基于自适应滑模电流控制算法的仿真研究

郭 亮，梁 状，杨 阳，(浙江理工大学机械与自动控制学院，浙江 杭州 310018)

1 前言

永磁同步直线电机(Permanent Magnet Linear Synchronous Motor，PMLSM)具有推力强、加减速度大、灵敏度高、速度快、随动性好等优点，在高精度数控机床加工领域获得了广泛应用[1-2]。直线电机采用的是直线驱动技术，即所谓的零传动[3]，导致系统参数摄动、负载扰动等不确定因素的影响将直接反映到直线电动机的运动控制中，而没有任何中间缓冲过程，因此给高精度控制要求增添了的困难。对于控制策略，系统通常采用的是PI反馈控制、矢量d-q轴解耦控制。而在矢量d-q轴解耦控制中，电流环控制则直接影响系统的控制性能和控制精度。

传统的PI控制凭借其鲁棒性强，算法简单，被广泛应用于PMLSM转速控制系统中。但在实际运用中，控制系统不可避免的面临由参数变化[4]，非结构动态反应导致的模型不确定性，导致PI无法满足一些要求快速响应，和高精度要求的领域。因此国内外专家学者又提出了许多先进的控制方法：滑模控制[5-9]、鲁棒控制[10-11]、自适应控制[12-15]、预测控制[16-19]、神经网络控制[20-23]等。其中以滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)中的变结构控制为代表的非线性控制因其强大的鲁棒性及其对外部扰动的不敏感性而成为研究的热点。

但在滑模变结构控制电流控制器的设计中，为了保证电机实际电流能够准确跟踪电流指令，输出平滑的电压控制量，应该选择一个合适的切换增益。但当电流环参数变化较大时，滑模控制器中的切换增益应该选择相对较大的来确保系统的稳定性和抗干扰性。但较大的切换增益会导致较大的非连续信号和严重的高频抖振。因此参数变化和模型不确定性等不可直接测量的因素严重影响系统的控制性能。为了解决上述的问题，自适应律控制策略被提出。文献[24]中提出的自适应律则是为了提供一个不确定函数高带宽的估计噪声免疫，来解决系统的不确定性。文献[25]基于自适应律的控制方法，则用于是在线估计电阻和速度，来提供控制性能。文献[26]自适应律(Adaptive Law)则是用来估计由参数变化导致的未知模型的不确定性和根据估测值减小抖振的。

但自适应律针对的是对于内部参数变化，模型不确定性带来的系统控制性能问题。外部负载带来的抖振还是会严重影响其控制性能。为了去解决此问题，文献[27-28]提出了扰动观测器来提高其控制性能，但由于观测器中的符号函数导致抖振，影响控制性能，[29]将扩张观测器引入电流环预测控制，极大削弱非线性因素给滑模控制带来的影响，有效减小抖振。但其fal函数的不光滑性，也导致局部抖振。

基于上述问题，本文提出基于扩张观测器(Extended State Observer ，ESO)的自适应电流环控制方法。考虑系统内部参数摄动，和外部负载，设计自适应律来估计内部参数摄动导致模型不确定性扰动由于常规的sign函数导致控制中的抖振和不稳定性，本文将正弦饱和函数代替sign函数，来提高系统稳定性。并利用提出新sigfal函数的扩张观测器对外部负载扰动进行观测，并前馈补偿到电流环控制器中，提高电流环响应速度的同时，减小滑模控制切换增益，减小抖振，提高系统鲁棒性。

2 自适应电流控制器设计

2.1 PMLSM数学模型

PMLSM滑模控制系统由速度外环和电流内环构成，速度外环采用传统PI控制，电流内环采用自适应律控制，则dq轴坐标系下的永磁同步直线电机数学模型如下：

(1)

机械运动方程为：

(2)

式中：其中Rs—电枢绕组电阻(Ω)，id、iq——d、q轴电枢电流(A)；Ld、Lq——轴绕组自感(H)，Lq=Ld；ud、uq——d、q轴电枢电压(V)；ωe——电机电角速度(rad/s)，ωe=πv/τ；ψf——转子磁链(Wb)；M——动子和负载质量；B粘滞摩擦系数；Fe——电磁推力；FL——负载阻力。

电磁推力表达式为：

(3)

其中，kf为电磁推力系数，是个常量。

2.2 电流环内参数扰动分析

考虑系统参数在复杂环境下的变化，电枢绕组电阻随着温度增加而增加等，故原等式做如下定义：

(4)

其中:fq，fd分别代表的是由参数变化导致的不确定性扰动。fq，fd为：

(5)

其中Rs=Rso+ΔRs，Ls=Lso+ΔLs，ψf=ψfo+Δψf，Rso，Lso，ψfo为参数额定值，ΔR，ΔL，Δψf表示的是Rs，Ls，ψf的参数摄动，且假设Rs，Ls，ψf的参数摄动是有界的，即|ΔRs|≤b1，|ΔLs|≤b2，|Δψf|≤b3。

2.3 电流控制器设计

自适应电流控制器的主要作用是在扰动存在的情况下保证精确追踪到参考电流值，实现电流快速精确的动态响应，定义dq轴电流跟踪误差如下：

(6)

其中的iqref，idref代表的是dq轴电流的参考值，eq，ed代表的是dq轴电流的追踪误差。

将追踪误差eq和ed作为状态变量，dq轴电压ud和uq作为控制输入，则dq轴电流状态空间方程为：

(7)

式中：x=[eqed]T，u=[uqud]T，C=[C1C2]T

在滑模电流控制器的设计中，为了保证确保追踪的精度消除稳态误差，选用积分滑模面。

(8)

其中，c1>0，c2>0为积分系数，保证误差收敛的速率。

对滑模面进行求导可得：

(9)

在滑模运动中，系统分为两阶段的运动，第一阶段是趋近滑模面运动，第二阶段就是在控制律控制下，保持滑模稳定运动，为了改善滑模趋近运动阶段的动态品质与滑模抖振抑制效果，采用趋近律算法，设计趋近律如下：

(10)

式中：xq=eq，xd=ed，cq1>0，cd1>0，代表的是切换增益，cq2>0，cd2>0代表的是趋近系数。

其中sign(s)代表的是符号函数，定义如下：

(11)

又因为sign函数为非连续函数，这是导致抖振的主要原因，增益越大抖振越大，张晓光[30]提出了边界层来消除抖振，即采用饱和函数sat(s)来代替sign(s)函数，饱和函数如下：

(12)

ρ代表边界层厚度，边界层厚度越大，抖振抑制越明显但边界层厚度过大时，高增益的开关函数作用区域减小，将影响响应速度，降低系统对参数变化和外部扰动的鲁棒性。函数对比图像如下图所示：

由上图可知靠滑模面较近的，收敛速度也快，故本文采用正弦饱和函数，如下

(13)

式中:k1=π/2ρ。

因此趋近律可以从新定义为：

(14)

结合(7)、(9)、(14)可得滑模电流控制器的控制律为：

(15)

从公式(15)中，滑模电流控制器控制律中含有模型不确定性扰动。且参数变化在系统内部是很难准确测量的，这就导致滑模控制来选择较大的控制增益来保证系统鲁棒性来减小参数变化的影响，但选择较大的增益的同时会导致较大的抖振和影响响应速度。故设计自适应律在线估计由参数变化导致的不确定性扰动。自适应律如下：

(16)

式中β1>0，β2>0是自适应估计增益，q，d代表的是fq，fd的自适应估测值，因此等式(15)可以从新定义为：

(17)

2.4 稳定性分析

定义估测误差为：efq=q-fq，efd=d-fd，定义李雅普诺夫函数为：

(18)

(19)

将公式(18)代入(20)可得：

(20)

又因边界层稳定性相似，故可以分析开关函数，来确定(20)稳定性条件。故等式该满足：

(21)

3 二阶扩张观测器(ESO)设计

系统在稳定状态时，加入外部负载后，为了保持系统稳定，相应的切换增益也应随之增大，大的增益导致不连续信号以及严重抖振。为了解决此问题提高自适应滑模控制系统(adpative slding mode control ，ASMC)的鲁棒性，提高其抗干扰性，加入了二阶扩张观测器，对外部负载扰动进行估测，然后前馈补偿到电流环来减小抖振。

3.1 新型sigfal函数的设计

传统状态观测器的非线性函数为fal函数，其表达式为：

(22)

其中：ε为偏差，α为非线性因子，δ为滤波因子。

对传统fal函数分别在δ=0.01、α取不同值时和α=0.125、δ取不同值时的特性曲线如图2(a)和图2(b)所示。由图2可知，fal函数在α<1时，其特性曲线存在拐点且平滑较差。导致fal函数产生斗振，影响状态观测器稳定性。

图1 边界层厚度为[-0.03，0.03]的不同饱和函数曲线对比图

图2 函数fal曲线图

为了解决传统函数的曲线不平滑问题，提出了一种新型非线性函数Sigfal函数，其方程为：

(23)

(24)

其中：ε为偏差，α为非线性因子，δ为滤波因子，k1控制Sig函数的形状，k2>0。

且当δ=|ε|时，Sigfal(数满足连续的条件，即：

(25)

结合式(23)、式(24)和式(25)，可得k2=δα。经分析后得到，当k1=1/δ时，Sigfal函数表现出较好的平滑性，则此时的状态方程可以表述为：

(26)

故新型sigfal函数，其表达式为：

(27)

3.2 二阶扩张观测器设计

由公式(3)得一阶状态状态方程为

令

x1=ωm，y1=x1

(28)

(29)

式中y1和Fe分别作为系统的输出和输入。

由公式(29)可知，PMLSM在运行中受到负载转矩的干扰。因此将负载干扰用f(t)表示：

(30)

并将f(t)扩张为一个新的状态变量x2，即x2=f(t)．

(31)

则式(31)的扩张为下面的二阶状态空间方程：

(32)

可知式(32)是能观的，因此其二阶ESO构造如下：

(33)

式中：β1>0，β2>0，0≤ai≤1，δi>0，i=1，2。

合适的β1，β2，ai，δi能使式(33)快速逼近系统(32)中的状态x1和外部负载f(t)。

二阶扩张观测器设计框图如图3所示，通过在线估计负载扰动的值，然后将值反馈给dq轴的电流控制器中对其进行扰动补偿，来提高系统的抗干扰性。考虑到扰动补偿方面，公式(17)可以从新定义为：

图3 二阶扩张观测器(ESO)

式中kq1，kd1分别为dq轴电流控制器中的补偿系数。

4 仿真验证分析

为了验证所提出的ASMC+ESO算法的有效性，通过 MATLAB-Simulink 搭建了基于 id=0 的永磁同步直线电机空间矢量控制仿真模型，通过ASMC，ASMC+ESO和传统的PI控制策略进行仿真对比，来验证其有效性，为对比结果直接性，三种控制算法，速度控制器中均采用PI控制器。基于ASMC+ESO控制策略的永磁同步直线电机转速控制系统如图4所示，其中速度控制器是传统PI控制，电流环采用提出的ASMC+ESO控制器。永磁同步直线电机参数如表1所示。

图4 基于ASMC+ESO的滑模控制系统框图

表1 永磁同步直线电机参数

本文分别从直线电机角速度和电流控制结果入手，通过将ASMC，ASMC+ESO的控制效果与传统的PI控制进行对比，来验证新型控制策略的响应性和稳定性的有效性。在对比过程中要保证速度环用的是PI调节器，且参数一致，自适应电流控制器(ASMC)控制器的参数中，c1=c2=5，cq1=cd1=20，cd2=cd2=5000，β1=β2=0.002，a1=a2=1.2在PI控制仿真参数为：速度控制器kp=0.25，ki=0.8，电流控制器dq轴相同，kp=150，ki=50。

对PMLSM进行空载启动，启动至额定速度300rad/s，速度响应曲线，三相电流响应曲线的仿真结果如图5、图6、图7所示。由图5(a)，图6(a)，图7(a)可看出，速度在空载的情况下，ASMC+ESO，ASMC，和PI相比，ASMC+ESO控制策略的响应速度明显提高，且抖振明显减小，系统无超调，在0.01s达到系统稳定，稳定性好。图5(b)，图6(b)，图7(b)显示出ASMC+ESO，电流响应最快，具由优越的控制响应性能。

图5 PI控制起初空载速度响应曲线

图6 ASMC控制起初空载速度响应曲线

图7 ASMC+ESO控制起初空载速度响应曲线

电机在空载到额定300(rad·s)后，在0.06s突加负载150N负载，速度和三相电流响应仿真结果如图8，图9，图10所示。由图8(a)，图9(a)，图10(a)可以看出，控制算法系统在加入负载扰动后，ASMC+ESO具有最快的恢复能力和抗干扰性，仅需要0.005s就回到稳定状态，而ASMC，PI需要的回复时间均超过0.1s，且回复速度与原速度存在偏差，由图8(b)，图9(b)，图10(b)显示当系统加入负载扰动后，ASMC+ESO控制方法响应电流最快，电流曲线更平滑，谐波含量低于ASMC，PI。

图8 传统PI控制突加负载速度响应曲线

图9 ASMC控制突加负载速度响应曲线

图10 ASMC+ESO控制突加负载速度响应曲线

5 结论

针对PMLSM高精度转速控制要求，本文对现有滑模控制算法中的由于内部参数变化以导致模型不确定性问题和抖振问题进行了研究，提出了一种自适应加扩张状态观测器(ASMC+ESO)算法，构建了自适应电流控制器(ASMC)及扩张状态观测器(ESO)结构，并进行了仿真实验验证。空载启动和突加负载仿真实验结果证实，与传统PI控制相比。

该算法(ASMC+ESO)可明显提高系统响应速度，削弱系统抖振，提高系统的抗干扰性能，在高精度控制领域有较大前景应用。