HPM视野下数学分析课程教学的探索

王和香, 张四保

(喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844008)

数学分析是以函数为研究对象，利用极限方法来研究微积分学和无穷级数一般理论及其理论基础(实数、函数和极限的基本理论)的重要数学基础分支，也是高等院校数学专业的一门主干课程，为进一步学习概率论、微分方程、实变函数和复变函数等后继课程奠定坚实基础。它内容丰富、逻辑缜密，为让大学新生顺利完成从常量数学到变量数学的转变，数学分析课程肩负着连接初等数学与现代数学的桥梁之重任。因此，对于任课教师来说，如何提高数学分析教学质量显得尤为重要。

History and Pedagogy of Mathematics(数学史与数学教育)，简称HPM，成立于1972年第二届国际数学教育大会(ICME-2)，原指研究数学史与数学关系国际领导小组这一团体，现多指该团体的研究对象——数学史与数学教育之间的关系[1]。HPM先驱者、美国著名数学史家卡约黎指出，通过历史的解说，教师可以让学生明白：数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科[2]。我国老一辈数学家余介石在《数之意义》一书中主张：“历史之于教学，不仅在名师大家之遗言轶事，足生后学高山仰止之思，收闻风兴起之效。更可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序，如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”[2]65

如今，众多教育工作者将HPM大量的应用到初、高中的数学课堂教学实践中，教学案例硕果累累。例如，HPM视角下，吴佐慧等人研究了基本不等式教学[3]；潘金城给出了正切概念教学案例[4]；王芳等人先后给出了导数几何意义[5]和导数应用[6]的教学案例等等。与此同时，HPM与大学数学教育的研究也逐渐成为高校教育工作者的研究热点，2019年5月在上海召开的第八届全国数学史与数学教育数学研讨会中，还专门作了“HPM与大学数学教育”的分组报告[7]，这些都使得HPM为优化大学数学教育提供新的借鉴。

1 HPM视野下的数学分析课堂教学实践

结合近几年来的数学分析课程教学实践，首先给出基于HPM视野下的课程教学实践流程图(图1)。

图1 实践教学流程图

1.1 在课程导入环节加入数学史

如果教师在讲授新课时巧妙地将与课程知识有关的数学史以及数学家成长历程等有机地融于课堂教学中，带领学生重回历史年代，了解数学理论的创作背景，不但可以增加课堂教学的知识性与趣味性，激发学生的学习兴趣，还可以引起学生和知识点之间的共鸣，将冰冷的知识点赋以历史的温度，感受在特定的时代背景下数学思想的诞生，潜移默化地使学生产生一种“火热的思考”。例如在讲授函数项级数时，判断函数项级数一致收敛问题是数学分析中的一个重难点，之后要学习的连续函数项级数的逐项积分和微分定理也是在函数一致收敛的条件下完成的。而魏尔斯特拉斯判别法(也称M判别法或优级数判别法)则是最常用的方法之一，它需要恰当放大un(x)，以便找到合适的Mn，即：

定理[8](魏尔斯特拉斯判别法) 设函数项级数∑un(x)定义在数集D上，∑Mn为收敛的正项级数，若对一切x∈D有|un(x)|≤Mn,n=1,2,…，则函数项级数∑un(x)在D上一致收敛。

为加深学生对魏尔斯特拉斯判别法的理解，在讲课之前，先为学生介绍一致收敛性这个概念的创造者、“现代分析之父”——魏尔斯特拉斯，同时借助课程内容将课程思政融入教学环节。

在分析严格化这一历程中，魏尔斯特拉斯用精密的“ε-δ”重新定义了极限、连续和导数等概念，通过引进一致收敛性而消除了微积分中不断出现的各种异议，也由此使他获得了“现代分析之父”的称号。魏尔斯特拉斯在乡村中学教书时，没有好的图书馆，没有可与其进行学术探讨的同事，无力订阅期刊，即使在如此恶劣条件下，他始终坚持研究阿贝尔函数，取得了重要的科研成果《阿贝尔函数理论》。魏尔斯特拉斯以其精湛的数学研究、杰出的数学教育和伟大的精神品格，赢得了世人的尊敬和推崇，在数学史上留下了光辉的一页。

1.2 在讲授新知环节加入数学史

将与本节内容相关的数学史作为本节课程的内容主题，以讲授新知的方式进行课堂教学。例如讲授导数的定义。在华中师范大学版本的《数学分析》[8]中，第五章导数与微分是先讲导数再讲微分，而学生学完后，对导数和微分的理解总是模棱两可。其实，历史上微分的发现早于导数，因此，我们以史为鉴，通过重构导数定义的历史，让学生经历导数定义的发生(为解决实际问题产生导数)、发展(运用导数发现微积分)和严格化(ε-δ重新定义)的过程，加深学生对导数及微分概念的理解，在此基础上，培养学生善于思考、善于发现问题的能力。

图2 曲线围成图形面积

17世纪，牛顿和莱布尼兹在无限小的基础上独自创立了微积分，在解决曲线围成图形的面积的时候确定了导数的定义。当时人们已经知道在求解曲线围成图形的面积时，利用无穷小量的思想，将其分割、近似、求和、取极限(图2)。分割得越细致，近似值就越精确。可是在具体计算曲边图形的面积时，就遇到了曲线的切线问题。当时关于切线已经有了比较成熟的结论。阿基米德最先给出切线的静态定义：不通过曲线且与其只有一个焦点的直线。随后数学科学家又给出了切线的动态定义：割线的极限位置。

图3 莱布尼兹定义的导数

牛顿计算导数的方法和莱布尼兹类似，只不过是用ο代替了dx，用假设ο很小来说明近似程度很高，当ο变成任意小时，误差消失。

牛顿和莱布尼兹对导数的定义引起了人们的质疑，他们提出两个疑问，一是从切线的定义来看，曲线上a和b两点之间的横坐标相距dx(尽管很小，但始终存在)，这就说明切线与曲线的交点不唯一，这与切线的定义相矛盾。二是从形式上看(这里以x3的导数为例)，

历史证明，人们的质疑是正确的。直到200年后，人们才找到对于这种质疑的合理答案，先是由柯西给出了导数的清晰定义，即差商的极限，而最终是由威尔斯特拉利用ε-δ语言彻底扫清了关于无穷小的混乱概念，才有了现在所熟知的用极限定义的导数，即

图4 严格意义下导数约定义

数学概念是以定义的形式来揭露其本质特征的，而掌握数学概念最贴切的方法无疑是了解概念产生的历史及发展过程。在教学中融入数学史，再现导数的产生、应用及严格化过程，让学生系统全面地掌握导数的定义及导数与微分之间的关系，领会微分的基本思想——在局部条件下用直线去近似替代曲线。牛顿和莱布尼兹给出了导数的定义，虽然因认识不足，在概念上没有找到一个严谨的逻辑基础，但二人却为微积分的发展指明了一条正确的道路。在日常学习中，我们可能也会遇到一两个拦路虎，定理花了2 h都推导不出来，公式概念看了很多遍还是理解不清，课后习题无从下笔等等，此时我们或许可以把问题暂时放在一边，先去完成其他任务，等过一段时间再回过头来看可能会有新的发现。生活也如此，不能因为各种借口而怠慢学习，要学会调节自己的心态，始终保持积极、向上的学习、生活态度。

1.3 在课堂小结环节加入数学史

2 结语

将数学史融入数学分析课堂教学，可以将冰冷僵硬的数学概念、定理赋予历史的温度，感受在特定的时代背景下，众多数学家伟大思想的诞生，让学生在数学史中学习有温度的数学分析。笔者只是给出几个与数学分析课程内容有关的数学史。要知道，在数学分析课程内容中还存在着大量的值得我们任课教师去深入思考与挖掘的数学史料。因为在一定程度上，基于HPM视野进行课程教学有助于提高课程教学效果与质量，同时也可基于HPM视野深入挖掘课程思政元素，以到达课程思政育人的目标。