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——《钉子板上的多边形》教学与思考（二）
2021-12-13王扣兰张云杰
文|王扣兰 张云杰
【教学内容】
苏教版五年级上册第108、109 页。
【教学过程】
一、创设情境，铺垫规律
师：今年是建党100 周年，同学们用自己的巧手表达了对祖国的热爱。回顾“绕线钉子板”制作的过程，想一想：什么决定了你所绕图形面积的大小？
生：我绕的第一幅图，发现边上的钉子越多，五角星的面积越大。
生：我同意，但我有补充。我绕的第二幅图，发现里面的钉子越多，五角星就越大，外面的圆及整幅图也相应就越大。
师：说得都有道理，老师从你们的“绕线钉子板”上“闻”到了一丝数学的味道。其实数学味更浓的钉子板还是我们的老朋友，（出示学具）这节课我们就借助它来研究钉子板上的多边形。
【设计意图：时值建党100 周年，学生利用假期以一幅幅精美的“钉子板绕线画”来表达自己的情感。“从经验中学习，经验是一切有价值的训练的源泉”，从学生的行为操作活动经验出发，以一个关键问题“什么决定了你所绕图形面积的大小”打开学生的思维，帮助学生认识知识的起点，激发学生的学习兴趣。】
二、实践研究，初探规律
1.起点认知。
师：老师在钉子板上围了两个平面图形：三角形（图①）和梯形（图②）。你能数数它们边上的钉子数吗？
（学生数，教师随即板书）
师：如果每两个钉子之间的距离是1cm，那你还知道什么呢？
生：每个小正方形的面积是1cm2。
生：三角形的面积是2cm2。
生：梯形的面积是3cm2。
（根据学生的回答完善板书《学习单1》）
2.观察发现。
师：观察黑板上的这两组数据，你有什么发现？
生：面积是钉子数的一半。
师：仅仅根据这两个图形，能肯定这个发现吗？（不一定）是的，这仅仅是你们的猜想，我们还需要更多的数据来验证与支持。
3.验证猜想。
（1）研究例题的后两个图形。
师：这里还有一个五边形（图③）和一个平行四边形（图④），请数一数、算一算、填一填《学习单1》，想一想这样的规律还成立吗？
学习单1
（学生独立探究并交流汇报，后两个图形的数据也能证明猜想。同时，引导学生关注这些图形的面积除了可以计算之外，还可以数一数，特别是第三个图形，用数一数的方法更简单）
（2）研究课前自己围的图形。
师：现在这四个图形都能证明我们的猜想，那是不是所有图形都存在这样的规律呢？请同学们拿出课前围的平面图形（如下图），也请你数一数、算一算，然后填一填《学习单1》，思考：这样的规律还成立吗？
（学生独立计算，教师巡视收集资源：图形内部只有1 枚钉子：符合规律；图形内部钉子数不是1：不符合规律。组织交流，分别请两名学生代表上台汇报。如下图）
4.比较归纳。
师：为什么老师画的图形都符合规律，而你们画的图形，有的符合，有的不符合呢？小组观察《学习单1》上的四幅图，再对比大屏上的四幅图，有什么想说的？
生：我发现老师画的图形里面都只有1 枚钉子，我们画的符合规律的图形里面也只有1 枚钉子。
生：我同意，但我有补充。我发现不符合规律的图形，里面要么没有钉子，要么有2 枚钉子。
小结：看来多边形的面积，除了与边上的钉子数有关，还与它内部的钉子数有关。当多边形内部的钉子数是1 时，多边形的面积是多边形边上钉子数的一半。
师：当多边形内只有1 枚钉子时，用n 表示多边形边上的钉子数，S 表示多边形的面积，那么S=n÷2。
5.内化运用。
师：这一数学规律，是我们用多个例证一步一步探究而得的。那它有什么用呢？这是李明课前围的一只“茶壶”，你知道这只“茶壶”的面积吗？
生：3.5cm2。
师：你怎么这么快就知道的？
生：这个“茶壶”内部钉子数是1，边上的钉子数是7，所以面积是3.5cm2。
师：求“茶壶”的面积，如果用数或者算的方式，你感觉如何？
生：感觉比较困难。
师：请你评价一下这个规律。
生：这个规律能帮助我们快速解答钉子板上的多边形面积。
6.总结板书。
师：回顾规律得到的过程，我们是怎样一步一步走过来的？
（总结板书：观察—比较—猜想—验证—总结—运用）
【设计意图：波利亚曾说“学习任何知识的最佳途径，是自己去发现。因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”教师适时制造了一个认知冲突，“到底什么样的图形才符合规律呢”，学生通过观察比较，发现需要添加一个条件。这个环节不仅激发了学生刨根问底的探究热情，还为后面研究a≠1 做好铺垫。此环节教师适当地扶，让学生初步经历了探索规律的一般过程：观察—比较—猜想—验证—总结—运用，也让学生在自主归纳规律的同时，提升了符号意识、数据分析观念等。另外，教师特别注重评价研究：生生互评“我同意，但我有补充”；师生互评“你怎么这么快就知道的，你感觉如何”；过程评价“请你评价一下这个规律”，这样的评价性语言让课堂更有张力，更有深度。】
三、分组合作，拓展规律
1.合力探索。
师：用这个方法，我们探索出了内部只有1 枚钉子的规律，那接下来你觉得可以继续研究什么？
生：内部有2 枚钉子的多边形。
师：你们准备怎样研究呢？
生：我建议小组合作，团队的力量比较大。小组内四个人分别在钉子板上围一个不一样的内部有2 枚钉子的多边形，数一数、填一填，然后把其中三个人的研究数据合起来探索出规律，最后用这个规律来验证第四个人的图。
（小组合作，借助《学习单2》进行探究，教师巡视指导）
2.小组汇报。
交流汇报：小组上台汇报，展示四幅图形及《学习单2》，介绍小组的研究过程，说说小组的发现，其他小组及时补充。
学习单2
得出结论：当多边形内有2枚钉子时，S=n÷2+1。
3.数形结合。
利用多媒体技术展示多边形边上的钉子数不变，面积与内部钉子数的变化。明确S=n÷2+1 中，“+1”加的是哪部分？
【设计意图：“要想走得快，就一个人走；要想走得远，就结伴而行”。学生已经有了a=1 的探究经验，接下来自然而然地产生了a=2的探究内需，探究的形式是引导学生组成学习共同体，开展合作学习、互助式学习，让学生真正站在学习的正中央。】
四、推动内驱，完善规律
1.类比推理。
师：你还想研究什么？
生：内部有3 枚钉子、4 枚钉子、0 枚钉子……
师：根据内部有1 枚钉子和2枚钉子的规律，先猜猜内部有3枚钉子的规律可能是什么样的？
生：S=n÷2+2。
2.分组研究。
师：以小组为单位展开研究，开始前先明确活动要求。
活动要求：（1）议一议：每个小组确定一个研究主题；（2）画一画：小组成员按照研究主题完成《学习单3》；（3）理一理：组长收集并汇总成员研究信息；（4）说一说：观察表格，小组交流，共同汇报研究成果。
（学生小组合作探究并完成《学习单3》）
学习单3
得出结论：当多边形内有__枚钉子时，S=______。
3.交流成果。
分组汇报：钉子板内部有0枚钉子时，S=n÷2-1；钉子板内部有3 枚钉子时，S=n÷2+2；钉子板内部有4 枚钉子时，S=n÷2+3。
师：照这样写下去，5 枚呢？6枚呢？10 枚呢？你有什么发现？
生：前面都是n÷2；后面加的数比内部钉子数少1。
师：你能用一个简洁的表达方式概括出这里所有的规律吗？
生：钉子板内部有a 枚钉子时，S=n÷2+a-1。（板书）
4.深化认知。
师：下面，我们用一组动画来感受规律的由来。
五、运用规律，拓展认知
1.运用规律。
师：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
生：喇叭边上钉子数是8，内部钉子数是0，则S=8÷2-1=3cm2。
生：小猫边上钉子数是20，内部钉子数是2，则S=20÷2+1=11cm2。
生：小狗是两个多边形的组合。身体面积：S=12÷2-1=5cm2；尾巴面积：S=4÷2-1=1cm2；总面积：5+1=6cm2。
2.回顾过程。
师：回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？
（学生自由说）
3.拓展规律。
师：同学们，今天所学的规律也叫“皮克定理”。我们一起来看看关于“皮克定理”的微视频。说一说，有哪些异同点？
生：表示面积、内部钉子数和边上钉子数的字母不一样，但规律的本质内涵是一样的，都是用“边上钉子数÷2+内部钉子数-1”。
师：真是一群会思考、能探究、善总结的孩子！通过一节课的努力，不仅探索出大数学家皮克发现的定理，还能灵活运用。老师希望你们能保持这样的探索热情，一直这么深度思考下去！
【设计意图：教师是学生的镜子，学生是教师的影子，教师关注什么，学生就能得到什么。探索规律，重在探索二字，让学生学会思维，经历过再三的思考直至它在个人经验中生根。整节课，学生经历了“发现—会发现—爱发现”的学习过程，寻幽探径，这样的学习过程、发现过程是学生自己创生的，如此便是深度学习。】
