从芝诺悖论看极限理论存在的问题

四川省攀枝花市老年科技工作者协会 张喜安

教师对芝诺悖论对经典微积分的极限理论的正确性提出了疑问，为了探索上述问题，下面把与上述疑问密切相关的几个问题叙述如下：

一、 芝诺悖论产生的原因

夏基松和郑毓信在两人合著的《西方数学哲学》一书中认为，对于芝诺悖论，黑格尔曾作过如下的分析：“量是分立（即离散——注）与连续两者的单纯统一，关于空间、时间、物质等无限可分的争论或二律背反都可以归结到这种性质里去。”（黑格尔逻辑学上卷，第199 页即“这种二律背反完全在于分立和连续都同样必须坚持。片面坚持分立，就是以无限的或绝对的已分之物，从而是以一个不可分物为根本，反之，片面坚持连续则是以无限可分性为根本，这正是芝诺关于阿基里斯的悖论的根源所在。” （黑格尔逻辑学上卷，第199 页） “总之，黑格尔关于芝诺悖论的分析是正确的，它既不肤浅，也没有过时。”

众所周知，实数理论和极限理论是经典微积分的理论基础。在实数理论中，连续性是实数理论的重要性质。实数的这种连续性被看作是绝对的，即实数不可能在具有连续性的同时还具有分立性，或者离散性。但是如果我们根据上面夏基松和郑毓信关于芝诺悖论的观点，实数的连续性和分立性必须同时承认，否则就是片面的，违背辩证法的观点。因此在芝诺悖论中，用实数表示距离的时候，就是因为只承认距离的连续性而不承认距离同时也具有分立性才，产生了芝诺悖论。

如果按照夏基松和郑毓信的观点，从芝诺悖论和无穷小量的极限定义的关系来看，根据极限理论定义的无穷小量的定义存在悖论则是完全可以理解的。如果我们认为夏基松和郑毓信关于芝诺悖论的看法是正确的，则经典微积分关于实数理论的连续性观点就是片面的，这样，不仅根据极限理论定义的无穷小量的定义存在悖论，而且导数的定义也存在问题了。也就是说，根据夏基松和郑毓信关于芝诺悖论的观点，经典微积分理论就有了疑问。

二、欧拉对经典微积分的无穷小量定义的否定

欧拉是历史上成果最多的数学家，生前发表的著作和论文560 余种。美国数学家塞蒙斯提出：自1748 年以来，所有的微积分教材基本上都是抄袭欧拉的。

欧拉拒绝无穷小的概念，这里所谓的无穷小是指非零而又小于任何指定大小的量（即经典微积分使用极限理论定义的无穷小量）。在他1755 年的“原理”中提出：毫无疑问，任何一个量可以减小到完全消失得无影无踪的程度，而一个无穷小量无非是一个正在消失的量，因而它本身就等于0。这与无穷小量的定义也是协调的，按照无穷小量的定义，它应小于任意指定的量；它无疑应当就是无，因为除非它等于0，否则总能给它指定一个和它相等的量，而这是与假设矛盾的。

欧拉上面的论述最可贵的地方是，他指出了经典微积分使用极限理论定义的无穷小量是自相矛盾的。如果根据欧拉的观点，经典微积分使用极限理论定义的无穷小量是一个自相矛盾的命题，那么经典微积分使用极限理论定义的无穷小量本身就是一个悖论。

三、黑格尔对经典微积分的无穷小量定义的否定

有一些经典微积分的教科书把庄子的一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”作为经典微积分的无穷小量的典型例子，但是不管取100 次、1000 次还是10000 次，每一次所得到的数都是一个有限的数，虽然数变得越来越小，但是本质上没有变。对于这一点，黑格尔指出：“亚里士多德所引芝诺的话说得好，对于某物，只说一次，与永远说它，都是一样的。”黑格尔又说，这样的无限进展并不是真正的无限，因为它仍然停留在有限之中。针对无限物，黑格尔认为，有限物超出自身，否定其否定，变为无限，仍是有限物的本性。对此，黑格尔给出了无限小量的定义：量的质的量的规定性就是无限小量。黑格尔关于无限小量的这个定义，充分体现了上述黑格尔关于无限物的观点，虽然对于熟悉辩证法的人来说，上述黑格尔的无限小量的定义是可以理解的，但是要把这个定义清楚，并且应用它把微积分的理论表示出来，却是一件很困难的事情。我的一篇即将发表的论文“从黑格尔的无限小定义看微积分存在的问题”对黑格尔的上述定义给出一些个人的理解与说明，感兴趣的同志可以查阅，并欢迎批评指正。