化隐为显巧构基本模型 融通转化妙生解题方法

【摘 要】以中考复习专题课《探究与圆相关的最值问题》教学为例，通过精心选题、创设情境、感悟模型、建立模型、活用模型、总结提炼来组织教学，实现化隐为显巧构基本模型，融通转化妙生解题方法，问题解决提升解题能力.

【关键词】基本模型，化隐为显，融通转化，总结提炼

最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，无论是代数题还是几何题都有最值问题，是中考的热点问题，常常设置为中考压轴问题，学会解这类问题对于中考取得优秀成绩非常重要.

在初三数学中考复习过程中，以探究与圆相关的最值问题的教学为例，明确建立与圆相关的最值问题的基本模型解决相关最值问题为教学目标，把挖掘条件、化隐为显、形成解决与圆相关的最值问题的能力作为教学重点.通过精心选题、创设情境、感悟模型、建立模型、活用模型、总结提炼等有效活动来组织教学，实现化隐为显巧构基本模型，融通转化妙生解题方法.

教学的主要过程如下.1 自主探究，合作交流，感悟求与圆相关的最值问题的基本模型

首先，我们选择4个基础问题，让学生【自主探究，感悟模型】.

问题1 如图1，在平面直角坐标系中，已知M（-1，0），N（3，3），点P在以N为圆心，半径为2的圆上运动，则线段MP的最大值为，最小值为.

問题2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD上的一个动点，连结AP，则线段AP的最小值是.

问题3 如图3，⊙O的半径为3，点O到直线l的距离是4，点P是直线上的一个

动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为.

问题4 如图4，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC

上的一个动点，以AD为直径画⊙O，则⊙O面积的最小值为.

教学片段过程分析：

问题呈现，认真审题后，学生陆续发言.

对于问题1，当MP经过圆心N时，圆上与点M的最远点P为线段MP取最大值的位置，最大值为MN+2=5+2=7，圆上与点M的最近点P为线段MP取最小值的位置，最小值为MN-2=5-2=3.

对于问题2，当PA所在直线经过点BC中点（圆心）时，线段AP最小为：5-1.

一个小组代表还进一步抽象出基本图形，如图5，点P为⊙O外一点，点Q为⊙O上一点，线段PQ经过圆心O时，若Q在A处，此时PQ最小;若Q在B处，此时PQ最大.

受学生抽象基本图形的启发，教者灵机一动地追问：当点P在⊙O内时，会出现什么情形？

马上有学生回答：仍然是PQ所在直线经过圆心O时，如图6，若Q在A处，此时PQ最小;若Q在B处，此时PQ最大.

经过小组自主研究，很快学生发现，问题1、问题2是圆中“一箭穿心”（经过圆心的直线）的基本模型.

学生的建模意识在解决基础问题的过程中自然形成.

还有学生说明，在圆中经过点P的所有弦中，直径AB最大，垂直于直径AB的弦最小.学生关于最值问题的联想超出老师的预估.

对于问题3，一位学生说明：当OP⊥l时，PQ最小，是“垂线段最短”模型.教者追问：为什么此时PQ最小？另一位学生解释：Rt△POQ中，由于半径OQ是定值，根据勾股定理，OP确定，PQ就确定，所以只要OP最小，PQ就最小，OP最小的状态是“垂线段”.

对于问题4，一位学生说明：当AD⊥BC时，⊙O的面积取最小值.教者追问：为什么此时⊙O的面积最小？学生解释：因为△ABC是确定的，根据“垂线段最短”知道当AD⊥BC时，直径AD最小，所以⊙O的面积最小.师生对话让所有学生都明白了其中的道理.

4个基础问题提供了学生探究圆中最值问题总结基本模型的平台，学生能够自主总结出求与圆相关的最值问题的基本模型.2 典型例析，化隐为显，学会构建基本模型求与圆相关最值问题

其次，我们选择两个无圆典型问题，让学生【典型例析，建立模型】.

例1 如图7，在边长为2的正方形ABCD中，点M是AD边的中点，若线段MA围绕点M旋转得到线段MA′，连接A′C，A′C长度的最大值为，最小值为.

例2 （常州市2020年中考模拟优化卷第18题）

如图8，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为.

教学片段过程分析：

短暂的学生小组讨论过后，学生开始讲题.

对于例1，我们发现点A′在以点M为圆心，1为半径的圆上（如图9），问题就转化成了“一箭穿心”的模型，由于点M是AD边的中点，所以DM=1，而CD=2，由勾股定理可以求得MC=5，所以A′C长度的最大值为5+1，最小值为5-1.

对于例2，点C落在以AB为直径的圆上，线段CD的长也就落在“一箭穿心”的模型上，但由于点D也是直线上的动点，因此，又演变成为过线段AB中点向直线OD作垂线段的情形，本题是“一箭穿心”模型与“垂线段最短”模型的叠合（如图10），AB的中点M（2，0），

OM=2，△ODM为等腰直角三角形，DM=2，线段CD长的最小值为2-1.

例1、例2的解决，遵循学生“跳一跳可以摘到桃子”的原则，化无为有，化隐为显，通过巧构基本模型求解了与圆相关最值问题.3 拓展延伸，融通转化，提升解决与圆相关最值问题的解题能力

再次，我们提供两个选择问题，让学生【拓展延伸，活用模型】.

例3 （常州市2020年初中学业水平考试第7题）如图11，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（点C不与A、B重合），CH⊥AB于H，M是BC的中点，若⊙O的半径是3，则线段MH长的最大值是（ ）.

A.3 B.4 C.5 D.6

例4 （连云港市2020年中考模拟优化卷第8题）

教学片段过程分析：

对于例3，表现上可以看出，MH是Rt△BHC的斜边上中线，MH为BC長的一半.求线段MH长的最大值的问题就转化成了求BC最大值的问题，显然BC为直径时最大，于是问题解决.

对于例4，一位同学提出：由于点A为定点，点P在⊙C上运动，根据瓜豆原理知道点Q也在一个小圆上运动，只要探求出小圆的圆心和半径，并可以求出线段OQ的最大值和最小值.题目是求线段OQ的最大值，学生还想到了可以求出线段OQ的最小值.

就当大家准备动手做题时，一位同学举手说：刚才的做法复杂了，我们可以连接BP，OQ就是△ABP的中位线，要求线段OQ的最大值只要求线段BP的最大值，而我们看到B（4，0），C（0，3），由勾股定理可以求出BC=5，线段BP的最大值是5+2，所以线段OQ的最大值是3.5，本题是口算题.

好一个“口算题”，这位学生的发言让师生们眼界大开，课堂上学生已经能够在不同解法中通过比较选择优法.

接下去，教者让学生们进一步【挑战能力，大显身手】.

提高题 （连云港市2020年初中学业水平考试压轴选择题第16题）

如图13，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，B是⊙O上的一动点，C为弦AB的中点，直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为.

教学片段过程分析：

本题为压轴选择提高题，教者发现刚开始学生几乎没有反映，于是先让学生小组讨论，通过讨论，学生发现直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E是确定的，△CDE面积变化取决于点C到直线DE的距离，而点C是动点，又看到，点A是定点，点B是⊙O上的一动点，根据瓜豆原理，点C也在一个小圆上运动，取特殊位置分析，发现点C在以线段OA为直径的圆上，于是可以找到小圆的圆心P（1，0），如图14，由△DQP与△DOE相似可以求出PQ=95，于是得到点C到直线DE的距离最小为45，所以△CDE面积的最小值为2.

给予学生足够的思考时间，学生已经能够在解决例3、例4的基础上，识破⊙P的存在，而且构造出“一箭穿心”的基本图形.

教者追问：本题我们还可以提出什么样的问题？

马上有学生提出：△CDE面积的最大值是多少？

接着有学生回答：直线PQ与⊙P相交的最远点使得CQ取最大值145，所以△CDE面积的最大值为7.

学生不但能够解决问题，而且能够提出问题，变通思想解决新问题.4 总结提炼，升华理解，形成解决与圆相关最值问题的解题思想

数学问题的解决往往是容易的，而形成解决数学问题的思想并不容易，特别是内化为学生的理解更不容易，对解决数学问题的思想方法的总结和提炼一定要让学生来完成.

本节课的课堂小结，教者先让学生们小组内部交流，然后班级交流.

一位学生说：本节课我们研究了利用“一箭穿心”的模型解决与圆相关的几何最值问题;另一位同学说：本节课我们还研究了利用“垂线段最短”的模型解决与圆相关的几何最值问题;第三个同学说：本节课我们以“一箭穿心”的模型为基础，其它模型与该模型整合形成题目来研究;第四个同学说：在解决与圆相关的几何最值问题时我们要有基本模型意识，通过确认或构建基本模型来解决问题;第五个同学说：我们要学会分析题目的已知条件，联想基本图形，化无为有，构建基本模型来解决问题;……

课堂小结的任务交给学生，一个学生的总结可能是零散的、不完整的、不规范的，甚至是不恰当、错误的，但会在众人的描述过程中逐步完善、逐步深刻.令人欣喜地是还有同学提出：我们看数学问题要有变通的思想，今天解决的问题中，问题1、例1明确提出了最大值、最小值的问题，提高题我们也想到了最大值的情形，其实问题2、例2、例4也有最大值、最小值的问题的同时存在.

学生的总结，不仅是解题思想方法层面的理解，而且能够从题目结论延伸角度思考问题，课堂小结无疑是深刻的.

教学反思

综观上述教学过程，本节课通过教师引导，生生互助，将问题转化为与圆相关的几何最值基本模型进行求解，课堂抓住了感悟模型、建立模型、活用模型这根解题主线，层层递进，实现了化隐为显巧构基本模型，融通转化妙生解题方法，取得了优质的教学效果.对此，教者有四点感悟：

第一、典型选题为有效专题复习奠定了基础.本节专题复习课的选题紧紧围绕动点在圆上进行选择，问题1、问题2是最直观的形式，问题3、问题4通过间接方式呈现“一箭穿心”的基本模型.例1、例2提供了没有圆的情景，需要感悟、想象圆的存在，化隐为显，从而把问题转化为“一箭穿心”的基本模型，例2又融进了“垂线段最短”，问题的难度有所提升，自然过渡到例3、例4，例3把圆中最值问题的基本模型与直角三角形斜边中线结合，例4把圆中最值问题的基本模型与三角形中位线结合，选题的综合性提高了，最后的提高题在例4的基础上增加了求点到直线的距离.选题充分体现了层次性，为开展有效专题复习奠定了基础.

第二、以生为本使得专题复习活动落地生根.本课例从学生的认知实际出发，首先提供4个基础问题激活学生运用与圆相关的几何最值基本模型解题的经验，然后提供4个例题升华学生运用与圆相关的几何最值基本模型解题的经验，最后通过一个提高题的解决进一步提升了学生解决与圆相关的几何最值问题的数学能力.课堂教学以学生活动为主，小组合作互相交流分析问题，班级展示学生讲题明晰问题，解决问题提高认识形成能力.

第三、时空对话使得专题复习活动深刻进行.专题复习课很多时候是“赶鸭子上架”，学生没有思考的时间和机会，本节课多次让学生小组讨论交流，在学生讲题的时候教者更多的是等待，没有因为学生讲题的不完善而打断学生，而是等待学生讲完之后追问，由该生继续说明或其它学生补充说明.这里教师不是给予式的讲授，而是先给予学生足够的空间和时间思考，然后是对话、引导、追问，学生主体式的表现，专题复习活动深刻进行.

在解决基础问题的过程中，教师的追问促进了学生的建模意识自然形成.在解决提高题的过程中，师生对话促进了学生变通思想的生成.学生的悟性不断增强，对数学问题中的理解加深，数学思考能力进一步提升.

第四、一题多解体现了专题复习的灵动生机.例4的解决过程体现了两种不同的解决问题方式，前者先确定点Q的运动路径显得比较麻烦，而后者先确定PB的最值显得简便，用学生的话说是“口算题”.“口算题”的背后是学生思维的简捷性，学生有了解题过程的比较，这正是我们专题复习课所需要的宝贵东西.专题复习课需要培养学生这样的能力，在审题过程中能够迅速判断可能的解题方法，选择简便的方法.

究竟怎样的专题复习课是好课？虽无定论，但也是有规律可循的.一个专题可以突出研究一个题型，培养学生解决这类数学问题的能力.

作者简介 任宏章（1966—），男，江苏兴化人，中学高级教师，江苏省特级教师，主要从事初中数学课堂教学研究和初中学生数学学习行为方式的研究.