基于数学表达能力培养的高考数学备考教学实验*

梁永丁,刘永忠,黎奇升

(1.兴义民族师范学院数学科学学院，贵州 兴义 562400;2.湘西自治州民族中学，湖南 吉首 416000；3.吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中强调“提升学生核心素养，学会用数学的语言表达世界”[1]，“学生表达清晰，思考有条理，在发展和完善人的教育活动中起着重要的作用”[2].数学教育作为基础教育的组成部分，数学教学不仅要完成“四基”教学，还需要进一步培养学生的数学语言表达能力.

关于数学表达，目前学术界没有统一的界定.威尔金森(Louise Wilkinson，2018)认为：“数学表达既涉及学生使用语言的多种表达方式，如说话、倾听、阅读、书写等，又包括学生使用到的一系列特定的数学词汇.”[3]有学者认为，数学表达能力是指基于具体问题，调动已有的经验，经过识别理解、转译构造、组织表达，按照自我思考的方式，用口头语言、书面语言等方式，呈现出数学对象、解决问题的过程、表明观点及结论的能力[4].学者们将能运用数学语言精准表达数学问题作为衡量数学表达能力的依据.本研究将数学表达能力界定为：学习者既能用数学符号来书写表达数学问题(即“写数学”)，又能用数学语言以口头表达的形式讨论数学问题(即“说数学”)，分为口头表达能力和书面表达能力.数学书写表达和讨论交流，已成为评价学生学习能力和水平的重要标准之一.

随着课程改革的逐步深入，高考备考质量成为我国师生共同关注的问题，但目前大部分师生认为我国高考备考质量有待进一步提高，普遍存在教师认为已教会学生书写表达规范，而学生总会因书写表达不规范而丢分的矛盾.通过课堂观察发现，多数教师教学以介绍解题方法为主，弱化对典型例题的规范表述，缺少与学生的沟通交流，课堂上经常会出现“一言堂”的现象.此外，多数教师认为培养学生的数学表达能力是小学、初中数学的内容，高中阶段由于课时紧张、教学内容多，就无暇顾及学生的数学表达能力；大多数学生认为题海战术就能提高高考数学的备考质量，没必要规范表达.可见，在备考过程中，存在教师对学生数学表达能力的培养重视程度不够，学生规范表达的意识不强的现象.基于此，本研究运用文献分析法、访谈法、观察法等，分析高中生数学表达能力现状，建构数学表达能力教学模式，并在高考备考中进行教育实验研究，以期探索高考数学备考中学生数学表达能力与备考质量之间的关系.

2 实验设计

2.1 研究方法

本研究前期通过文献研究法了解数学表达领域研究相关内容，整理研究思路；采取访谈法了解学生的数学表达现状以及教师在教学过程中如何培养学生的数学表达能力；使用观察法了解学生课堂数学表达情况与教师数学表达组织情况；再通过理论研究法找出教学规律，建构出数学表达教学模式；最后通过教育实验法，进行数学高考备考教育实践.

2.2 实验对象

笔者采取多组实验设计，选取湘西州民族中学2019届某一个班的学生作为实验组(文科普通班)；选取高三年级另一个班的学生作为控制组(文科普通班).在实验期间，由于部分学生是艺考生，不能全程参与实验，故最终取45名学生作为实验组，43名学生作为控制组，对被选为实验的学生进行跟踪，其余学生跟班学习，成绩不记为实验数据.

2.3 研究步骤与模式

笔者查阅学生统考答题卡(系统阅卷，考生答题卡均能查到)，对学生因数学表达错误或不准确而失分题目的情况进行收集、整理分析，找出在数学表达能力发展中存在的主要问题.笔者对师生进行访谈，了解他们对数学表达能力的认识和存在的困惑，为针对性地找出培养策略提供依据；此外，笔者收集学校统一组织的考试成绩作为实验前测数据，并对前测数据分析，做出教学诊断方案，建构数学表达能力培养教学模式.最后，笔者还进行教育实践研究，收集中测与后测数据，分析研究结果.

笔者通过文献分析、课堂观察、师生访谈和阅卷情况分析等，在调查研究的基础上，构建高中生数学表达能力培养教学模式(图1).此模式以学生数学知识、表达能力获得发展为中心，可分为“课前、课中、课后”3个板块，课前教师通过“备”知识技能、学情分析，制定详细计划；课中组织学生“说数学”，对学生的表达进行评价，适时以身示范，训练学生交流表达；课后学生进行数学写作，教师评阅学生写作，反观课堂教学，并制定下一个教学计划.

图1 数学表达能力教学模式Fig.1 Teaching Mode of Cultivating Mathematical Expression Ability

模式的6个环节，突出以学生为主体教师为主导的课堂，其中，组织学生“说数学”，训练交流表达能力与“学生进行数学写作”是学生知识与能力获得发展的重要环节，教师依据学生的表达情况，再制定教学计划，体现出数学交流表达在高考数学备考中的作用.教师课堂上注重数学语言教学和示范表达，是引导学生在“说”中学习、在“写”中进步的关键.

2.4 变量设计

本研究实验组的自变量是“数学表达能力教学模式”，控制组的自变量是日常的教学模式；因变量为实验对象的数学学习兴趣和学习成绩；无关变量为学生的数学学习时间、数学解题量、教学内容、教学进度、课时量、测试方式和阅卷方式[5].为保证实验的内部效度，进行变量控制：实验组和控制组都是高三文科班；受试学生的数学学习时间和解题量不随便增加；教学内容都采用《世纪金榜高中全程复习方略(文科数学)》；教学进度和数学教学课时等都相同；采用统一的试卷、测试时间和阅卷系统阅卷方式；重视实验组“自变量”的实施与操纵，控制组严格不使用“自变量”进行教学.

2.5 测试工具与实验时间

为确保实验数据有较高的信度和效度，将实验期间学校联考统测作为前测数据，州统测作为中测数据，学生高考成绩作为后测数据.其中，前测数据是两组学生的2018年高三上学期联考成绩；中测数据是两组学生的2019年湘西州期末统测、湘赣联考、州模拟统测成绩，采用3次测试作为实验中测数据，便于操纵自变量、控制无关变量和观测因变量；后测数据是两组学生的2019年全国高考数学(I卷)成绩.实验时间为2018年11月上旬至2019年5月上旬.在2018年10月底进行前测；在2019年1月、3月、4月进行3次中测；在2019年6月上旬进行后测.

3 实验的实施

笔者在实验班用数学表达能力教学模式进行教学.具体环节操作如下：

环节1：教师做到三个“备”.为了制定教学目标，突出教学重点、突破教学难点，追求高效的课堂表达，课前教师应做到三个“备”.首先，教师备知识，教师对教学内容进行分析，寻找在教学中师生表达交流所用到的数学语言，如概念、公式、图像等，并对其进行深入研究；其次，教师备学生，分析学生现有数学知识与能力以及数学表达能力等，为选择教学方法提供参考；最后，教师备方法，根据背景分析，寻找适当的教学方法，力求使用的数学语言让多数学生理解.

环节2：教师制定教学计划.教师在环节1的基础上制定相应教学内容的教学计划.

环节3：教师实施教学计划，组织学生“说数学”，训练交流表达能力.“说数学”包括说知识、说过程、说“异见”和说体会，即学生通过口头表达对数学问题的具体认识、理解，解决数学问题的思路、方法以及学习体会等的数学学习活动[6-7].具体操作：课堂上学生回答教师(或学生)所提问题，既要给出最终结果，也要说出自己的思考过程；教师创造机会让学生说出解题思路、解题体会等，引导学生在课堂上谈阶段性学习体会[8].

环节4：教师课堂评价学生的“说数学”，适时示范口头表达或书面表达.具体操作：课堂上，教师根据学生“说数学”的情况，给予积极性评价，及时纠正学生的不规范表达，并以典型例题为例，准确、严谨、规范、完整、简洁地利用数学语言进行表达，示范引领.其中，教师的评价与学生的课堂交流表达相互作用.

环节5：学生进行数学写作.课后，学生结合自身实际进行数学写作，可以写阶段性的学习体会，可以是某一道题一题多解、变式拓展，还可以是学习总结反思，数学小论文等.学生一周上交一次数学写作，弥补由于课堂时间有限而不能进行交流表达的缺陷.

环节6：教师激励性评价学生的数学写作.课后，在具体的评价过程中，教师评与学生互评相结合，以评语评价为主，评分、评级为辅，评语、评分与评级相结合，形成“评语+评分/评级”的呈现形式[9].根据写作情况，反观教学，根据教学内容，再制定下一个教学计划.

在充分理解数学表达能力教学模式的基础上，课堂强调以学生为主体，教师为主导，安排了有针对性的“说数学”活动和数学写作训练，渗透“练习交流”“错误分析”“范例赏析”“总结反思”等具体策略，以培养学生数学表达为契机，探索高考数学备考中学生数学表达能力与备考质量之间的关系.

4 实验结果分析

4.1 学生数学学习成绩显著提升

首先，笔者对实验前测数据进行分析，结果如表1和表2所示. 由表1可知，控制组的平均分比实验组高11.96分，控制组的最高分比实验组高19分，控制组的最低分比实验组高2分.值得注意的是，多次测试表明，控制组数学成绩一直排在该校普通文科班前列，实验班数学成绩一直是倒数第一.对前测数据进行方差分析，表2中相伴概率p值为0.014，远小于显著水平0.05，可知，控制组和实验组存在显著性差异，说明控制组比实验组成绩优秀.

表1 前测数据的描述性统计结果Table 1 Descriptive Statistical Results of Pre-Test Data

表2 前测数据的方差分析Table 2 Analysis of Variance of Pretest Data

其次，笔者对3次中测数据进行分析.统计结果表明实验组与控制组的差距逐渐缩小；开展1个多月实验研究后，得出第1次相伴概率p值为0.049(<0.05)，由于实验时间较短，仍存在显著性差异，但实验班平均分为80.80，对照班为88.63，相差7.83分；实验班最高分为117，对照班为121，两者仅相差4分，说明实验班的数学成绩一直在进步.第2、3次中测相伴概率p值分别为0.264，0.425，都大于显著性水平0.05，表明实验组与控制组数学成绩无显著性差异.可见，随着实验的不断推进，实验组的数学成绩不断提升.

再次，笔者对后测数据进行分析，结果如表3和表4所示.从最高分、最低分和平均分角度看，实验组成绩与控制组相近；表4中相伴概率p值为0.147(>0.05)，说明两者之间无显著性差异，实验组平均分比控制组低5.36分，控制组最高分只比实验组多1分，但实验组最低分比控制组高11分，这足以说明实验组的成绩紧逼控制组，取得了明显的进步.

表3 后测数据的描述性统计结果Table 3 Descriptive Statistical Results of Data

表4 后测数据的方差分析Table 4 Analysis of Variance of Post-Test Data

最后，笔者对各次测验的基本情况作对比分析，如表5所示.从分数段上看，前测60分以下的学生，实验组比控制组多11人，实验组及格(90及分以上)仅有2人，控制班有7人，且有120分以上的有1人，两者相差较大；3次中测60分以下的学生，实验组比控制组分别多3，2，5人，但实验组在60分以上的人数占比逐渐增多；实验后测60分以下的学生，实验组反而比控制组少2人，且在[100，119]分之间的人数空前增加，可见，随着实验的推进，后进生的数学学习进步相当明显.

表5 各次测验的基本情况对比结果分析Table 5 Analysis of the Basic Situation Comparison Results of Each Test

4.2 后进生得到了较多的关注

实验教学中，学生数学学习兴趣和主动学习意识明显增强.事实上，学生都渴望被关注、被肯定.教育实验中，课上教师鼓励学生“说数学”，较多的学生举手要求回答，说出自己对数学问题的“异见”，紧接着教师(或学生)及时评价，激发学生的学习数学的动机；教师组织开展数学写作，学生把自己对数学问题的见解、学习数学的喜怒哀乐，通过写作的方式展示出来.课后教师再对学生的写作情况进行逐一的激励评价，针对不同学生的情况，采取不同的指导方式，课后的数学写作使中等生、后进生得到一对一家长式的关心和鼓励，激发学生的成就动机，逐渐从“要我学”到“我要学”再到“我会学”的转变，形成良好学习氛围.本研究采用数学表达能力教学模式进行教学，使得后进生数学学习得到了较大的提升.

4.3 提高了高考数学备考质量

分析前测、中测和后测数据可知，随着实验的推进，实验组的进步明显.作为同一学校同一年级的两个教学班，在相同的高考复习素材、作息时间、管理方式等前提下，仅是改变教学方式，就使得实验组在大型考试中进步明显，特别是后进生的进步极为明显，打破了数学总平均分在多次大型考试都是倒数第一的记录.据统计，实验组在2019年高考中，取得了上二本线人数比控制组多5人的好成绩，学生数学成绩的提高与教师注重培养学生的数学表达能力密切相关.总之，注重学生数学表达能力的培养，运用“数学表达能力教学模式”进行教学，能提高高考数学的备考质量.

5 讨论与建议

5.1 巧用启发性提示语，启发学生思考与交流

数学是思维的科学，数学语言是思维的工具，而数学语言的核心，是启发性提示语.涂荣豹教授指出，“学生对数学语言的掌握直接影响其数学思维、数学表达和数学交流的效果”[10].教学中，教师应以恰当的数学问题为载体，巧用启发性提示语发问，即教师提问，暂时“问而不答”，引导学生思考问题的方向，启迪学生思维的深层次参与，然后由学生去回答，去寻找办法与答案，教师的发问给学生创造表达的条件.例如，在解题教学中，教师可用“解这道题的条件是什么？”“结论是什么？”“还有哪些条件可以用？”“研究了这些问题后你(我)还能想到什么问题？”“你(我)有没有更好的解题方式？”[11]，等等.教师的发问与学生的回答可增加课堂上师生、生生的互动交流，长此以往，学生在教师的示范和引导之下，能够学会用怎样解题提示语解数学题，并将其逐步内化，最终发展成为自己的解题提示语[12-13].

巧用启发性提示语，就是用问题驱动课堂教学.在组织学生“说数学”时，教师既要向学生要结果，也要学生说过程；生生之间相互询问，相互之间交换解题思路；同时学生应反问自己，逐步养成独立思考的能力，正所谓想得明白才说得清楚，想得明白才写得清楚.总之，将启发性提示语这个课堂教学工具运用到整个高考数学备考过程中，为学生养成良好的数学表达提供了有力帮助.

5.2 重视学生数学写作活动的组织、实施与评价

涂荣豹教授指出：“我国的数学教育从来都是把具体数学知识的学习放在第一位，殊不知学过数学的大部分人都会把那些具体的数学内容遗忘掉，唯有在数学学习过程中留在心灵深处的数学精神和数学思维方法刻骨铭心、永不磨灭.”[14]在学习过程中，数学思想方法一开始可能只给学生留下浅浅的痕迹，学生借助数学写作将数学的精神、思维方法，经过组织思考、谋篇布局，反映在文字，在头脑中经过思考加工，加深学生对数学思想方法的理解[9].教学中，教师应重视在高考备考中的数学写作活动的组织与实施，培养学生的书面表达能力.可从如下几个方面开展：

(1)教师指导、鼓励学生撰写“学习日记”“学习反思”“小论文”等，学生可通过这些方式表达自己对数学问题的解决思路、“异见”、情感态度和价值观等，简要讲述自己感兴趣的见闻，敢于发表意见.当学生在完成一道(类)典型的例题或阶段性学习结束后，教师应紧扣“一题多解”和“一题多变”主题，有步骤、有计划地安排学生进行数学写作.数学写作可以定期上交，学生在写作的过程中，以手写协助记忆，巩固所学知识，加深学生学习数学的体验，逐步培养学生的书面表达能力.

(2)教师评阅数学写作，激励评价学生习作，调动学生的积极性.学生习作的好坏，需要教师来评价与指导，教师认真阅读学生习作，从问题分析是否深入、信息提取是否全面、推演步骤是否正确、条理是否清晰、书写格式是否规范等方面，仔细寻找学生的“闪光点”，采用批注的形式，给予充分的“表扬与鼓励”，采用“评语+评分/评级”形式呈现，促进学生反思.已有研究曾用“写作有进步，继续下去你还会更好；思路清晰，如果能把推演过程的必要文字写出来会更好了”[15]等批注，让学生能感受到老师的关心，也愿意接受老师指导，长此以往，学生自我反思，表达能力欠缺的学生逐渐改正不良习惯，优秀的学生也得以表扬，教师通过评阅数学写作的方式激励学生继续学习数学，有助于高考数学备考质量的提升.

5.3 引导学生注重数学表达,积累数学表达经验

学生数学表达能力的养成，是需要经历从数学知识、技能到能力的转化，既要理解数学问题，也要懂得表达规则，是一个从简单到综合的过程.教师运用启发性提示语帮助学生理解数学问题，但这并不等于学生掌握了数学问题的表达交流技能.课堂教学中，教师应重视基本数学语言的教学，本着“先模仿后成型”的教学原则，注重学生数学表达能力的培养，可从如下几个方面开展：

(1)做好口头表达与书面表达的整体示范，引导与个别指导相结合.教师在课堂教学中，应做到准确表达数学语言，与教科书保持一致，语言表达流畅，文字板书规范，如作图规范、解答规范，引导学生规范表达.同时，指导学生严格按照表达规则表达，做到步步有理、规范准确、条理清晰.学生在课堂上表达有误，教师应及时纠正，并给予正确的表达示范；教师在平时批改作业或阅卷中，不仅要关注学生解答结果正误，而且要更多的关注表达过程中的文字、符号、图像语言的规范和完整.对于书面表达不完整学生，采用个别谈话或在作业上批注等方式，帮助学生规范表达.

(2)组织好“说数学”活动，在讨论中提升学生的口头表达能力.课堂上，教师讲解前留给学生更多独立思考的时间，组织学生“说数学”，如题目的解题思路、题目考查的知识点、解题关键、一题多解、一题多变等.学生通过交流能表述困惑和分享数学观点，陈述自己对数学问题的理解.教师有意识地将表达方法渗透到教学中，引导学生合作学习、展示交流、讨论辩论，利于学生的口头表达能力提升.

(3)用好现代教育技术，提高表达能力.教师在教学时，充分利用投影、几何画板等教辅工具，恰当适时地帮助学生攻克表达难点、反思易错点等.课堂上，教师利用多媒体给学生展示交流，可展示学生的数学写作、学习心得、试题解答等.课堂中每个人都是学生，都能从别人的表达中获得启示，但每个人也是“评委”，可以对展示的作品进行评价，在信息的多方交汇中，不同层次的学生获得不同的收获，逐步实现提高学生表达能力的目的.

基于上述分析，学生在教师的示范、自己尝试表达、“评委”点评后再优化表达的基础上，同时学习优秀习作，在观摩中得到进步，在后续交流表达训练中，学生再进行综合训练，积累数学表达经验，逐步实现运用数学语言表达数学问题.

6 结语

笔者构建了数学表达能力教学模式，探究并验证了该模式是高考数学有效备考的方式之一.本研究发现，基于数学表达能力培养的高考数学备考，能促进学生数学学习成绩的提高，增强学生的数学学习兴趣和学习的主动性，提高备考质量.本研究虽取得一定成果，但选取的样本形式较单一，样本容量较小，研究时间较短，在今后的教学实践中，需要扩大样本容量，对备考策略可行性、有效性作进一步检验以及更深入的探讨.