“概率论与数理统计”课程教学改革的几点思考

◎李 昕 (郑州轻工业大学，河南 郑州 450000)

“概率论与数理统计”是研究自然界中各种随机现象的统计规律的一门学科，是高校理工科专业开设的一门非常重要的数学类基础课，也是考研数学的重要内容[1].在当今社会，概率统计方法的应用已经深入到社会生活的各个领域.如果留心观察，在我们身边也处处可见概率统计知识应用的身影.

本课程的内容既抽象又生动.说它抽象，是因为教学内容中充满着大量的数学公式与运算，拥有非常严密的逻辑结构，思维方式体现了强烈的数学特色，因此很多同学在学习过程中感到难以理解，学习不得法，找不到解决问题的正确思路；说它生动，是由于它有别于我们之前接触到的其他数学课程，总是好像空中楼阁一样，看不到和我们实际生活的任何联系，所以学生常常会有这样的疑问：学数学究竟有什么用？而“概率论与数理统计”从课程一开始，每一个概念的引入都来源于我们日常生活中最普通最常见的随机现象，比如抛硬币来看正反面，比如抽扑克牌比较大小，比如猜测路口的红绿灯，比如等车时比较谁等的车先到等，生活中的随机事件随处可见，每一个人都曾接触或体会过，只是不曾细想其原理而已.作为一门数学课，它不再是一门看不见摸不着的课程，因此，不论从课程的重要性与它的实用性，或者是它的特殊性，作为教师，都应该努力使学生学会它学好它，掌握其中的基本概率思想与统计方法[2].下面简单谈一谈在“概率论与数理统计”教学实践过程中的几点认识.

一、提前做好教学安排

(一)教学计划透明化

教学安排或教学计划是课程设置的整体规划，是根据一定教学目的和培养目标制定的教学工作的指导文件，因此它制定的质量与教学过程取得的效果息息相关.在每个学期开始之前，任课教师都会制定一个教学日历，根据课程的教学时数对所需讲授的所有内容加以分配，包括每次课堂内容结束之后留给学生的习题也会予以说明.这使得教师可以按照此教学安排表进行教学，尽可能保证了教学过程的顺利进行及教学任务的按时完成.但是对于学生来说，对于教学进度是无法把握的，接触一门陌生的课程，学生本来从心理上可能就会产生一种抵触的情绪，就像新到一个陌生的环境一样会有点无所适从，这样是很难培养学生的学习兴趣的，如果能够在学期初始就把本课程的教学安排透明化，学生能够大致把握每堂课将要学习的内容，有助于学生达到一个心里有底而不慌不忙的学习状态.

(二)教学计划细致化

通常所用的教学日历，只是大略描述一次课堂教学的主要内容，或者是对章节标题做了一个分配，比如离散型随机变量，随机变量的数字特征等，而对其中包含了哪些概率论的基本概念，则完全没有提及，如果能把计划做得更加细致，在标题内容下有一个展开，把涉及的概念和问题作以说明，类似于给出一个教学流程图，那么学生就可以据此来有的放矢地进行预习或复习，有助于提高学习效果.

(三)使用国外的优秀教材作为参考

关于“概率论与数理统计”，国内外都出版了大量的优秀教材，现在我们已经可以容易地找到很多国外高校的教材甚至是完整的教学视频.由于文化差异与学习习惯不同，国内外的概率统计类教材在内容设置和安排上有很大差异.比如，我们习惯先介绍概念再给出实例说明，而外文教材中往往是先给出实例，提出疑问，进而总结出概念.教师在选用的教材之外，可以介绍一些外文教材，鼓励学生以此作为参考书，或在课堂教学上转换一下教学顺序，有助于激发学生的学习兴趣以及对知识应用的融会贯通.比如在学习连续型随机变量的分布时，对于均匀分布大家很容易就理解了，但对于指数分布往往觉得抽象.教师可以在上课时提出这样一个问题：“公交车始发站一般发车时间间隔是相等的，但在中途站点等车时却感觉公交车的到达时间间隔是不相等的，为什么呢？”相信这样的体会大多数学生都有过，当然会回答是随机因素的影响，那么经过影响之后的时间间隔就是一个随机变量了，这个随机变量可能服从什么样的分布呢？通过一个问题使学生对要学习的概念有一个感性认识，更有利于记忆，且后续学习期望概念的时候仍然可以把问题延续下去.

二、合理调整教学内容

(一)加强概念与实例的结合

学生在初接触“概率论与数理统计”课程的内容时，可能会觉得知识体系复杂，概念繁多，难以理解.但事实上，概率统计中的概念都是来源于实际生活，我们其实每一个人在学习和生活中早就已经应用了这些知识理论.如果能在教学中加强概念与实例的结合，把抽象严谨的数学概念讲解得通俗一些，学生往往会易于接受，抛弃课本中的陈旧例子，多举贴近学生生活的实例，教学过程也会有事半功倍的效果.例如，在介绍全概率公式与Bayes公式时，可把完备事件族{A1,…,An}中的每一个事件Ai看成导致事件B发生的一个原因，先验概率P(B|Ai)是已知原因Ai发生时有结果B的概率，后验概率P(Ai|B)是已知事件B发生了来求由Ai导致它的概率.这样空泛的讲解，学生可能不易理解，也提不起学习的兴趣，若联系实际则容易得多.比如说某人感冒记为结果B，若治疗需对症下药，那么病因可记为A1,A2,A3,….再比如某位学生考试不及格记为结果B，可由多种原因导致，假设A1表示学习不努力，A2表示试卷太难，A3表示发挥失常，A4教师改卷发生错误，各种情况，可展开讨论，增强互动，调节课堂气氛，调动学生学习的积极性.

(二)培养学生的学习兴趣

都说兴趣是最好的老师，有了兴趣也就有了学习动力.基于概率统计理论在现实生活中的广泛应用，相比于其他数学课程，在教学上是相对灵活与有优势的.例如在介绍概率起源的时候，利用非常著名的赌本分配问题：在17世纪的欧洲，有一次两名赌徒赌博，两人各拿出相同数目的钱作为赌本，然后掷骰子，规定五局三胜，赢的人可拿走所有的钱，可只进行了三局，当甲两胜一负时，警察来了，两人匆匆按当时结果分配了赌本，甲占三分之二，乙占三分之一，这样的分配合理吗？像这样的一些小故事可以引发学生的好奇心，而要想弄明白，就要学习概率的相关理论.当然，更多的，是激发学生自发地去寻找自己身边的一些随机现象与概率统计理论之间的联系.比如学生高考填写志愿表，会打听各学校各专业前几年的录取分数，以此作为依据来调整志愿，判断自己被录取的可能性，这其实就是数理统计中点估计的概念的应用.再比如学校中教学检查周听某位教师的课，通过一次听课来对教师的课堂教学情况给出一个大致的评判，这不正是抽样理论的应用吗？如此实例，举不胜举，只要有心，会发现我们每个人早在每天的日常生活中应用这些不同的统计规律了.因此，可在联系实例讲解一个概念或定理之后，启发学生，让学生自己寻找相关的应用，学生有了学习的兴趣，自然能有良好的学习效果.

三、探索新的教学方式

(二)利用好现代化的教学手段

随着计算机技术的发展与应用，以及去年疫情期间对网络教学方法的推广，目前很多课程都采用了线上线下教学相结合的教学模式，这在一定程度上提高了教学效率，使得课堂时间能够被充分利用，避免过多重复劳动，同时微课由于其短小精悍的特点，易于存储，易于下载，因此可把教材中的一些难点、重点，比如说全概率公式，随机变量的含义，大数定律，中心极限定理或者复习专题等分别制作成微小课件，学生随时需要，随时学习，学习的灵活性大大增加，学习过程可延伸到学生的生活之中.但实际的教学实践结果表明，很多学生并没有充分利用线上的学习资料，甚至基本没有使用，比如有些同学线上测试成绩只有不到10分，严重影响了综合成绩，这就与我们的初衷背道而驰了.

因此，怎样在科技进步后，有了更多的手段和方法后，把它们有机地结合起来，更重要的是让学生认可、接受并习惯这样的学习模式，是目前亟待解决的问题.有一些方法已经或正在尝试，比如增加线上成绩在综合成绩中的比重，在线上设置章节测试作为任务，参与讨论给予积分等，对于提高学生的参与度有一定效果但仍需进一步完善.以学生为主体的学习，绝不是教师的放手，而是要引导学生学会学习.

(三)实验教学与软件操作相结合

“概率论与数理统计”作为一门与实际生活联系紧密的应用型学科，它所有的定理结论都来源于现实中的随机现象，但我们在教学过程中，常常会忽视这一点，总是不厌其烦地给学生讲解那些定律公式的使用，告诉学生如何去计算出想要的数值，却不小心把它变成了一门空中楼阁式的数学课程，学期没到一半，学生就已经有了畏学情绪.如果能够在教学过程中适当安排一些实验活动，让学生自己去观察我们身边的随机现象背后的统计规律，从直观的背景中了解某些结论的产生过程，会对学生的学习状态产生深刻影响，比如几何概型中蒲丰投针的试验，可以让学生自己动手操作一下，而不仅仅是教师的口头介绍；在学习随机变量的分布时，可以让学生计算一下班级的成绩分布，看看自己所处的位置；在讲解数字特征时，可以让学生每人拿一袋盐或一个鸡蛋，称称它们的质量，计算一下均值和方差，会有一个更感性的认识.在学习统计知识时，可以让学生自己通过观察、测量去理解，比如估计一分钟内学校门口的车流量，食堂某个窗口午餐时的平均就餐人数，所在班级本学期的出勤率等，通过一些自主的实践活动，学生会主动参与到课程的学习之中，能够根据自己观察到的结果自己去问“为什么”，自己去寻求解答，这对于学生学习能力的培养、综合素质的提高都有重要作用.

任何定量分析课程的最终目标，都应该是教会学生建立定量模型的方法，从而对现实的决策问题给出建议.而我们的教学通常是在抛开了现实背景的复杂化后的理想条件下进行的，其典型结果是，即使那些在考试中表明已熟练掌握概念定理的学生，也常常不清楚如何把那些概念运用到现实世界.“概率论与数理统计”相关教材中，应用Excel表格做运算已是家常便饭，但是绝大多数学生对这些如何进行依旧是一无所知，如果我们真的希望学生在课程中学习到的知识的实用价值最大化，学生应该掌握简单的Excel计算概率问题的方法[3].

四、结束语

对“概率论与数理统计”课程的教学改革，涉及教学过程的各个环节，目标是为了提升教学效果，但却决不仅限于此，更重要的是激发学生学习的积极性，培养学生的学习能力，使学生在以后的学习工作中能够具有自主学习、自发学习的能力.对于任课教师而言，除了提高自己的教学水平，在教学内容、教学方法等客观方面不断探索，更重要的是对教学工作的热爱与热情，对学生的认同与理解.