设计有效活动 促进学习资源结构化

陈丽云

数学课程标准第二学段目标中明确指出：“要让学生经历探索给定事物中隐含的规律，使学生的数学思考有条理，并具有一定的归纳能力。”目前小学数学教学中，学习资源碎片化，数学思考单一的情况较为普遍，现结合人教版数学四年级下册“数图形的学问”这一学习内容，从设计有效活动、促进学习资源结构化方面做一些探讨。本课时通过让学生画示意图、探究数图方法的系列活动，经历在多次数简单图形的过程中发现规律并总结归纳方法，形成结构化的探究过程，培养学生认真观察、有序思考、总结归纳的思维品质。

片段一：创设情境，提出问题

出示情境图：

师：同学们，这是小鼹鼠的新家，请仔细观察，你从图中发现了哪些信息？

生1：一条隧道上有4个洞口。

生2：小鼹鼠说：“任选一个洞口进入，向前走，再任选一个洞口出来。”

师：读了这句话，你读明白了什么？请找一找关键词。

生：任选、向前走。

师：同桌讨论“任选、向前走”两个关键词的意思。

生1：“任选”就是可以从第1个口进入，从第2个口、第3个口或者第4个口出来。

生2：也可以从第2个口进入，第3个口或者第4个口出来。

生3：“向前走”就是只能向前走，不能往后走。

……

师：根据你了解的小鼹鼠地洞的信息，你能提出什么数学问题？

生1：小鼹鼠回家有多少条不同的路线？

生2：到小鼹鼠家做客可以走多少条不同的路线？

设计意图：引导学生观察情境图，通过猜想和追问，找准关键词，提出探索的问题。

片段二：独立思考，探究方法

师：要研究这个有趣的问题，我们可以用什么办法比较简洁？

生1：可以用数图的方法。

生2：可以画线段图来分析。

……

师：请同学们独立思考，选用比较简洁的方法尝试画示意图。

教师巡视指导，展示有代表性的示意图。

师：看示意图，说一说1、2、3、4代表什么？哪里是洞口之间的距离？

生观察发现：1、2、3、4代表洞口，洞口之间的距离不是很清楚。

师：说一说哪里是洞口？哪里是洞口之间的距离？

生观察发现：洞口表示得很清楚，但表达不方便。

师：图3和图1、图2有什么不一样的地方？说一说。

生：我用字母A、B、C、D来表示洞口，用线段图可以清楚地表示洞口之间的距离。如果用数字表示洞口，数的时候容易和数路线混淆。

师：三种示意图哪一个更简洁清晰？

生：示意图3更简洁清晰。

师：对呀，其实示意图3就是把小鼹鼠家的路线图转化为线段图了。看了示意图后你又发现了什么？

生：就是把数小鼹鼠回家的路线转化为数线段图的条数了。

师：这位同学真会思考。（板书：数图形的学问）

设计意图：数小鼹鼠回家的路线问题，其实质是数点与点之间能组成多少种不同的线段问题。设计尝试画示意图的动手操作活动，引导学生探究简洁清晰的表示方法，通过展示三种有代表性的示意图，让学生在画一画后，再说一说、比一比，经历知识形成过程，在梳理表达中感知化繁为简和转化的数学思想，积累基本活动经验。

片段三：建构模型，形成结构化

1.建构“数图形”方法的模型。

师：请抓住关键词“任选、向前走”研究第三个示意图有多少条不同的路线？试着在图上画一画、数一数，并跟同桌说一说。

学生自主画图，教师巡视指导，找出典型作业。

师引导学生逐一讨论：

生：作业1和作业2有遗漏，没有数完，作业3数的是对的。

師：请作业3的同学说一说你是怎么想的？

生：（边说边用彩色笔标注）我先数AB、AC、AD，再数BC、BD，最后数CD。

师：你能说说这样数有什么好处吗？

生：这样有顺序地数，可以做到不重复、不遗漏。

（板书：有序）

师：同学们琢磨琢磨，他是分几类来数的？

生：三类。第一类是AB、AC、AD，第二类是BC、BD，第三类是CD。

师：（课件演示）这位同学是按点的位置分类从左到右的顺序数。

从A点出发有3条路线AB、AC、AD，从B点出发有2条路线BC、BD，从C点出发有1条路线CD。所以列式为：3+2+1=6条。

师：按点的位置分类，在自己的图上比画比画。

师：还有不同想法吗？

学生作业4：

生：我数的也是6条，但方法不一样。（边说边用彩色笔标注）我先数AB、BC、CD，再数AC、BD，最后数AD。

师：谁听明白了？

生：他是先数1小段的，再数2段的，最后数3段的。

师：（课件演示）这位同学是按线段的长短分类，从短到长的顺序数。最短的线段有3条AB、BC、CD，二合一的有2条AC、BD，最长的有1条AD。列式为：3+2+1=6条。

思考：这两种数法都用算式“3+2+1”来表示，这里面“3”“2”“1”表示的意义相同吗？

生：不相同，作业3的“3”表示从A点出发有3条路线，“2”表示从B点出发有2条路线，“1”表示从C点出发有1条路线;作业4的“3”表示最短的路线有3条，“2”表示二合一的路线有2条，“1”表示最长的路线有1条。

师：这位同学的表达很准确。刚才我们用数线段的方法解决了鼹鼠回家有多少条路线的问题，通过交流，你有什么发现？

生：都是按一定的顺序来数，数法不同，结果相同。

师：有顺序地数有什么好处？

生：有顺序地数才能不重复不遗漏。

2.小结。

同学们说得很有道理，有顺序地数可以帮助我们数的时候不重复不遗漏。（板书：不重复不遗漏）

设计意图：站在学情视角和知识视角，由简单问题入手，让学生自主画图，在教师的引导下，交流不重复不遗漏数线段的方法。事实证明，学生能自己找到分类数的方法，并能准确表达。本环节让学生经历了理解问题、独立思考、分享交流、总结归纳的过程，从他们的所思、所做、所谈中增长知识，积累经验。

片段四：探索规律，总结方法

师：看来在遇到问题的时候，同学们都能想到用画示意图的方法解决问题，而且能进行有序思考。刚刚小鼹鼠仅仅打了4个洞口，就有6种不同的路线。如果有5个洞口、6个洞口、7个洞口又会有多少种不同的路线呢？有兴趣解决吗？

出示学习要求：

（1）独立填写表格，可以画一画、数一数，也可以直接列出算式。

（2）观察表格，思考从中发现了什么规律？

（3）在小组内交流你的发现。

（4）教师巡视指导。

（5）全班反馈。

师：同学们怎么这么快就算出了结果？

生：有规律。

师：说说有什么规律？

生1：算式的加数从1加起，每个加数依次多1，最大的加数比端点数少1。

生2：最大的加数比端点数少1，依次减1往下加，一直加到1。

师：按照这样的规律，9个端点怎么加？10个端点呢？

生：9个端点从8加起，依次减1一直加到1，10个端点从9加起，依次减1一直加到1。

师：如果100个端点，或者更多的端点呢？能否研究一个更简洁的表示方法。

生：我们可以用n表示端点数。这样就可以把算式总结为公式（n-1）+（n-2）+……+2+1。

设计意图：“为学生学会思考而教”是数学教学的基本认识，本课从引读情境图—画示意图—探究问题串—形成结构化这样的思路进行探讨，引导学生析读图意，理清数学信息结构，提升学生思考的深度。通过结构化教学，使生活问题数学化，复杂问题简单化，数形结合模型化。

片段五：联系生活，学以致用

师：同学们，今天我们主要采用画图法探究了数线段的方法，发现了有趣的数学规律，用这些数学规律可以解决很多生活中的问题。

课件出示临沧到大理的铁路交通图。

师：2020年咱们临沧铁路开通了，拉近了我们与世界的距离，这是临沧到大理的铁路交通图，观察图你看懂了什么信息？

生：我看到图上有11个站。

师：临沧到大理的站点中单程需要多少种不同的票？仔细阅读题目你知道单程是什么意思吗？

生1：从一个地方到另一个地方。比如：临沧-丫口寨、临沧-头道水、临沧-云县、临沧-茂兰……

生2：只能往前走，去了不回来。

生3：就是有去無回。

师：同学们理解很到位，单程就是只去不回。能算算一共需要多少种不同的车票吗？

生：这和我们数线段是一样的，有11个站台就相当于11个端点，可以用我们总结的公式（n-1）+（n-2）+……+2+1来计算，就是10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55，所以是55种不同的车票。

师：这位同学真会思考问题，结合我们研究的数线段问题解决了生活中的乘车问题。

设计意图：借助研究的数学模型解决生活中的问题，使刚建立的数学模型得以应用，体现生活问题数学化，数学问题模型化，更好地让学生体会到，数学不但来源于生活，更重要的是应用于生活。

片段六：归纳总结，拓展思路

师：这节课你学到了什么呢？

生1：我学到数线段的方法。

生2：我知道要想不重复不遗漏地数图形，要按顺序数，分类计数。

生3：要解决复杂的问题我们可以从简单问题开始。

师：同学们通过这节课的研究获得的知识还真不少。老师还有一个更好的妙招，给大家见识一下，下去试试能学懂吗？有兴趣的同学可以去查阅“高斯求和”的方法。

设计意图：拓展是将原有知识进行思维延伸，提升解决新知识的能力，本课时对“数图形的学问”进行系统化、层次化、结构化的设计，抓住知识的延伸点适当拓展，渗透数学文化。同时让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，培养学生自主学习的意识和学习数学的兴趣。