从“数”与“差”的错题中体验概念教学

【摘 要】概念是客观事物的本质属性在人头脑中的反映，是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，數学概念是学生深入学习数学知识的基础，是计算和解决问题的重要依据，正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑思维能力和空间想象能力的前提，是发展学生数学核心素养的重要保障.

【关键词】中位数;众数;方差;体验;概念

李邦河院士说：“根据我上大学以后搞数学研究的经验，数学根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”我们要判断一件事情是什么或者不是什么，要判断一道题的结果正确与否，最基本的方法就是“用定义来判断”.章建跃博士也提出：“‘理解数学是当好数学教师的前提.在数学教师的知识结构中，第一要素是‘数学素养，其主要内涵是：了解数学知识的背景，准确把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义.”可以说“依定义行事”“从定义出发研究问题”是数学理性精神的重要体现.

1 知识背景分析

教师在进行“数据的集中趋势和波动程度”的有关概念教学时，通常用统计图和统计表整理和描述数据，为了进一步获取信息，还需要对数据进行分析.采用平均数、中位数和众数（简称“数”）刻画数据的集中趋势，采用极差、方差、平均差或标准差（简称“差”）等来分析数据的波动程度.其中，平均数、中位数、众数是描述一组数据集中趋势的三个统计量，平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，但它受极端值的影响较大;中位数是反映一组数据集中趋势的位置的代表值，表示一组数据排序后，位于最中间的统计量;当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数是值得关注的一个统计量，它是一组数据中出现次数最多的数据;而极差反映了一组数据的变化范围，在一定程度上描述了这组数据的离散程度;方差则较为精确地反映一组数据的离散程度，是一个被广泛用来描述数据离散程度的量.

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称“课标”）[1]中指出：“教学中让学生经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程.”“理解平均数的意义，能计算中位数、众数，加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述.体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差.”

近期，学校在进行中考复习时，一些基础薄弱的学生对“统计和概率”中“数”与“差”的概念理解出现了错误，笔者通过对这些错题的分析和体验教学指导，和一线教师探讨交流概念教学，目的是通过概念教学使得学生经历概念的形成过程，深入理解并内化概念，使得一线教师能提高概念教学的有效性，最终提升学生的数学核心素养.

2 典型错题分析

2.1 对“众数”的概念理解错误

例1 某校九年级（1）班40名同学的数学期末考试成绩统计表如下：

下列结论：①成绩的中位数在80≤x<90;②成绩的众数在80≤x<90;③成绩的平均数

可能为70;④成绩的极差可能为40.其中所有正确结论的序号是.

分析 一些学生的答案是①②④，而正确答案是①④，为什么会有学生认为②也是对的，笔者对这些学生进行了解，很多学生的想法是，众数是出现次数最多的，这40名同学的数学期末考试成绩在80≤x<90出现的人数最多，是16人，所以成绩的众数在80≤x<90.

学生对众数的概念理解为成绩在80≤x<90这个范围内出现的人数多就认为众数在80≤x<90.而教材中众数的概念是：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.概念中强调的是出现次数最多的数据，而不是在某个范围内出现的数据最多.

体验 知道学生出错的原因后，笔者对这些学生进行了体验式指导，让学生把这40个数据一一列举出来，特别地，把在70≤x<80分的14人的成绩都写成75分，把在80≤x<90分的16人的成绩写成不同的数据，比如：80，80.5，81，81.5，82，82.5，83，83.5，84，84.5，85，85.5，86，86.5，87，87.5，学生还没写完，就恍然大悟，“哦！原来众数指的是某个数据出现的次数最多，而不是某个范围内的数最多.”

2.2 对“中位数”的概念理解错误

例2 一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，求x的值.

分析 一些学生的答案是12，而正确答案是4或8或12，为什么这些学生只得到一个答案，笔者继续寻找原因，发现很多学生认为数据6，8，10，x是一组按照从小到大排好顺序的数据，还有的学生忘记了中位数要排序，只想到找中间两个数8和10的平均数作为中位数，对中位数的概念理解出现了错误.教材中中位数的概念是：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数.因此，找中位数的前提是先将一组数据按从大到小或者从小到大的顺序排列.

学生经过推理发现：一组数据如果都增加3，则平均数也增加3，但方差不变.一组数据如果扩大3倍，则平均数也扩大3倍，但方差扩大9倍.

进一步思考：如果把一组数据中的每个数都增加c，平均数和方差如何变化？如果把一组数据中的每个数都扩大c倍（c>0），那么平均数和方差又如何变化？

学生通过推理得出方差具有如下特点：如果一组数据都增加c，平均数也增加c，方差不变.如果一组数据都扩大c倍（c>0），平均数也扩大c倍，方差则为原方差的c2倍.

3 概念教学反思

概念教学是数学教学的核心，在实际教学中，教师压缩概念教学时间的现象很常见，这使得学生对概念本质的理解产生了影响，因为概念是浓缩的精华，是以不变应万变的法宝，所以教师要引领学生回归概念，重视概念的获得过程，让概念教学落地生根[2].

3.1 初步感知概念，激发学习欲望

对于概念教学，教师要从学生已有的认知出发，课前先清楚了解学生已经具备哪些知识和生活经验，充分了解学情，然后通过课堂教学设计，唤醒学生已有的知识和生活经验，让学生自然地去感知概念并接受概念.

教师在教“众数和中位数”之前，可以先进行调查：“你听说过众数和中位数吗？”如果学生对概念不能清晰去表达，可以接着问：“你能从生活中举例进行说明吗？”学生的初步感知就是众数是出现次数最多的数，中位数是中间位置的数.当然，学生在课前对概念的理解不准确是很正常的，只有了解实际的学情，教师才会有重点、有目的、有针对性地去设计教学，使学生理解概念并且掌握地更加清晰.

在教学引入时，可展示某一次考试，班级10个学生的数学成绩，分别为：81，86，86，87，89，86，91，92，92，92.问学生：你知道众数和中位数是多少吗？对于众数，学生会发现86出现了3次，92也出现了3次，众数可以是两个吗？学生会觉得不确定;对于中位数，按照学生的理解，找中间一个数，这10个数的中间一个数是多少呢？是89，还是86呢？学生也会很犹豫.原因是学生目前还不清楚众数和中位数的概念是什么？对概念的认知还不清楚，这充分说明了学习众数和中位数概念的必要性.学生产生了困惑，迫切想学习新知，从而激发学生对学习众数和中位数的强烈欲望，这样的唤醒是自觉的，也是学生运用经验感知概念的一种理性思考.

3.2 合理设问，经历概念的形成过程[3]

在“统计与概率”的概念课教学中，教师觉得内容很简单，往往把重点放在学生的技能训练上，忽视探究知识的过程，在一定程度上抑制了学生思维能力的发展，这样学生就没有经历概念形成的具体过程.该如何让学生经历概念的形成过程呢？首先，需要建立在学生的认知基础上;其次，概念是由学生经历概念的形成过程后，对概念逐渐清晰后总结出来的，不是老师告诉的.

对于上面班级10个学生的数学成绩，分别为：81，86，86，87，89，86，91，92，92，92.教师可以问学生：“你觉得众数是什么？”学生会回答：“众数是出现次数最多的数，”继续追问：“那么，这组数据中哪个数出现的次数最多？”學生会回答：“86和92出现的次数最多，都出现3次.”按照这个学生的理解，众数应该是86和92这两个数.所以，学生经历这个思考过程，可总结出众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.需要提醒的是众数可以不是一个数，当有两个数据出现次数最多时，这两个数据都是众数.

那么，中位数呢？是中间一个数据吗？学生不太敢回答，因为对中位数的概念不清楚，但也会有学生认为是“89和86”，因为这两个数在中间，那么如果将这10个数的位置进行调整呢？变成89，81，86，86，87，91，92，92，92，86.按照刚才这位学生的理解，那么中位数岂不是变成了“87和91”，这显然是不可取的.一方面，一组数据的中位数随位置的变化而不同，另一方面，中位数反映数据的集中趋势，如果这样，中位数就不能反映一组数据的集中趋势了.该如何定义中位数呢？以此引发学生对中位数概念的思考，学生会发现中位数和一组数据的位置有关，要想使得中位数反映数据集中趋势，应该将中位数先进行排序，然后找中间的那个数，将上面10个数排好顺序为：81，86，86，86，87，89，91，92，92，92.那么中间的两个数为“87和89”，并且是邻近的两个数，为了更好地反映数据集中趋势，排序后，当数据的个数是偶数，处于中间位置的数据的平均数为这组数据的中位数;当数据的个数是奇数，处于中间位置的数据为这组数据的中位数.也说明这组数据的中位数只能是一个数，这是有别于众数的，让学生经历概念的形成过程.

3.3 典例剖析，深入理解概念的内涵

为了加深学生对众数的理解，可以设计这样的典型例子：

这是某一次考试，另外一个班级10个学生的数学成绩表，你知道这10个学生数学成绩的众数在哪吗？有些学生会不假思索地回答：“众数在80≤x<90”，也会产生反对的声音：“通过观察，前面一个班10个学生的成绩，成绩在80≤x<90也有6人，90≤x<100也有4人，但众数是86和92这两个数，其中92就不在80≤x<90”，引发学生对众数的概念再次进行深度思考：众数概念中强调的是出现次数最多的数据，而不是在某个范围内出现的人数最多.

对于中位数，可以这样设计典型题目，加深学生对中位数的理解，如图，为了解九年级女生体质健康的变化情况，老师从九年级全体200名女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

这20名女生体质测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：

其中，成绩在80≤x<90的是：80，81，85，85，85，86，88.

那么，这些参加体质测试的女生成绩的中位数是多少？部分学生会误认为是85，可见，这些学生找的是80≤x<90这7位女生的成绩的中位数，并不是抽取的20名女生体质测试成绩的中位数，要找这20名女生体质测试成绩的中位数，应该排序后，找第10个和第11个数据的中位数.题中成绩在60≤x<70的有3个学生，70≤x<80的有6个学生，那么，第10个和第11个数据应该从80≤x<90中来找，第10个和第11个数据分别为80和81，中位数是取其平均数，应该是80.5.

学生在解决数学问题时出现错误，主要原因是对概念的理解出现偏差，数学教学中，教师可把有细微差别的内容安排在一起进行辨析教学，让学生从错误中反省，从中感知概念的内涵，达到深度理解概念的目的.

3.4 了解概念产生的必要性，发展核心素养

数学的很多概念之间有着密切的联系，每一个新概念的产生都是旧概念的延续，教师在教学时，应该有意识地引导学生去探索新旧概念之间的联系，这样不仅能促进学生对新概念的理解，又能在相互联系的概念中进行比较，厘清知识之间的区别和联系.例如：在学习方差时，方差是如何产生的？方差和平均数有什么关系？方差是不是越小就越好呢？需要把这些问题思考清楚.

教学时，可以借助于教材中的情境，兵乓球的标准直径是40mm.质检部门随机抽取了A和B厂生产的10只乒乓球，对其直径进行检测，结果如下（单位：mm）.

分析表格发现，A和B两厂生产的10只乒乓球的平均数都是40mm，极差都是0.4mm，仅用平均数和极差就无法比较了，究竟哪家生产的乒乓球更接近标准直径？怎样更精确地比较这两组数据的离散程度呢？

学生会找每个数据与平均数的差，求所有差值的和.但这样会出现正负抵消的情况，如何避免抵消，可以把这些差值取绝对值后，再相加.但如果这两组数据选取的个数不一样呢？学生会想到求其平均数，这其实就是平均差.由于平均差得到的结果很接近，相差不大，为了更清楚地反应数据的离散程度，我们把每一个数据与平均数的差进行平方，然后求其平均数，方差是经历这样的过程才产生的[4]，通过方差就能很好地解决这个问题.

3.5 内化概念，提升对概念的认知

学生通过对方差概念的理解，已经知道方差是反映数据波动程度的量，一组数据的方差越大，这组数据的离散程度越大，波动就越大;反之，一组数据的方差越小，这组数据的离散程度越小，波动就越小.显然，仅知道这些是不够的，还需要对方差的概念进行内化，提升学生对概念的深度认知.例如：（2015年南京市中考）某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：

现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队员工月工资的方差（填“变小”，“不变”或“变大”）.

部分学生通过表格观察出来，减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.其实是把2名木工每月的工资的6000和6000变成一名电工和一名瓦工每月的工资7000和5000，虽然人员调整了，14名員工每月工资的平均数仍不变，因为平均数是6000，数据7000和5000比6000和6000数据的波动变大了，离散程度变大了，也就是方差变大了，根本不需要通过计算方差和比较方差计算的结果，就可以分析出来，这就需要学生在内化概念的基础上，不断提升对方差概念的认知.

总之，教师在概念教学时，要结合学生的认知规律和教学内容的特点，巧妙设计教学过程，帮助学生在探索、体验、辨析、应用中深入理解概念的本质，构建数学概念的知识体系，提升数学概念教学的效果，学生需要在教师的引导下去经历、去体验、去领悟，才能使数学概念得以内化和提升，从而发展学生的数学核心素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]杨莉.大道至简，悟在概念[J].中学数学教学参考（中旬），2021（4）：54-56.

[3]沈淑霞.让数学概念教学之“根”深植于活动经验之中[J].小学教学参考，2021（5）：46-47.

[4]郑隽，叶旭山.突出过程教学，激活学生思维——“方差”教学设计[J].中小学数学，2015（2）：35-36.

作者简介 万涛（1984—），男，中学高级教师，南京市张爱平、赵齐猛初中数学名师工作室成员，南京市鼓楼区学科教学带头人，南京市鼓楼区优秀青年教师，曾获得南京市优秀教育案例一等奖，南京市鼓楼区初中数学青年教师基本功大赛一等奖，主要从事初中数学体验教学研究.