立足学生基础强化代数推理

焦倩玉

本节是苏科版教材七年级下册第10章“二元一次方程组”的第3节第1课时。在此之前，学生已经了解了二元一次方程和二元一次方程组的概念，经历分析实际问题数量关系再列出方程组的过程;同时，也学习过一元一次方程的相关知识，会解一元一次方程。本节学生在尝试、探索、比较的活动中，发现了代入消元法，体会从二元到一元、从未知到已知的转化思想，为学习加减消元法，解三元一次方程组和用二元一次方程组解决问题奠定了基础。

一、教学目标

1.会用代入消元法解二元一次方程组，并能根据二元一次方程组的特点，选用适当的代入消元方式。

2.使用思维导图分析代入法解方程组的具体步骤，展示各步骤的作用，将思维可视化;渗透算法中程序化的思想，提高思维深度。

3. 经历从二元到一元的转化过程，体会解二元一次方程组中化未知为已知的转化思想方法。

二、教学重难点

教学重点：会用代入消元法解二元一次方程组，并能根据二元一次方程组的特点，选用适当的代入消元方式;经历从二元到一元的转化过程，体会转化思想。

教学难点：归纳得出“将未知数的个数由多化少”的消元思想，然后在这种思想的指导下，从具体到抽象，从特殊到一般，认识代入消元法。

三、教学过程

1.问题探究。

篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分。在中学生篮球联赛中，某球队赛了12场，共得20分。该球队赢了几场？输了几场？

问题1：你能用方程表示问题中的数量关系吗？

问题2：你会解这个二元一次方程组吗？如果不会，你知道这个方程组解的形式吗？

【设计意图】创设学生熟悉的情境“篮球比赛积分问题”，让学生列出方程（组）。有两种不同方法：一是列两个二元一次方程;二是只设一个未知数，列一元一次方程。比较这两种方法，可以发现，方法一难解，方法二难列。学生已经会解一元一次方程，二元一次方程组虽然好列，但是如何解二元一次方程组成为新问题。

问题3：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？

【设计意图】问题3是本节课最核心的问题。如果设球队赢了x场，输了y场，则可以列出方程组x+y=12，2x+y=20。问题3可以引导学生发现一元一次方程中的12-x 就是方程组中的y，一元一次方程中蕴含的两个数量关系和方程组所表示的数量关系是一样的，也就是说这个二元一次方程组和一元一次方程本质上是一样的。所以我们需要减少未知数的个数，将二元一次方程组转化为“一元一次方程”。

问题4：如何实现从二元一次方程组到一元一次方程的转化呢？

问题5：你能说出每一步的依据吗？

问题6：你能写出解这个二元一次方程组的完整过程吗？

【设计意图】采用思维导图的形式，渗透算法中程序化的思想，强化思考的深度。分析二元一次方程组，经过对①式进行变形、再代入②式，转化成学生已经会解的关于x的一元一次方程。变形的依据是等式的基本性质，代入的依据是等量代换，引导学生关注每一步的依据。根据思维导图，写出解二元一次方程组的完整过程，进一步体会用代入消元法解二元一次方程组的基本思路。

问題7：你还有其他的变形或者代入方法吗？请画出思维导图。

问题8：这4种方法你都喜欢吗？选择你最喜欢的方法写出完整过程。

问题9：这4种方法之间有什么共同点？

【设计意图】讨论解这个二元一次方程组其他的变形或代入方法，总共4种。体会既可以用含x的代数式表示y，也可以用含y的代数式表示x，既可以将①式代入②式，也可以将②式代入①式。比较这4种方法会发现，当未知数系数的绝对值为1时，转化后的一元一次方程将更加简便，体会方法的优化。学生在观察比较的基础上，归纳概括代入消元法的基本步骤，即代入法是通过把一个方程（必要时先做适当变形）代入另一个方程实现消元的方法。

2.例题讲解。

问题1：代入消元法的基本步骤是什么？

问题2：选择消去哪个未知数更为简便？

问题3：如下解答过程中，可以将③式代入①式吗？

问题4：如何检验解是否正确？

【设计意图】例题的目的是巩固对代入消元法的认识。应鼓励学生自己尝试求解，在此基础上，引导他们进一步认识代入法的基本步骤“变形——代入——求解——写解”。使用代入消元法时，在条件允许的情况下，我们会优先选择消去系数绝对值是1的未知数，避免产生分数系数。引导学生根据方程组的特点，灵活选用适当的方法。例题更关注具体细节。如，由于③式是由①式得到的，所以它只能代入②式，而不能代入①式，否则会出现不含未知数的恒等式，不能继续解方程。例题虽未作出书面检验，但依然要强调检验的重要性，要求学生做心算检验，养成检验的好习惯。

3.巩固提升。

问题：仔细观察方程组结构的特殊之处，能不能带来新的解题思路？

【设计意图】思路一、二为常规解法，思路三渗透整体思想 。进一步观察思考后，会发现两个方程中y的系数互为相反数，由此得出新的思路——通过两个方程相加实现消元。说明除了代入消元法以外，还有其他的消元方法。这为下一课时学习加减消元法提供了铺垫。

4.课堂小结。

问题1：这节课你收获了什么样的方法？

问题2：这节课你感受到了什么样的数学思想？