关于线性代数混合式课堂教学的探索

马文雅　肖羽　吴星

摘  要：线性代数是高校理、工、农、医、经、管等学科的基础必修课程，在信号处理、信息与通信技术、数据科学等领域都有许多重要应用，又是矩阵论、随机矩阵以及数值计算等后续课程的基础，搭建了相关高階课程必要的数学基础和逻辑推理的桥梁。鉴于线性代数本身的重要性和教师在教学中面临的相关问题，本文根据线性代数本身的特点和在学校实施的情况，对线性代数课程的混合式课堂教学问题进行了研究与探讨。

关键词：线性代数; 混合式;课堂教学

中图分类号：G642.1    文献标识码：A    文章编号：1673-7164（2021）43-0055-03

线性代数内容涉及行列式、矩阵、向量及其线性相（无）关性、线性方程组、特征值与特征向量、相似对角化、二次型等较为典型和抽象的概念[1-3]，概念多、性质杂、知识点纵横交错，内容具有高度的抽象性和逻辑性等特点，满堂的烦琐推导与现实的时空限制导致该课程并不能很好地发挥课堂效果，故传统教学面临较大压力。

新技术带来了新的课堂教学模式，线上线下混合式教学能充分利用现代化教学平台，更好地调动学生的积极性，克服传统课堂教学中时空的限制，更符合时代特点。河南农业大学实施线性代数课程的混合式教学已有一年多时间，经过前期的建设准备，借鉴其他高校的先进做法，在落实线上线下混合式教学的过程中，进行了不断的尝试、思考和总结，结合实际学情特点和立德树人的目标对学校线性代数课程的课程内容、模式和考核方式以及学习效果等进行了探索和反馈，更好地优化升级课程，本研究将就此进行相关探讨。

一、传统线性代数课程特点及内容优化方案

线性代数中包含了行列式、矩阵、线性方程组、N维向量（空间）、相似矩阵、二次型等内容，知识点庞杂。传统课堂单纯地讲解各知识点和做练习，到了课程后段，学生的兴趣消磨得厉害，有的甚至干脆放弃，这警示教师要着力改进教学方法，整合教学内容以适应新局面，重新引起学生学习的兴趣。但在没有全新的技术和平台等手段之前，教师只能通过完善PPT的方式对教学方法改善，途径比较单一，应更多地在优化教学内容方面下功夫。

通过对学生情况的前期调查发现，初学者通常不太习惯抽象思考，譬如在学习行列式等抽象概念时理解不到位，容易走弯路，影响到对后续的矩阵以及线性方程组解法的学习。其实这些知识点具有较高的实用价值，若能对此类问题有明确思考，比如让学生根据数形结合原理对向量和行列式的三阶形式相应的三维空间对象举例，使学生对这部分内容首先有一个直观的理解，他们可能更愿意继续高维空间的深入学习;比如在物理背景下学习矩阵与应力的关系、张量矩阵与主应力、剪切应力等的对应;当然，矩阵表达更是在物流分配问题当中广泛存在，这些作为教学和实际的结合点，对激发学生的学习兴趣具有较好的作用，也是优化课程内容的重要方式，教师可以此为契机，对其背后重点知识阐述清楚，做到详略得当。

仅仅这样还远远不够，教师还要把优化后的内容和高效的授课形式结合起来，以更好地发挥课程改革的效用，这就需要借助线上和线下混合式的教学模式。

二、混合式教学大致框架模式

混合式教学是以建构主义理论为基础，强调以学生的学习为中心，在主动建构过程中让学生完成知识与能力的习得，且以信息技术的运用为标志，将线上与线下学习融合的教学方式。

线性代数是河南及河南农业大学的精品课程，在国内爆发新冠肺炎疫情的初期，为应对突发教学情况河南农业大学较早开展了线上教学，并发展到目前的线上线下混合式教学，见图1。学校从布置录课任务准备脚本等开始，逐步按照相应模块进行了校内资源的建设。

教师通过前期紧张准备并上线相关课程，依托校内SPOC线上资源为主线，以一些网络课程譬如MOOC教学资源、公开课等相关教学资源为辅助，在课前统一发布预习的内容，并在微信群或QQ群中上传经选择的补充资料以及布置适当的任务，发现这些对提高课前准备和课上讨论的效率都有很好的促进作用。一方面，学生可以通过在线学习，掌握课程中相对容易的内容，并对一些难点进行初步思考和归结，哪里不懂还可以回放琢磨;另一方面，教师在课堂上可以更集中地解决重难点，通过辅助场景创设、进行小组讨论、随堂测试等方法，对有争议的问题引导学生思考、深入探究其中奥妙。这一环节借由信息化手段的辅助，较大程度上调动了学生的积极性，促使学生更主动地参与到课堂活动中，真正成为学习的主体。当然，有了前期的铺垫基础，这个环节也留给教师更多时间引导课堂的讨论去向，适时引导学生聚焦和反思，更好地体现教师的主导作用。

为了巩固课堂学习效果，还需要进行必要的练习和拓展。通过QQ群作业、超星学习通、SPOC平台或App等发布习题，根据实际学习情况设定提交时间，通过互评的方式促进学生间的讨论交流，同时可以选择碎片时间批改作业，后台记录也可纳入最终成绩的参考。此外，线上平台能够很大程度地将课后问题集中到讨论区，课题组成员只要做好时间分配就能及时解答学生问题，保证讨论区的互动交流，这对学生的进一步学习也是一种鼓励和激发，能够形成一种良性循环。

三、基于混合式教学的立体化资源升级

在继续实践线上线下混合式教学的过程中，除了想办法激励学生自主学习，把学习内容进行更好地掌握之外，学校还陆续在教材建设、数学素养和课程思政等方面打造了立体化的辅助和配套资源。

首先，形成与线上资源配套的自编教材和辅导书[4-5]，从内容和结构上更适应学情和学校特点。学校具体地把教材上每个知识点做成了微知识单元，附上相应的二维码，学生可以通过扫描二维码随时随地进行学习。学院接下来采购了Maple T.A.平台，它拥有庞大的试题库资源，并对题目划分了层次，通过把题目中参数设置为随机生成，学生看到的题目互不相同，有效杜绝了抄作业的问题，而且可以专门就同一题型反复练习。经过系统的自动批改，教师可在后台查看学生的学习和答题情况，掌握学生参与测试的情况和学习中的薄弱环节，从而有针对性地对学生开展辅导和答疑，为过程化教学提供依据，大大减轻了教师批改作业的压力，让教师能够有更多时间投入对学生的关注、提升教学科研水平上。

其次，通过提升教学科研水平，传递给学科最新的发展理念。学样本着立足于应用案例渗透现代数学思想方法和工具的思路，在统计学和热门的数据科學中，介绍矩阵的乘积、特征向量等相关内容在数据的相关性和数据降维方面的应用，从深度学习到宽度学习中相关工具、线性变换在强化学习中的重要作用，以及在实际问题中采用软件计算解决大规模线性方程组问题的效用，这些都大大激发了学生的兴趣，使其顺着这个兴趣钻研下去，为学生后续的数学建模等各类竞赛活动的开展有很好的促进和推动作用。

基于过程化学习原则，考核方面，学校采用“在线学习+作业情况+实践+测验+考试”的评价模式，并逐渐加强对平时学习，包括线上学习和线下参与课堂活动及实践活动的比例，降低最后考试成绩比重的综合评价倾向，通过师生间的双向反馈，渐渐营造学生把功夫用在平时、对问题进行主动探究的浓厚学习氛围。

最后，课程后续还着重加入了思政元素，一方面从数学史中提炼出思政元素，培养学生数学核心素养;另一方面从实际生活经验、社会热点以及高科技的应用中提炼思政元素，增强学生的使命感和责任感[6]。课程本身并没有局限于知识内容的讲授，还包含教书育人、以德树人的社会责任感和塑造学生正确价值观的使命感，能够培养具有历史担当、满足社会发展需求的高素质型人才，这也使得课程变得更加饱满。

四、结语

从实际效果来看，通过精选教材内容，选择合适的场景案例，结合先进教学手段，线性代数混合式教学的效果明显，学生对课程的评价比较高，整体学习兴趣和成绩也有明显的提高。新模式能够更好地促进理论知识的实际应用，在引入新理念与课程内容结合应用的基础上，开放实验室和软件求解的操作等，提高了学生的知识转化能力以及解决实际问题能力，提高了学生的创新思维和拓展能力，考核方式的转变也促进了学生动手能力的提高，后期学生参与数学建模竞赛的热情显著增加。社会热点问题的讨论、课程思政的开展有助于学生树立正确的人生观、价值观和社会主义荣辱观，提高学生的社会责任感和为社会主义现代化建设事业的奉献精神。河南大学将继续在已有教学资源的基础上，更新和完善课程形式和内容，注重知识的延伸和拓展，优化线上线下过程评价和结果的测评方法，挖掘思政素材，不断进行实践探索，推广采用线上线下混合式教学模式，帮助学生更好更快地成长、发展和成才。

参考文献：

[1] 李尚志. 线性代数：数学专业[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[2] 同济大学数学系. 线性代数：第6版[M]. 北京：高等教育出版社，2019.

[3] Sheldon Axler. Linear Algebra Done Right，2nd ed[M]. New York：Springer-Verlag，1997.

[4] 曹殿立，马巧云. 线性代数：第2版[M]. 北京：中国农业出版社，2020.

[5] 曹殿立，张建林. 线性代数学习指导：第2版[M]. 北京：中国农业出版社，2020.

[6] 曹殿立，苏克勤，曹洁. 融合思政教育的线性代数在线课程教材建设研究[J]. 科教文汇，2020（06）：49-50.

（责任编辑：汪旦旦）

基金项目：本文系2020年河南省首批本科高校课程思政样板课程“线性代数”[项目编号：教高（2020）531-24];2017年度河南省高等教育教学改革与实践项目“线性代数在线开放课程教材的研究与建设”[项目编号：教高（2017）1039-2017SJGLX244];2018年度中华农业科教基金教材建设研究项目“融合思政教育的线性代数在线开放课程教材建设研究”（项目编号：NKJ201802008）的研究成果。

作者简介：马文雅（1982—），女，博士，河南农业大学信息与管理科学学院副教授，研究方向：偏微分方程;肖羽（1982—），女，博士，河南农业大学信息与管理科学学院讲师，研究方向：应用数学;吴星（1989—），女，博士，河南农业大学信息与管理科学学院讲师，研究方向：偏微分方程。