丰富表象与数学模型的构建

【摘 要】数学思维中最简单、最基础的活动，就是在主观意识的支配下，以数学表象为基础开展的活动。只有通过表象这一桥梁，在多种感官的参与下完成动态的思维过程，才能实现数学模型的构建。

【关键词】表象;数学建模;小学数学

【中图分类号】G623.5  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）28-0221-02

小学数学知识存在抽象性和概括性，而小学生的思维特点是以具体形象思维为主要形式，二者之间形成了矛盾，这也是教师在数学教学中存在的主要困境。解决这一矛盾的重要办法就是在数学教学中为学生提供各种利于感知的学习材料，运用实验、操作、观察等方法，通过比较、分析和综合、抽象与概括等基本思维方法，创造正确、清晰的数学表象，然后将抽象的知识形象化，从而使学生获得准确的数学模型。

1   现状透视

1.1  直观模糊，表象不深刻

小学生空间观念的形成是在感知的基础上，通过观察、比较、分析等活动获得点、线、角、面、体的感知与认识，从而逐步形成简单几何图形的形态、大小、位置的表象。心理学研究表明，学生对表象印象越深刻，对知识的本质意义理解也会更深入。但是，刚建立起来的表象存在不稳定、不鲜明的特点，导致学生在解题过程中仍旧错误百出[1]。

1.2  算理不清，表象易混淆

简便计算是小学数学计算的重要技巧，对培养学生思维的灵活性、创新性和提高学生计算能力具有重要意义。但是，学生在简便计算过程中容易被算式中的“表象”迷惑。学生在计算过程中，一旦发现可以组合在一起的数字，就不会对算式进行梳理和分析，直接将数字“凑”在了一起，导致结果计算错误。

1.3  “表象”定式，缺乏灵活性

在构建不同问题的数学模型时，需要对不同类型的问题进行分析、比较，从而帮助学生对不同的数学模型融会贯通、灵活运用。对于变式题型，教师要帮助学生发现思维的阻点，找出内因，解疑释惑，培养学生的数学思维，提高学生数学素养。

“求比一个数多（少）几的数”是两步加减计算的基础，更是学生后续利用四则运算解决问题的基础。这一知识点的重点在于分析数量关系，并确定运算模型。但许多学生看到“少”就用减法，看到“多”就用加法，并没有对变式的数量关系进行分析与思考，从而导致错误

建模。

2   研究策略

建构主义理论认为，数学模型的建立是学生在原有知识经验的基础上，对新信息重新认识和编码，从而完善知识结构的过程。而表象是建立感知与抽象知识之间的桥梁，能帮助学生完成知识构建从感性认识向抽象理解的跨越。

2.1  实践操作，清晰表象，初步建模

数学表象是以丰富的感知为基础而建立的，学生感知越丰富，数学表象就越具有概括性、深刻性。教师在教学过程中，可以提供典型的、合适的、凸显教学内容的学习材料，通过演示、操作，如看一看、拼一拼、折一折、量一量、剪一剪、涂一涂、画一画等多样化操作活动，帮助学生形成丰富的数学表象，促使学生对数学知识的认知由“粗浅”走向“精致”，抽象出本质，从而有效建模[2]。

如在教学“三角形的内角和是180°”这部分内容时，教师可引导学生参与探究活动，通过拼、折、量、算等操作验证猜想的正确性，丰富解决问题的思路和角度，提升学生的观察能力和推理能力。教师要遵循学生的认知规律，在进行探究操作之前预测学生的行为，保证学习材料的可操作性，使学生积极参与到活动中。教师要引导学生灵活运用实物、模型、图片等，帮助学生在头脑中建立正确而丰富的表象，进而帮助学生理解和掌握数学基础知识和基本技能。

2.2  动态演示，深化表象，有效建模

教师应设计结构化、层次性、动态化的学习材料，鼓励学生自主学习、积极参与教学活动，培养他们的独立思考能力和探索精神，使学生的数学核心素养得到充分发展。教师要有效利用多媒体、几何画板等设备，向学生展示直观、形象的数学模型。化静为动，在动态演示过程中，化难为易，帮助学生理解知识以及知识之间的关系，突破认知局限，完善知识结构。

如在教学“数线”这部分内容时，“数线”实际上是数轴的“雏形”，它是刻画“数”的一种直观模型，教师要帮助学生认识与表达数的几何模型。借助数线，学生能够体会数的顺序、大小，而且还可以总结出：“顺着数”相当于加法，“倒着数”相当于减法。教师要引导学生用数线来呈现思维过程，并能用数学语言来表达自己的想法，这样既能体现数形结合思想，又能帮助学生有效地建模。

2.3  彼此贯通，丰富表象，优化建模

表象的形成是一个逐步产生、发展、自我构建的过程。它以物为媒，以具体操作激发和促进学生的思维发展，能对反映在人脑中的物象，进行有目的的操作思考活动。教师要引导学生在学习过程中自主地对数学表象进行加工、调整、积累、补充、修改、提炼，最后构建起清晰、准确的数学表象，从而帮助学生更好地构建数学模型。即通过原有数学表象对新表象的同化、顺应，最终达到认识结构的平衡，取得良好的图式。

计数器是小学数学常用的教学工具之一，主要作用在于帮助学生理解十进制、位值制、计算法则等概念。如在教学人教版三年级下册“口算除法”时，教材利用10张为一沓的手工纸帮助学生理解算理，但手工纸只能用于商是整十的口算除法，对于商是整百、整千数的口算除法并不能直观展示，因而需要教师探寻其他教具、学具，让学生通过操作、观察、思考等途径理解口算除法的算理。

2.4  学以致用，迁移表象，拓展建模

在经历了“具体—表象—抽象”的思维发展后，学生能自主通过观察、思考、操作、比较、分析、概括等深入探究相关数学知识。此时，教师要引导学生对原有的知识体系进行调整、补充与重组，灵活调整教学内容，加入新的教学环节，不断拓展课堂学习活动。引导学生在探索活动中主动构建数学模型，体会建模的价值，并把它运用到实际问题中。通过解决数学问题，学生能对原有的知识经验进行迁移，最终形成结构化的数学模型。

教师可设置开放性题目，如题：一盒糖果内有水果味4粒，牛奶味5粒。妈妈买了3盒，你能提出什么问题？

学生会根据自己的生活经验提出以下问题：

（1）一盒糖果里面有多少粒糖果？

（2）一盒糖果里面牛奶味糖果比水果味糖果多幾粒？

（3）二盒糖果里面分别有几粒水果味糖果？几粒牛奶味糖果？

（4）二盒糖果里面水果味糖果比牛奶味糖果多几粒？

（5）三盒糖果里面分别有几粒水果味糖果？几粒牛奶味糖果？

（6）三盒糖果总共多少粒糖果？

（7）三盒糖果里水果味的糖果比牛奶味的糖果一共多了多少粒？

数学的魅力在于促思，学生提出一个问题往往比解决一个问题更重要。教师可将学生提出的这些问题形成“问题云”，把学习的主动权还给学生，让学生自主探究、主动理解不同问题之间的相通之处，引导学生运用自己喜欢或熟悉的方法来解决这些问题。在全班总结讨论之后，教师可引导学生理清不同问题之间的数量关系，帮助学生发现自己的错误，从而增强学生的审题意识、提高学生解决问题的能力。

表象对数学建模的作用是相当重要的，因此教师在教学中要重视表象的桥梁作用，帮助学生把抽象的数学知识转化为直观、具体的知识结构，形成正确清晰的表象，从而有效建模。另外，教师在教学中也要注意表象的一些“副作用”，加强对学生的引导，帮助学生理解相关数学知识的本质涵义，完善知识结构，正确建模。

【参考文献】

[1]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式[J].课程·教材·教法，2012.

[2]周蕾.有机融合巧设活动，多为表征建立“表象”[J].教学月刊（小学版），2019.

【作者简介】

金佳婕（1986～），女，汉族，浙江杭州人，本科，二级教师。研究方向：小学数学。