二项式定理教学感想

林祖灿

【摘要】二项式定理是数学高考的一个考点，主要从数、图两个方面来考查二项式定理的变形与应用.二项式定理是代数式乘法的推广，能利用组合性质证明二项式定理.用杨辉三角和组合的性质从数图两个方面认识二项展开式的特点，分析二项式的展开式各项系数的特点，能利用通项公式求二项式系数、展开式系数、常数项、有理项等.

【关键词】代数乘法;组合思想;通项公式;规律总结

二项式定理是数学高考常考的考点，主要从数、图两个方面来考查二项式定理的正用与逆用.二项式定理是代数式乘法的推广，能利用组合性质推导二项式定理.学生通过合作交流，自主探究二项式定理的形成过程，可以培养学生观察、分析、比较、总结的能力，以及转化与化归的数学思想，领会从特殊到一般、一般到特殊的数学方法，领会数学语言表达的规范化.用杨辉三角和组合性质从数图两个方面分析二项式定理的展开过程，分析二项式的展开式各项系数的特点，能利用通项公式求二项式系数、展开式系数、常数项、有理项等.

在课堂教学中，教师引导学生探究数学史中牛顿在二项式定理“数”方面的发现，以及杨辉在《九章算法》中“形”方面的贡献，分析规律，归纳猜想，让学生由图到数，数形结合，观察、分析、比较、总结杨辉三角及展开式的结构特点，认识二项式定理;同时引导学生利用组合性质，借助杨辉三角的“图”特征，总结归纳项的数字系数，字母系数，单项式的个数，字母a，b次数的变化特点，为推导（a+b）n的展开式提供了方法，使学生在后续学习过程中有“法”可依.通过（a+b）3，（a+b）4展开式的探究方法，学生类比得到（a+b）n的展开式.二项式定理的证明采用“说理”的方式，从计数原理的角度对展开过程分析，概括出二项式的展开式的特点，利用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式.其中，二项式定理的常用结论有：

下面就二项式定理在数学高考试题中常考的题型的变式训练加以举例说明.

一、利用通项公式求展开式中指定项或特定项

利用通项公式来求二项式系数、展开式系数、常数项、有理项等，此类题的解题步骤：①写出通项公式;②令未知数的次数等于指定的次数，求出r的值;③带入通项公式中，即可求出指定项或特定项.

二、利用赋值法求有关系数的和

利用二项式展开式中各项系数的规律，求有关系数的和.此类题的解题步骤：①写出已知二项式的展开式;②一般令未知数值等于1，0，-1;③通过加减运算，即可求出有关系数的和.

三、利用二项式定理证明整除问题和证明有关不等式问题

二项式定理在高考试题中还考查与其他知识点的综合运用，通常利用二项式定理证明整除问题和证明有关不等式问题，以及求近似值的问题.此类题的解题步骤：①利用二项式展开式的通项公式;②根据二项式展开式中各项系数的规律;③结合证明的问题，进行推理论证和运算求解.

总之，二项式定理是数学高考中常考的一个考点，本文就二项式定理在数学高考试题中常考的题型加以改编并举例说明.此外，与二项式定理有关的题型还有二项式系数、展开式系数、展开式中的项最值问题、二项式定理的正用与逆用等，与二项式定理有关的题型不胜枚舉，本文就不一一列举了.在课堂教学中，教师需要不断地探索课程改革与教学改革，推陈出新，不断发现新问题、新思路、新方法，从而不断完善自我.

【参考文献】

[1]林新建.数学高考解题的三化四策八关注[M].厦门：厦门大学出版社，2015.

[2]薛金星.全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2011.

[3]赵慧.浅析高考选择题的解法[J].中学数学，2012（02）：35.