基于自适应代理优化算法的射雾器叶轮优化设计

王叶民,樊志华,余 镇,李志华

(杭州电子科技大学机械工程学院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

随着我国工业化水平的提高，日益突出的粉尘污染问题备受关注。射雾器应用于降尘、农药喷洒、火灾灭火及消毒等领域，具有广泛的应用前景[1]。射雾器主要由集流器、叶轮、电机、后导流器、机壳、喷嘴和供水装置组成，其中叶轮结构的优劣直接影响喷射系统的性能。陈波等[2]对射雾器轴流风机的多个结构参数进行多目标协同优化，提升了射雾器的射雾距离和射雾效率。杨航[3]通过单一变量实验分别改变轴流风机结构参数和叶轮结构参数，探究其对射雾器射程的影响，并通过神经网络和遗传算法得到优化后的最佳风筒和叶轮的参数，提高了射雾器射程。Pogorelov等[4]通过数值模拟两种不同叶尖宽度的射雾器轴流风机发现，在射雾器轴流风机气动噪声中，叶尖涡起着主要作用。Kim等[5]运用多学科优化方法来分析射雾器的空气动力特性和气动声学性能，优化了射雾器中叶顶间隙、轮毂比和轮毂间隙等参数。

目前，针对射雾器叶轮结构优化的相关研究较少。起初，射雾器叶轮结构的优化设计往往根据实际应用经验。后来，优化设计将最优化理论和仿真分析结合起来，寻找设计对象的某些最优指标值[6]，由于无法直接观察仿真模型的内部，基于仿真分析的优化设计问题是典型的黑箱优化问题[7]。为了解决这种问题，黑箱优化方法应运而生，主要分为智能优化方法和基于代理模型的优化方法。优化过程中，智能优化方法计算量大，对计算机性能要求很高，有一定的局限性，故选择基于代理模型的优化方法较为合适[8-9]。代理模型优化方法分为静态优化方法和自适应优化方法[10-11]，两者之间最大的区别在于，自适应优化方法中代理模型的作用不再是简单替代，还被用于引导新试验点快速收敛到全局最优解[12]。自适应优化方法选取试验点的目的性更强、优化效率和精度更高，实现了试验过程与优化过程的统一。设计合理的加点准则是自适应优化方法的核心技术，是优化效率和精度的关键[13]。加点准则具备局部探索当前最优区域和全局探索潜在最优区域的能力[14]。加点准则包括最小响应面准则(Minimizing Prediction，MP)、最大期望提高准则(Expected Improvement，EI)[15]、最小置信下限准则(Lower Confidence Boundary，LCB)[16]、均方根误差准则(Root Mean Squared Error，RMSE)[17]、最大期望概率提高准则(Probability Improvement，PI)[18]等。陈鹏等[19]以提升塔架为研究对象，通过双加点动态Kriging代理模型对其进行减重优化，结合了EI，MP加点准则；谢延敏等[20]通过一种改进的加点准则和并行加点方法来实现拉延筋的优化；张建侠等[21]同时优化EI加点准则和可行性概率准则，生成备选实验点集，采用聚类方法从备选点集中获取多个代表性试验点，每次迭代添加多个样本点，并通过算例验证了所提算法的优越性；Li等[22]开发了一种名为EI&MI的多点填充准则；Liu等[23]研究了EI，PI，MP，LCB，RMSE加点准则在约束环境中的使用情况并提出并行加点策略，优化了翼型，获得了更好的气动性能；Cai等[24]基于EI准则，在一定概率范围内智能提取多个新样本点，优化了螺旋桨结构。本文基于Kriging代理模型，提出一种新的自适应代理优化算法，并采用新算法对射雾器叶轮结构进行优化，有效提高了射雾器的射程。

1 设计变量与优化目标

本文采用工地中全自动30 m射雾器为研究对象，在集流器、电机、后导流器、机壳、喷嘴和供水装置结构尺寸不变的情况下，对射雾器叶轮结构进行优化，以提高射雾器的射程。

文献[3]中，确定了对射雾器有重大影响的叶轮关键性结构参数，如图1所示，主要包括翼型弦长b,安装角θ，最大相对弯度m，最大弯度位置p，最大相对厚度w。本文将b，θ，m，p，w作为设计变量，以射雾器的射程作为优化目标。

图1 翼型几何参数[3]

图1中，虚线为翼型中线；A和B分别为翼型前、后缘点；1为外弦，是B点向翼型下表面的切线；2为内弦，是A，B两点的连线；b为弦长；c为翼型厚度，是翼型内切圆的直径；θ为安装角，是叶栅额线与翼型外弦间的夹角；Q为翼型弯度，是翼型内弦与中线间的垂直距离；m为最大相对弯度，m=Qmax/b；p为最大弯度处距翼型前缘点的相对距离，p=a/b，a为最大弯度距翼型前缘点的距离；w为最大相对厚度，w=cmax/b。

2 自适应代理优化算法

设计合理的加点准则是自适应代理优化算法的核心[13]。不同的加点准则有着不同的特点，为了充分利用每种加点准则的优势，本文提出的自适应代理优化算法将加点准则分为全局探索阶段和局部探索阶段，通过在不同阶段的自适应切换，实现全局探索潜在最优区域和局部探索当前最优区域的能力，最终提高优化效率和精度。

2.1 Kriging代理模型

Kriging代理模型表达式为：

y(x)=F(β,x)+z(x)=fT(x)β+z(x)

(1)

式中，F(β,x)为多项式回归模型，β为回归系数，fT(x)为多项式基函数组成的矢量，可以是0阶、1阶或2阶多项式，其中0阶多项式稳健性最好，应用最为广泛[25]，所以本文选取0阶多项式模型，z(x)为随机过程，特点如下：

E[z(x)]=0

(2)

Var[z(x)]=σ2

(3)

(4)

式中，R(θ,xi,xj)表示以θ为参数的xi，xj之间的相关函数，n为样本点的数量。本文选择的相关函数是高斯函数，形式如下：

(5)

(6)

(7)

S=[x1,x2,…,xn]T为样本点，Y=[y1,y2,…,yn]T为样本点响应值，根据S、Y中的数据，可得到R=R(θ,xi,xj)(i,j=1,2,…,n)和F=[f(x1),…,f(xn)]T，新样本点x0与其余样本点的空间相关性为：

r(θ，x0,S)=[R(θ,x0,x1),…,R(θ,x0,xn)]T

(8)

2.2 加点准则

2.2.1EI加点准则

Kriging模型可以预测未知点处的响应值和标准差，EI加点准则的定义结合了这两者，表达式为：

(9)

2.2.2PI加点准则

PI加点准则表达式为：

T=fmin-k|fmin|,k≥0

(10)

(11)

式中，k为系数，本文取k=0.1。PI加点准则原理与EI加点准则类似，该加点准则具有较好的全局收敛性。

2.2.3MP加点准则

MP加点准则表达式为：

(12)

MP加点准则认为代理模型是足够精确的，直接寻找代理模型上目标函数的最小值，具有较好的局部收敛性，但是没有考虑代理模型的误差，容易陷入到局部最优。

EI，PI加点准则在每次迭代中通过差分进化算法求解出最大值作为添加的样本点，而MP加点准则在每次迭代中通过差分进化算法求解出最小值作为添加的样本点。

2.2.4IPI加点准则

由于EI加点准则是搜索标准差最大的点或者搜索比当前极小值更小的点；PI加点准则是搜索当前极小值附近的点。这两种加点准则对极小值区域搜索能力较强，对极大值区域搜索能力较弱。本文提出IPI加点准则提高对极大值区域的搜索能力。具体如下：

(13)

假设希望达到比ymax更大的值T≥ymax,则随机变量Y(x)大于T的概率为：

(14)

通常T的取值如下：

T=ymax+k|ymax|,k=0.1

(15)

未知点x处kriging预测值相对T的改进量IT(x)为：

(16)

于是IPI值的计算，也即IT(x)的概率如下：

(17)

对于IPI加点准则在每次迭代中通过差分进化算法求解出最大值点作为添加的样本点。

2.3 冗余点的删除

由于过多的冗余点会降低计算效率，因此需要删除冗余点。本文使用高斯准则式(5)来删除冗余点。在优化过程中，可获得相关性参数θl的值。R表示新加入样本点和已知样本点的相关性，R∈[0,1]。R越接近0，表示2个点的距离越大；R越接近1，表示2个点的距离越小；当R=1时，表示2个点重合。

为了防止IPI加点准则加入的样本点过度集中于全局极大值区域，造成样本点的冗余和计算效率的降低；同时也为了防止MP加点准则加入的样本点过度搜索局部最优区域，本文引入Euclidean距离,计算公式为：

(18)

式中，对于IPI加点准则，xA表示通过IPI加点准则加入的新样本点，xN表示之前IPI加点准则加入的样本点。当d<0.1时，说明新样本点已经过度集中在全局极大值区域[26]，删除IPI准则加入的新样本点，否则添加该新样本点；对于MP加点准则，xA表示通过MP加点准则加入的新样本点，xN表示之前MP加点准则加入的样本点。当d<0.1时，说明已经过度搜索局部最优区域[26]，删除MP加入的新样本点，并进入到全局探索，否则继续搜索局部最优区域。

2.4 优化终止条件

终止条件为：

(19)

式中，ynew和ybest分别表示新加入的样本点和现有样本点中最佳点对应的响应值，ξ为容许的误差。

2.5 自适应代理优化算法原理与流程

本文提出的自适应代理优化算法包括全局探索和局部探索两个阶段，在全局探索阶段，为了充分利用每种加点准则的优势，本文提出基于EI，PI和IPI三种加点准则对Kriging代理模型进行全局并行加点策略。为了防止IPI加点准则加入的样本点过度集中于全局极大值区域，本文通过Euclidean距离来判断是否删除IPI加入的新样本点。在局部探索阶段，由于MP加点准则能快速收敛到局部极小值区域，所以本文通过MP加点准则对Kriging模型进行局部加点。各加点准则均通过差分进化算法进行寻优。

对于全局探索阶段和局部探索阶段的切换，当全局探索阶段加入的样本点的响应值小于当前样本库中的样本点响应值时，则切换到局部探索阶段，否则继续全局探索阶段；当局部探索阶段中Euclidean距离小于0.1时，则说明MP加点准则加入的样本点过度集中于局部最优区域，此时切换到全局探索阶段，否则继续局部探索阶段。通过全局探索和局部探索不断的自适应切换，直至寻找到最优解。其流程图如图2所示，其中Q为判断系数；H1为全局探索循环次数；H2为局部探索循环次数；L样本库为初始样本库；L1样本库存放IPI加点准则加入的样本点；L2样本库存放MP加点准则加入的样本点。

图2 自适应代理优化算法流程图

3 设计实现与分析

3.1 经典函数算例

为了验证IPI加点准则的有效性，用PI加点准则和IPI加点准则分别构建一维函数的Kriging模型。并以经典函数为例，分别运用本文提出的自适应代理优化算法与EI，q-EI，PI，MP加点准则进行函数优化。

3.1.1IPI加点准则的验证

一维函数表达式为：

f(x)=exp(-x)+sin(x)+cos(3x)+0.2x+1.0,x∈[0.2,6.0]

(20)

取5个初始样本点，基于PI加点准则和IPI加点准则对该一维函数进行寻优，并都只加10次点。得到kriging模型曲线分别如图3和图4所示。

图3 基于PI加点的一维函数Kriging曲线

图4 基于IPI加点的一维函数Kriging曲线

从图3可以看出，基于PI加点准则的样本点在极小值区域比较集中，说明PI加点准则对极小值区域搜索能力较强。从图4可以看出，基于IPI加点准则的样本点在极大值区域比较集中，说明IPI加点准则对极大值区域的搜索能力较强。从图4还可以看出，通过IPI加点准则构建的Kriging模型与真实模型非常吻合，说明IPI加点准则精度较高，从而验证了IPI加点准则的有效性。

3.1.2 基于自适应代理优化算法的函数优化

Rastrigin函数表达式为：

(21)

Rastrigin函数优化问题的真实最优解为x*=(0,0),f(x*)=-2，其三维图如图5所示。从图5可以看出，Rastrigin函数是多峰函数，优化难度较大。

图5 Rastrigin函数三维图

在整个优化过程中，给定初始样本点10个，分别运用本文算法与EI，q-EI(设定q=2)，PI，MP加点准则对Rastrigin函数进行优化，当总样本点为200个时，停止加点。每种方法分别重复运行20次，最终得到其平均收敛曲线如图6所示，纵坐标为绝对误差E，E=|fmin(x)-freal(x)|，其中fmin(x)表示每次迭代样本中的最小值，freal(x)表示真实最小值。从图6可以看出，本文算法得到的曲线E值最小，说明其优化结果精度最高。

图6 不同优化方案的平均收敛曲线

程序满足终止条件后，对每个方案20次优化结果的最小值、平均值、标准差进行计算，并结合所用平均加点次数、优化时间进行对比，如表1所示。从图6和表1中可以看出：(1)MP加点准则优化结果中，虽然最小值最小，但整体优化结果的平均值和标准差较大，此外，平均收敛曲线中绝对误差E较大，因此不具有比较性；(2)在最小值、平均值方面，本文算法比EI，q-EI，PI加点准则的结果要小，因为本文算法包括全局探索和局部探索阶段，通过这2个阶段的自适应切换，实现最优解区域的充分开发；(3)在标准差方面，本文算法的标准差最小，说明算法得到的总体优化结果更好；(4)与EI，q-EI，PI加点准则相比，本文算法在平均加点次数上分别减少了53.16%，6.32%，53.16%，在优化效率上，本文算法的效率最高，分别提高了37.00%，11.61%，37.91%，这是因为EI，PI加点准则每次只添加0～1个新样本点，q-EI加点准则每次添加2个新样本点，而本文算法每次可添加0～3个新样本点，效率得到提升。综上所述，本文算法求解的精度和效率更高，求解问题的有效性更好。

表1 不同优化方案的优化结果

3.2 射雾器叶轮优化

3.2.1 射雾器仿真分析

本文采用NACA4415翼型叶轮，射雾器初始参数如表2所示。

表2 射雾器初始参数

运用Fluent软件进行仿真分析，并通过tecplot处理得到的射雾器射程速度云图如图7所示。只有当风速大于等于2.00 m/s时，射雾器才具有携带雾滴前行的能力[2]。从图7可以看出，射雾器的理论射程为30.629 m。

图7 优化前的射雾器射程速度云图

3.2.2 优化模型

选取b，θ，m，p，w等5个设计变量的-30%～30%作为初始设计空间，以单个叶轮的体积V作为约束条件，以射雾器的射程y为目标函数，得到如下射雾器叶轮优化数学模型：

(22)

3.2.3 优化过程

基于拉丁超立方抽样，对5个设计变量抽取35组样本，并采用Fluent进行数值仿真，部分结果如表3所示。

表3 35组样本数据

根据35组样本数据，建立射雾器射程y的初始kriging代理模型，再运用本文提出的自适应代理优化算法对kriging模型不断优化加点并及时更新kriging模型，经过47次优化，达到终止条件，获得最优解，结果如表4所示。

表4 优化前后射雾器叶轮参数对比

将表4中最优解翼型与原始翼型进行比较，结果如图8所示。

图8 优化前后翼型形状对比

从图8可以看出，优化后的翼型面积减小，通过SolidWorks打开优化后的射雾器三维模型，得到此时单个叶轮的体积V为163.355 cm3，满足约束条件。

将最优解射雾器进行Fluent仿真分析，经tecplot后处理后，得到的射雾器射程速度云图如图9所示。比较图7和图9，优化前射雾器射程为30.629 m，优化后的射雾器射程为38.217 m，射程提高了24.77%。

图9 优化后的射雾器射程速度云图

4 结束语

针对射雾器叶轮结构优化时效率低、精度不高等问题，本文提出一种新的自适应代理优化算法，包括全局探索和局部探索两个阶段，具备全局探索潜在最优区域和局部探索当前最优区域的能力。本文算法的并行加点策略不仅减少了加点的次数，而且有效提高了优化效率和精度，提出的IPI加点准则提高了对极大值区域的搜索能力。在接下来的结构优化过程中，增加对制造工艺约束等影响因素的研究，进一步提升优化结构的整体性能。