不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3) 的正整数解研究
2021-12-02王润青
王润青
(西南大学 数学与统计学院,重庆 400715)
不定方程也被称为丢番图方程,是数论中的一个重要分支,很多学者研究了形如
px(x+1)(x+2)(x+3)=qy(y+1)(y+2)(y+3)p,q∈Z+
(1)
这类方程的整数解,特别是正整数解.1971年Cohn[1]证明了当p=1,q=2时,不定方程只有一组正整数解(x,y)=(5,4);1975年Ponnudurai[2]证明了当p=1,q=3时,不定方程有两组正整数解(x,y)=(2,3),(5,7);1991年罗明[3]证明了当p=1,q=7时,不定方程只有一组正整数解(x,y)=(4,2);2017年孙浩久[4]证明了当p=3,q=14时,不定方程只有正整数解(x,y)=(5,3);以及其他更多重要结论(详见[5],[6],[7],[8]).
文中主要运用Pell方程,递推序列,平方(非)剩余等初等方法证明不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)仅有唯一正整数解(x,y)=(10,8),并给出所有整数解.
先将
6x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3),
(2)
化为
[6(x2+3x+1)]2-78(y2+3y+1)2=-42.
(3)
方程x2-78y2=-42的全部整数解可由以下两个结合类给出:
(2y+3)2=4yn+5,
(4)
(2y+3)2=-4yn+5.
(5)
又因为yn≥-1,故(4)(5)中的yn满足下式:
因此可推出下列关系式:
yn+1=106yn-yn-1,y0=1,y1=89.
(6)
un+1=106un-un-1,u0=1,u1=53,
(7)
vn+1=106vn-vn-1,v0=0,v1=6,
(8)
(9)
yn=un+6vn,
(10)
un+2h≡-un(moduh),vn+2h≡-vn(moduh),
(11)
yn+2h≡-yn(moduh).
(12)
接下来证明(4)当且仅当n=0,1时成立,(5)当且仅当n=0时成立,从而得到(2)的全部整数解.
1 (2y+3)2=4yn+5
本小节主要讨论(2y+3)2=4yn+5为完全平方数时n的情况.
引理1设2|n,则
证因为2|n,由(8),(9)可知
un≡1(mod 2),un≡1(mod 4),4y2n+5≡4(u2n+6v2n)+5≡24v2n+5(modu2n) .
由(9)式可知
引理2设n≡0(mod 8×3)且n>0,则(4)不成立.
证令n=2·k·3·2t,2k,t≥1.
对{5un±24vn}取mod 421,得到2个剩余序列周期均为15;对{2t}取mod 15,得到剩余序列周期为4.
对k分2种情况进行讨论:
(1)k≡1(mod 4)时,令
则有下表
表1 k≡1(mod 4) 的情况
(2)k≡-1(mod 4)时,令
则有下表
表2 k≡-1(mod 4) 的情况
引理3设n≡1(mod 8×3)且n>1,则(4)不成立.
证令n=1+2·m·3r,r≥0,3|m,4|m.则m≡±12,±24(mod 60).
由(12),4yn+5≡-4y1+5≡-351(modum).2|m时,um≡1(mod 4),得
对{um}取mod 351,得到周期为350的序列,对{3r}取mod 350, 得到周期为60的序列.
则m>0 即n>1 时(4)不成立.证毕.
推论1设n≡0,1(mod 8×3)且n>1,则(4)不成立.
引理4若(4)成立,则n≡0,1(mod 8×3).
证采用对{4yn+5}取模的方法进行证明,分为2步:
第1步 先证n≡0,1,6(mod12).
取mod 53,排除n≡3(mod 4),此时4yn+5≡20(mod 53),剩n≡0,1,2(mod 4).以上的mod 53是对序列{4yn+5}取的,mod 4是其剩余序列的周期为4,第3句是排除的理由:均为mod 53的平方非剩余.为了表述方便,后面都这样叙述.取mod 47,排除n≡2,3,4,5,9,11(mod 12),剩n≡0,1,6,7,8,10(mod 12).取mod 239,排除n≡2,4,8,9,10,11(mod 12),剩n≡0,1,3,5,6,7(mod 12).所以n≡0,1,6(mod 12).
第2步 证n≡0,1(mod 24).
根据第1步有n≡0,1,6,18(mod 24).取mod 41,137,排除n≡0,1,4,5,7(mod 8),则n≡0,1(mod 24).证毕.
2 (2y+3)2=-4yn+5
引理5设n≡0(mod 8×3),且n>0,则(5)不成立.
证由(5)式知(2y+3)2=-4yn+5>0,由(6)式知当n≠0时,yn>1,从而负数不可能是完全平方数.当n=0时,y0=1,即-4yn+5=12.结论成立.
3 结语
定理1不定方程
x2-78(y2+3y+1)2=-42
(13)
的全部整数解是:(±x,y)=(6,0),(6,-1),(6,-2),(6,-3),(786,-11),(786,8).
证由引理2、引理3、引理4知,若(4)成立,则n=0,1,所以y=-11,-3,0,8.由引理5知,若(5)成立,则n=0,y=-1,-2.从而可以得到(13)的八组解.
定理2不定方程
6x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)
(14)
的正整数解仅有(x,y)=(10,8).
证由定理1,则解出6(x2+3x+1)=±6,±786,即x2+3x+13=±1,±131,x=-13,-3,-2, -1,0,10.可得到(14)的全部整数解:(-3,-3),(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-2,-3),(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-1,-3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-13,-11),(-13,8),(10,-11),(10,8).其中,正整数解只有(x,y)=(10,8).