱绍志.中学数学教学要追求“五精”[J].中学数学教学参考，2018（35）：46-49.

[3]  李军.重视互逆命题教学，提高解题教学品位[J].中学教学，2014（14）：32-33.

（责任编辑 黄桂坚）