爆破振动信号分形维数相关性研究

谢全民

(1.江汉大学 省部共建精细爆破国家重点实验室，武汉 430056；2.江汉大学 爆破工程湖北省重点实验室，武汉 430056)

在工程爆破领域，当炸药在岩土介质中爆炸破碎岩石的同时有一部分能量转化为地震波。爆破地震波在岩土体中传播并引发地表及附近建(构)筑物发生振动。爆破振动信号时域特征、振动信号能量特征提取是进行建(构)筑物振动响应分析的主要内容，是进行爆破振动危害控制、进行爆破振动安全评估、制定爆破振动安全判据等的主要依据[1-2]。

娄建武等[3-5]将分形理论用于爆破振动信号分析研究，并构建了其分形盒维数计算模型。在此基础上，谢全民等[6]再根据爆破振动时频能量谱图三维尺度表征的物理意义，建立了能够描述具有时间-频率尺度特性又能同时充分反映空间曲面起伏特征的长方体覆盖模型，且通过大量的试验数据分析，已充分验证爆破振动时程信号及时频能量谱图均具有分形特征。

在此基础上，进一步深入探究分形维数与爆破地震波物理参数、爆源参数以及场地介质特征等之间相关性，确定爆破振动信号分形维数影响因素的权重分布，对进一步拓宽分形理论在爆炸与冲击动力学领域的应用范围等均具重要研究意义，对优化爆破技术方案设计，实现降震减灾等具有参考价值。

1 爆破振动信号分形维数

20世纪70年代，Mandelbort首次提出分形理论，是一套以分形特征为研究主题的数学理论。

设爆破振动实测信号S∈R2，将曲线覆盖的整个二维平面R×R划分为尽可能小的网格k(σ1×σ2)(k=1,2,3,…表示网格的放大倍数)。图1表示用一个基本步长为k(σ1×σ2)的矩形盒去覆该信号，统计在该尺度下有效覆盖网格数Nkδ。

图1 标度δ下的总盒数Nkδ(k=1，Nkδ=45)

设所有与S相交的网格数为Nkδi，则在矩形盒覆盖的模式下振动曲线盒维数定义为

(1)

爆破振动分形盒维数计算模型中基本步长及无标度区间的确定，参考文献[7]的取值方法。

根据分形理论，曲线的盒维数能够体现出该曲线的复杂程度。对于数字爆破测振信号，其曲线复杂程度可由其频率成分反映出来，频率越高对应信号变化越快，整个信号波形更加充满整个二维平面，盒维数值D越趋近于平面的分形维数值2。可见，盒维数值D可作为反映爆破振动信号中频率成分的一个新特征参量，能够反映振动频率、持续时间等爆破地震波物理参数。

2 爆破振动信号分形维数影响因素分析

由于爆区内场地介质性质、初边界条件具有多变性等特点，导致爆破地震波的震源机理、传播及衰减规律、振动响应机理等均具有较大的复杂性和随机性。爆破振动信号受到爆源特征、炸药性能、场地介质特征等复杂因素的影响。因此能够表征爆破振动信号分形特征的分形维数也受到多因素的综合影响。研究爆破振动产生、传播阶段所有影响因素并不现实，只能选取主要因素进行影响规律分析。对能够用于描述爆破振动非线性特征的分形维数参量时，可通过分析影响爆破效果和作用规律的主要物理参量，包括：

(1)描述爆源特征的几何参量——台阶高度、孔径、孔深、孔距、排距、最小抵抗线、装药长度、填塞长度、药包直径、雷管段数、测点至爆源距离等；

(2)描述炸药性能的物理参量——炸药密度、爆速、总药量、段药量、单孔药量、比能等；

(3)描述场地介质特征物理参量——岩土介质密度、纵波速度、弹性模量、剪切模量、泊松比等；

(4)描述重力场的物理量——重力加速度。

3 爆破振动信号分形维数的量纲分析

3.1 量纲分析基本理论

量纲用于表征各类物理量类别的标志，如密度、速度、时间和力等，是物理量的固有属性和本质特征的反映[8]。在工程力学中，常用长度、时间、质量等3个基本量纲，其量纲分别用[L]，[T]和[M]。其他物理量[X]的量纲都可以用它们的幂次乘积来表示

[X]=[M]α[L]β[T]γ

(2)

π定理：设某物理量问题涉及n个物理量p1,p2,…,pn，而我们所选的单位制中有m个物理量(n>m)，则由此可组成n-m个无量纲的量π1,π2,…,πn-m。在物理量p1,p2,…,pn之间存在的函数关系式

f(p1,p2,…,pn)=0

(3)

可表达成相应的无量纲形式

F(π1,π2,…,πn-m)=0

(4)

或者从式(4)把π1解出来

π1=φ(π2,π3,…,πn-m)

(5)

3.2 基于量纲理论的分形维数分析

爆破振动效应研究中，主要涉及的研究对象是爆源因素和场地介质特征，其相关物理量的量纲如表1所示。

表1 爆破振动效应中的主要物理量及量纲

可以认为炸药描述爆破振动效应的无量纲参量爆破振动信号的分形维数受到23个物理量的影响。爆破振动信号的分形维数D可以表示为

D=φ(ρe,De,Qz,Qd,Qk,e,H,W,φ,L,a,b,h1,h0,d0,n,ρr,cp,E,G,μ,R,g)

(6)

描述该问题的物理量总数n=23。根据π定理，其中独立量纲取为Qd，R，cp，所以独立量纲数m=3，于是n-m=23-3=20。以π代表无量纲量，则有

(7)

式中，α，β，γ为待定系数。由于π是无量纲量，根据量纲齐次定理，可知分子分母的量纲应该相等，由此可得

0=(M)α(L)β(LT-1)γ

(8)

(9)

于是可得

(10)

类似的有

(11)

由此可得

ML-3=(M)α(L)β(LT-1)γ

(12)

(13)

于是可得

(14)

依据同样的方法，可以解得

(15)

将式(7)～式(15)代入函数式(6)可得

(16)

4 爆破振动信号分形维数相关性分析

4.1 与爆源特征参数相关性

设s为爆破振动响应函数，G为脉冲响应函数，H为岩土体的等效滤波函数，f(t)代表时间函数，则一种爆炸荷载等效模型可表示为[9]

s=G*H*f

(17)

当f(t)持续时间≪s主频周期时有

(18)

利用卷积的结合率就有

s=If·G*H

(19)

从式(19)可知，爆破振动响应s是由震源作用冲量If和岩土体等效滤波器H共同影响所决定。

基于爆炸动力学知识，并结合爆破振动信号分形维数影响因素分析可知

If=f1(ρe,D,Qz,Qd,Qk,e,H,φ,W,L,a,b,h1,h0,d0,n)

(20)

从式(20)并结合岩土介质中炸药爆炸的能量产生及释放过程可知，炸药爆炸后的震源作用冲量If受炸药性能(炸药密度、爆速、总药量、段药量、单孔药量、比能等)及爆源因素(台阶高度、最小抵抗线、孔深、孔径、孔距、排距、装药长度、填塞长度、药包直径、雷管段数、测点至爆源的距离等)的共同影响。

通过式(17)～式(20)，从能量产生及传播过程定性描述了爆破振动信号分形维数与爆源特征参数之间的相关性，明确了影响爆破振动信号分形维数中爆源参数的主要因素。

4.2 与场地介质特征相关性

基于岩石分形理论，在岩土体内分布的节理、裂隙具有分形结构。在这种分形结构分布序列中还包含更多不同层次的节理裂隙。在大节理裂隙中包含着许多更小的节理裂隙，在这些小节理裂隙中又包含有分形分布韵律。由此看来，岩石成为了多层次的既随机又自相似的嵌套结构体系。

爆破地震波在岩体这类复杂介质中传播时，在不同层次介质结构内经过若干次反射、折射，与岩体结构发生相互作用，可视为爆破地震波通过了一系列特殊的带通或带阻滤波器。爆破振动信号中包含了地质结构各方面的信息，呈现出很强的非线性性质。这表明爆破振动信号的分形特性与所经历的场地介质特性存在着密切联系，是岩土体复杂的动力响应。因此，爆破振动信号分形维数值中蕴含有能反映场地介质结构特征和物理力学参数特征的重要信息。

根据上述分析，可建立爆破地震波分形盒维数D与场地介质结构特征参数u及物理参数v有如下关系

D=D(u,v)

(21)

由第2章中爆破振动信号分形维数影响因素分析可知

u=f2(ρr,cp,E,G,μ)

(22)

v=f3(R,g)

(23)

由式(21)可知，爆破振动信号的分形维数D受描述场地介质结构的重要特征参数u及物理参数v的共同影响。由式(21)～式(23)可知，研究炸药在岩土介质中产生的爆破振动作用受场地介质的主要特征参数u(岩土介质密度、纵波速度、弹性模量、剪切模量、泊松比等)及主要物理参数v(测点至爆源距离、重力加速度等)等综合因素的影响。

从爆破振动在岩土体中传播时所受岩土介质阻尼作用的影响所起到的频率滤波和振幅削减作用，同时综合式(17)～式(19)及式(21)～式(23)的定性分析结果可知，爆破振动信号分形维数所受地质结构的滤波作用可由表征场地介质结构的特征参数及物理参数的主要因素来进行描述。

5 爆破振动信号分形维数影响因素权重

考虑爆破振动产生及传播过程的复杂性、非线性、参数多样性等情况，爆破振动作用机制尚难以采用函数进行精确描述。爆破振动信号分形维数主要影响因素及权重分布属于典型的“黑盒问题”。结合神经网络在处理非线性领域中复杂科学问题的优势，可基于BP神经网络对爆破振动实测信号进行样本训练和精度校验。

基于BP神经网络，进行爆破振动信号分形维数预报的主要步骤，如图2所示。

图2 基于BP网络预报主要流程

在此基础上，再通过如下方法得到爆破振动分形维数主要影响因素的权重分布：

(1)计算各个主要影响因素所对应的输入层与所有隐层单元的连接权系数的绝对值和|Wn|；

(2)各影响因素对应权值的计算公式如式(24)所示

(24)

采用文献[10]中建立及训练成熟的BP网络模型，按照上述步骤分别计算该工况下爆破振动信号分形维数主要影响因素的权重，计算结果图3所示。水平距离影响权重最大占19.9%，孔深的影响权重最小占1.98%，精度满足工程应用要求。

图3 分维数影响因素权重分布

考虑到同一施工场地，爆破振动测试过程中采用相同种类的炸药，由于场地介质不发生变化，因此岩土介质密度、纵波速度、弹性模量等描述场地介质特征等物理参量以及描述炸药性质的物理参量均未考虑在该模型中。若需要研究不同爆破区域、不同炸药种类或装药结构发生变化等情况下(此时描述场地特征、炸药特征的主要物理参量可能发生一定变化)，通过进一步完善和扩大该BP网络模型中的输入参量种类和个数，按照上述算法，仍可得到爆破振动信号分形维数影响因素的权重分布。

6 结 论

(1)基于爆炸动力学和量纲分析理论可知，爆破振动信号分形维数受地质结构的滤波作用，可由表征场地介质结构的特征参数及物理参数的主要因素来进行定性描述。

(2)通过建立BP神经网络，实现该爆破振动分形维数预报的同时获取到了各主要影响因素的权重分布，预报精度和影响因素的权重分布均可满足工程应用要求。