基于离散元的不同粒径配比粉末压制相对密度与力链分析

王海陆，刘 军，林 立，张 超，张璐栋，柯建忠，李化蓥

宁波大学机械工程与力学学院，宁波 315211

金属粉末的粒径以及粒径组成不同时，就会表现出不同的压制行为。通常粒径小的颗粒粉末成形性能比较好，但是压缩性能比较差，这就会对压坯的相对密度造成影响。相对密度是粉末冶金制品性能的关键指标，主要受金属粉末材料性能和压制技术的影响，高的相对密度一直是行业追求的目标。生产实践表明，非单一粒径组成的粉末压制性能较好[1-3]，因此针对粉末粒径分布对粉末压制成品性能的影响开展研究是非常有必要的，尤其是开展粉末粒径分布对粉末压制成品相对密度的影响研究，不仅能探讨粉末性能与粉末压制成品性能之间的机理关系，同时也能促使行业标准的改进，为获得性能更好的高相对密度粉末冶金产品提供一定的行业基础，有利于我国粉末冶金行业的发展。

对非连续体力学行为的研究主要使用离散单元法（discrete element method，DEM）[4-7]，特别是针对求解大数量且不连续结构的问题。Skrinjar和Larsson[8]采用离散单元法对球形粉末的冷压过程进行了模拟研究，分析了粉末粒径和压坯尺寸比对压坯性能的影响，结果表明，在小颗粒占比高的情况下，尺寸效应是要考虑的关键因素。叶先勇等[9]通过压制多孔过滤材料研究分析了粉末粒径和压制力对孔隙率和渗透率的影响规律，提出相关本构模型。朱鹏程[10]制备了不同粒径的初始氢爆粉，利用他们在完全相同的工艺情况下制备了烧结铷铁硼试样，测取样品的抗弯强度及断裂韧性，分析了粉末粒径差异对磁体力学性能的影响。闫志巧等[11-12]分别用不同平均粒径的Ti粉和Ti6Al4V合金粉末为原料，研究了粉末粒径对压坯密度、最大压制力和脱模力的影响，发现压坯密度与粉末粒径及松装密度有关，粒径小的粉末更难压制，相对密度也更小，但是烧结密度更高。杨志超[13]通过压制不同粒径分布的粉末研究得到粉末粒径分布对最终产品微观结构的形成具有非常大的影响，细而均匀的粉末所得压坯晶粒也是细而均匀，但是粒径过小的粉末如果工艺不合适，会产生晶粒长大的现象。潘诗琰等[14]利用群体平衡模型定量预测了相邻颗粒聚并效应作用下的粒径分布演化规律，研究了从瞬态到稳态的转变过程中，粒径上限及其变化率，发现颗粒瞬态粗化之后将得到稳态粒径分布。

我国粉末冶金工业已经在产量上领先日本等国家，但高质量产品的供应和推广还有待进步。已经有学者开展了粉末粒径对压制产品性能影响的研究，也有实践表明非单一粒径组成的粉末压制产品性能较好，但还没有研究人员针对这种情况展开细化研究。实际生产中粉末性能与产品性能直接相关，考虑到目前我国粉末原料标准不严格的现状，严重影响了粉末冶金行业对更高相对密度产品的追求。因此，探讨粉末粒径分布对压坯相对密度的影响具有较大意义，而且能为粉末原料行业标准的改进提供参考。为了得到不同粒径分布对压坯相对密度的影响规律，本文按照标定的仿真参数，通过改变粉末粒径分布参数来建立模型并进行冷压模拟。

1 不同粒径分布的粉末模型建立

1.1 离散元建模分析

1.1.1 理论依据

PFC三维数值模拟软件运行原理是基于两组控制方程，一组是运动方程（牛顿运动方程），另一组是接触力方程（力和位移或位移增量的关系）。在PFC软件中，由接触模型来定义对象互相作用时的力和位移关系，是影响数值宏观力学性质的重要因素之一，球形颗粒接触理论严密，求解过程相当繁琐。因此在不产生显著误差的情况下，有必要对接触模型进行简化处理。采用线性接触模型，即把颗粒间的法向力视为弹簧和阻尼器，切向力视为弹簧、阻尼器和滑动器[13]。等效惯性质量（mc）由式（1）求得。

式中：m(1)和m(2)分别表示接触的两个单元的质量，根据判断接触是位于球和球单元之间（球-球，ballball）还是球和墙（球-墙，ball-facet）之间来选择计算。

利用便捷的Method方法赋予模型参数，通过设定模型的等效弹性模量（E*）和法向切向刚度比 （k*），由软件根据式（2）和式（3）求解。

式中：kn代表接触的法向刚度；A代表接触截面积，计算时取接触者中小的单元半径；L代表接触长度，接触为球-球类型取两个单元的半径和，接触为球-墙类型取球的半径值；ks代表接触的切向刚度。图1所示为接触模型中接触单元关系，把球与球单元的接触视为存在一个圆柱状（虚线框内）的联系，把球与墙的接触视为一个圆柱状的联系。

图1 接触模型中接触单元关系：（a）球-球类型；（b）球-墙类型Fig.1 Relationship of the contact unit in the contact model:(a) ball-ball type; (b) ball-facet type

1.1.2 动态测量球的设置

为测量颗粒模型内的孔隙率变化，通常会采取在模型内部建立测量球的方式。但随着压制的进行，试样的高度势必会发生变化，如果采用传统固定大小的测量球，只能在初期设置测量球监测直径小于最终压制后的试样高度，但是这样会导致测量范围仅仅位于试样的局部。为解决这一问题，通过编写控制命令，使得测量球的大小随着试样高度降低而逐渐变小，测量球测量的范围始终是在试样高度方向上的最大测量范围。动态测量球的分布方式如下图2所示，为尽可能的覆盖试样范围，采用十字交错的方式排布了9个测量球，测量球的初始直径为圆柱形压制模型的高度，测量球的位置和半径随着压制进行会动态变化，使得其每一个测量球的球心在竖直方向上始终在试样的中心，测量球的直径始终刚好等于压坯的高度。

图2 动态测量球分布图：（a）初始测量球俯视图；（b）初始测量球正视图；（c）压制后测量球俯视图；（d）压制后测量球正视图Fig.2 Distribution of the dynamic measuring ball: (a) top view of the initial measuring ball; (b) front view of the initial measuring ball; (c) top view of the measuring ball after pressing;(d) front view of the measuring ball after pressing

1.2 模型参数选取与建立

1.2.1 粒径分布标准对比

目前国内外还没有统一的粉末粒径标准，每个企业都有自己的粒径分布定义和表示方式。一直以来，粉末冶金企业都是通过生产试验积累经验，获得发展，缺少理论研究，这也说明了开展粉末粒径分布对压坯相对密度影响的研究是必要的。

查阅国标及国内外具有代表性的几家粉末冶金原料企业对粉末粒径分布的标准，可以发现这些标准主要关注粉末的压缩性，压缩性代表粉末在压制过程中被压紧的能力，在规定的模具和加载条件下，用一定单位压制压力（500 MPa）压制粉末后的压坯密度表示，是粉末冶金成品性能的一项重要指标[1]。通常使用筛网目数（简称目）来表示筛网的孔径和粉末的粒径，所谓目数就是指1英寸（25.4 mm）筛网长度上的网孔数，目数越大，网孔越细，筛孔尺寸与网丝的直径有关，以m代表目数，a代表筛孔尺寸，d代表网丝直径，则其间关系式如式（4）所示[1]。

我国工业上对粉末进行筛分通常选用80目、100目、150目、200目、250目、325目等组成一套标准筛，其目数与筛孔尺寸、过筛粒径大小对照如表1[1,14-15]所示。在目数前添加一个正负号表示粉末颗粒是否能通过该目数的网孔，负数表示粉末颗粒可以通过该目数的网孔，即粒径小于筛网孔径，正数表示粉末颗粒不能通过该目数的网孔，即粒径大于筛网孔径。

表1 工业标准筛Table 1 Industrial standard screen

通过对比相关国内外标准和国内外几家代表性粉末冶金原料企业[16-18]后发现，压缩性好的粉末，其粒径分布更为具体，尤其是针对目数牌号粉末的主体基础粉和附加细粉这两个范围的粉末，有着具体的标准。将查阅的一些国内外标准[19-20]中压缩性最高的牌号取出，合并在一起，结果见表2，通过对比发现，压缩性好的粉末，其粒径分布更为具体。相同标准下，同一目数级别的基础粉末比例一般为60%，而对粒径小于45 μm的附加细粉末和过渡区间内的附加中径粉末有不同的标准。

表2 各标准粒径分布对比Table 2 Comparison of the standard particle size distributions

1.2.2 压制模型参数设置

在离散元数值模拟中，需要通过定义颗粒的微观材料参数来建立与所模拟材料具有相同宏观力学性能的离散元模型。当生成颗粒模型后，需要赋予接触模型，其中接触模型中的参数可以通过离散元理论公式计算获取，这样能够将模型的微观参数和材料宏观参数联系起来，使建立的模型更准确。

首先验证设置的微观材料参数是否能正确反应材料的宏观力学性能。本次模拟的粉末材料为粒径分布不同的颗粒群，颗粒模型如图3所示，按照表3中分布要求，在墙体内部用distribute方式生成了圆形颗粒293319个，颗粒不能透过墙体，数量远超10万个，具有较高的置信度。

图3 不同粒径分布的颗粒群模型Fig.3 Particle model in different particle size distribution

表3 200目纯铁粉试样粉末粒径分布（质量分数）Table 3 Particle size distribution of the pure iron powdersamples in 200 mesh %

为了更好的探究不同粒径粉体压坯的压缩性，设置模型中模具尺寸参数为半径2.5 mm，高度为3 mm，由周围一圈墙体作为阴模模壁，顶部墙体和底部墙体分别作为上下模冲，采用铁粉颗粒，其物理性能如表4所示，通过式（2）和式（3）计算得到颗粒间法向刚度与切向刚度比为0.785，颗粒和墙体间法向刚度与切向刚度比为0.196，颗粒间接触模型为线性平行模型，初始孔隙率设置为0.5，在模拟压制前对颗粒进行重排，消除随机生成的颗粒间不平衡力，直到颗粒达到相对稳定的状态。

表4 铁粉相关参数Table 4 Related parameters of Fe powder

在压制过程中，关注轴向即压制方向上的应力-应变关系，如图4所示。由图可知，轴向应力随应变增大而增大，增速从平缓到加速上升。在压制初期，由于粉末颗粒间存在较大孔隙，受压制力作用，极易发生大量位移，引起孔隙率快速降低，故轴向应力随应变增大的增速较为平缓；在应力曲线与孔隙率曲线相交后，即应变达到0.16后，应力进入快速增加阶段，在该时间段的颗粒位移已经开始减少，粉末密度达到了一定值，出现了压缩阻力，孔隙率降速度变缓。最终当轴向应变为0.22时，轴向应力达到了370 MPa，实验测得的数据[21]为轴向应变0.22时，轴向应力达到369 MPa，两者一致，说明该接触参数下的压制模型符合实际情况。

图4 轴向应力-应变与孔隙率关系图Fig.4 Relationship of the axial stress-strain and porosity

1.2.3 模型建立

尝试以100目纯铁粉为研究对象，设定了6组试样的粒径分布，如表5所示，其中N组为单一粒径组成的粉末，全部由106～150 μm范围基础粉末颗粒组成，其余五组混合粒径粉末的粒径构成参照现有标准，保持基础粉末（粒径范围：106～150 μm）质量占比60%不变的前提下，分别改变附加中径粉末（粒径范围：45～106 μm）和附加细粉末（粒径小于45）的占比。

表5 各组试样粉末粒径分布Table 5 Particle size distribution of the samples

参考胡仙平[21]的研究，选取径高比为1:1.6的模型来探究，便于从泊松比对比中更清楚的体现粒径分布差异对粉体压缩性能的影响，综合考虑后将试样设置为半径3.75 mm、高度为12 mm的圆柱形，接触参数设置与之前一致，通过压制过程模拟分析压制过程中孔隙率与压制力的变化规律。为提高计算速度，每一分级的颗粒粒径都取其最大值，即分别取150 μm、106 μm、45 μm，采用distribute方式生成各组模型，各粒径颗粒数量分布见表6所示。图5为所建各组模型压制前后对比，可以明显看到，由于不同粒径混合导致各组试样的粉末颗粒数量不同。

图5 各组粉末压制模型：（a）N组压制前；（b）N组压制后；（c）A组压制前；（d）A组压制后；（e）B组压制前； （f）B组压制后；（g）C组压制前；（h）C组压制后；（i）D组压制前；（j）D组压制后；（k）E组压制前；（l）E组压制后Fig.5 Each group of powder pressing model: (a) before N group suppression; (b) after N group suppression; (c) before A group suppression; (d) after A group suppression; (e) before B group suppression; (f) after B group suppression; (g) before C group suppression; (h) after C group suppression; (i) before D group suppression; (j) after D group suppression; (k) before E group suppression; (l) after E group suppression

表6 各粒径颗粒数目Table 6 Number of the particles in each size

2 压制模型结果对比与分析

2.1 粉末孔隙率

压制过程中粉末体内部孔隙率的变化如图6所示，通过孔隙率可得压坯相对密度。由图可知，各组孔隙率都随着压制的进行逐渐下降，但单一粒径组（N组）的孔隙率在整个压制过程中异常高于其余5组混合粒径粉末，各组试样在压制过程中会经历一段孔隙率下降速度减缓的过程，当最终压制力达到500 MPa时，最终孔隙率与缩小比关系如表7所示，其中缩小比为减少量与初始量的比值。

图6 各组粉末孔隙率Fig.6 Powder porosity of each group

从表7可以看出，最终孔隙率最低的是D组混合粉末，达到了18.08%，并且其孔隙率减少最多，缩小比最大达到了0.67，为最终相对密度最高的一组粉末试样，其压缩性最佳。单一粒径粉末N组的最终孔隙率为30.00%，远高于其他混合粉末，最终缩小比最低，为0.45，说明按照单一粒径进行模拟的结果跟实际情况存在较大区别。混合粉末的压缩性整体趋势是随着附加细粉末（粒径小于45 μm）的质量占比增加，其压缩性增加，体现在压缩性从差到好排序为A组、B组、C组、E组、D组。D组反而比E组的压缩性能更好，是由于过多的细微粉末导致粉末体流动性变差，不利于压缩过程中的粉末颗粒位移。

表7 各组粉末孔隙率Table 7 Powder porosity of each group

2.2 压坯应力

2.2.1 侧压力与轴向应力

金属粉末在受到轴向应力时，压坯会延着径向膨胀，模壁会给压坯一个大小相等、方向相反的反作用力，叫侧压力，属于径向应力。在压制过程中，压坯与模壁发生相对运动，必然受到摩擦力作用，径向应力的大小影响着摩擦力大小，从而影响压制过程，因而有必要研究径向应力的大小，这对研究压制过程和压坯致密性都有意义。

径向应力与轴向应力关系如图7所示，把压坯简化为一个立方体，当压坯受到轴向应力时，会使其在x方向上产生膨胀，如式（5）所示，膨胀值（ ΔLx1）与材料泊松比（v）和轴向应力（P轴向）成正比，与弹性模量（E）成反比；如式（6）所示，y方向的径向应力（P径向）也使压坯沿x方向膨胀（ ΔLx2）；如式（7）所示，沿x方向的径向应力（P径向）使压坯沿x方向压缩（ΔLx3）。

图7 压坯受力示意图Fig.7 Schematic diagram of the pressing force

实际上压坯在压膜内不能径向膨胀，因此在x方向膨胀值总和等于其压缩值，如式（8）所示。由式（5）～式（8）可得到径向应力和轴向应力的关系，如式（9）和式（10）所示，两者之比即粉末体侧压系数（ξ）。

2.2.2 轴向应力对比

测得压制方向应力-应变曲线如图8所示。由图可知，单一粒径组（N组）粉末试样在压制过程中的应力远高于其他混合粉末试样，其余各组混合粉末试样随着附加细粉末（粒径小于45 μm）质量占比的上升，粉末在发生相同应变的情况下受到的轴向应力是下降的，这说明混合粒径有利于减少压制过程中的能耗。轴向应力按从大到小排序为A组、B组、C组、D组、E组，其中D组和E组非常接近，但整体还是D组应变最大。

图8 各组试样轴向压制力变化Fig.8 Axial pressing force of the samples for each group

2.2.3 侧压系数与泊松比对比

根据式（8）利用6组粉末的径向应力数据与轴向应力数据可求得侧压系数，进一步通过式（9）求得泊松比，结果如图9和图10所示。由图9可知，侧压系数随着应变增加而增加，在压制初期，测压系数快速提升，到稳定阶段后，各组粉末侧压系数都能达到0.6左右，随着压制继续进行又逐渐减低。粉末粒径分布越单一，侧压系数越早下降，随着附加细粉末（粒径小于45 μm）在粉末中质量占比的增加，侧压系数缓慢下降，当进行到压制后期，各组孔隙率变化都不大，各组侧压系数值均接近与0.5，各组侧压系数变化趋势基本相同，说明侧压系数的大小受粉末粒径分布的影响较小。

图9 各组粉末侧压系数Fig.9 Lateral pressure coefficient of the powders for each group

图10 各组粉末泊松比Fig.10 Poisson's ratio of the powders for each group

压制过程中的粉末泊松比变化曲线如图10所示。由图可知，各组曲线都比较接近，平稳期泊松比保持在0.36，说明粉末体泊松比变化主要是受粉末材料参数的影响，粒径分布对于泊松比影响较小。值得注意的是，压制后期的粒径分布单一粉末在径向位移上缺乏足够的驱动力与位移空间，径向压制量较轴向压制先弱化，导致泊松比下降。

2.3 力链分布

各组粉末试样在外载荷作用下，颗粒间发生接触，形成了诸多强度不同的力链，分别用强弱力链表示，定义高于平均接触力所构成的力链是强力链，低于则称为弱力链。各组粉末试样压制后力链分布如图11所示，其中深色表示弱力链，亮色表示强力链。由图可知，单一粒径组（N组）粉末的力链数量远小于混合粉末组，随着粉末颗粒数量增加，颗粒之间的接触数量增加，力链数量也随之增加。E组粉末试样力链数量最多，达到了815648个。各组力链数量以及力链强度如表8所示。由表可知，单一粒径粉末的力链数量虽然少，但强力链的数目较多，混合粉末中有数目巨大的弱力链均匀分布在颗粒体系内，参与强力链的衔接和断后重构等辅助作用。起主要支撑作用的强力链数目充足，同时搭配一定数目的弱力链，才能保证压坯相对密度足够高。

表8 各组粉末试样力链数目与强度Table 8 Number and strength of force chain distribution of thepowders for each group

图11 各组粉末试样力链分布：（a）N组；（b）A组；（c）B组；（d）C组；（e）D组；（f）E组Fig.11 Force chain distribution of the powders for each group: (a) group N; (b) group A; (c) group B; (d) group C; (e) group D;(f) group E

对比压坯上表面与侧壁的力链数目，可以明显发现上表面有大量树干状强力链，侧壁上的力链基本处于强度较低的强力链末端或者是成网状的弱力链，这会导致压坯表面粗糙度的不同。

3 结论

（1）随着压制力的增大，粉末压坯相对密度逐渐提高，但在400 MPa时出现拐点。当粉末粒径分布质量比为（基础粒径：中粒径：细粒径）为60:15:25时，粉末压坯孔隙率达到了18.08%，且孔隙率减少最多，缩小比最大达到了0.67，最终相对密度最高，压缩性最大。证明了并不是细粒径粉末质量占比越高，粉末压坯相对密度越高，当细粉末质量占比达到一定比例时，会导致粉末流动性变差，影响相对密度提高。

（2）在基础粉末粒径为100目，各组混合粒径粉末试样轴向应力达到500 MPa的情况下，通过调整附加细粉末（粒径小于45 μm）的质量占比，压制方向上能产生更大应变。当基础粉末质量分数为60%，细粒径粉末质量分数为25%时，应变最大，有助于减少压制能量的消耗。侧压系数与泊松比受粉末粒径分布影响较小。在压制后期，当压坯已经获得较高相对密度时，侧压系数与泊松比会发生下降。

（3）在基础粒径粉末质量占比不变的情况下，随着中径粉末与细经粉末质量分数的增加，粉末颗粒数量会增加，力链数量也随之增加，细粉质量分数最高的试样力链数量最多，达到了814927个。在混合粒径粉末中有大量弱力链均匀分布在颗粒体系内，参与强力链的衔接和断后重构等辅助作用。在强力链数目充足的前提下，配合大量弱力链能获得更高的压坯相对密度。