关于β-凸函数若干性质的探讨

刘和英

(合肥科技职业学院 基础部，合肥 230000)

上世纪60年代中期诞生了一门新的数学分支——凸分析，它以凸集和凸函数为基本研究对象，在纯粹数学与应用数学的众多领域具有广泛的作用。但是凸分析的局限性也很明显, 实际问题中的大量函数是非凸的, 因此，人们从多种途径推广了凸函数的定义, 提出了许多广义凸性的概念和理论, 现在已经成为数学规划论和最优化理论等重要的理论基础和有力工具。1978年，Breckoner[1]给出了S-凸函数的概念, Hudzik等[2]中得出了S-凸函数的若干重要性质。显然，当S=1时，S-凸函数就是我们通常的凸函数。1985年Godunova等[3]首先给出了 Godunova-Levin 函数的定义，我们容易知道非负单调函数和非负凸函数都是它的一种特殊情况。1995年，Dragomir等[4]定义并探讨了P-函数。通过对以上S-凸函数、Godunova-Levin函数、P-函数等这些函数的研究，2007年Varošanec[5]得到了一种统一的新函数类, 称为h- 凸函数, 并且探讨了h- 凸函数的许多重要性质。受到[5]的启发, 我们主要研究了一般实线性空间中β- 凸集, 以及在它上面定义的β-凸函数,显然从定义可以看出β-凸函数是与h- 凸函数不同的一种凸函数,因此我们可以考虑将h-凸函数的一些性质推广到β-凸函数。

定义1 如果对任意的x,y∈K, 对任意的λ,μ∈[0,1]且λβ+μβ=1, 其中，0 < β ≤ 1,有λx+μy∈K, 则称K为β- 凸集。特别地，当 β= 1时，K为凸集。

定义2 设E是实线性空间，K⊆E，若M是包含K的最小的β- 凸集,则称M 是K的β- 凸包,记作M=convβK。令(xn)n∈N是K 中的任意点列,则有：

定义3 设E是实线性空间，K是E中的β- 凸集, 如果对任意的x,y∈K,对任意的λ,μ∈[0,1]且λβ+μβ=1, 其中0 <β≤ 1。都有：f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y)。

则称f是β-凸函数。特别地, 当β= 1时,f为凸函数。

1 主要结果

定理1 设E是实线性空间，K是E中的β- 凸集,f是K上的β-凸函数且f(0)=0。若对任意的x,y∈K, 对任意的λ,μ∈[0,1],使得λβ+μβ≤1 其中0<β≤1，都有：

f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y)。

证明：对任意的x,y∈K, 对任意的λ,μ∈[0,1],当λβ+μβ=1时显然成立。

显然a,b∈[0,1]且aβ+bβ=1，因此我们有：

使得λβ+μβ≤1 其中0<β≤1，都有f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y) ，则f(0)=0。

证明：不妨设f(0)≠0，则有f(0)>0。令x=y=0，从而有：

定理 2 设E是实线性空间，K是E中的有限子集。若M=convβK，且f是M上的β-凸函数，则有supf(M)=maxf(K)。

证明：我们令：

根据f的β-凸性，可得：

因此，根据定义2我们有：

从而有 supf(M)=maxf(K) 成立。

定 理 3 设E是实线性空间，f是E上的β-凸函数，

我们令ω1,ω2,…,ωn∈[0,1]与x1,x2,…,xn∈E。

证明：当n=2时，我们不妨设：

从而有λβ+μβ=1，显然不等式成立。假设 n-1 时不等式亦成立，下面来证明对(ω1,ω2,…,ωn)与(x1,x2,…,xn)的凸组合不等式仍然成立。我们有：

注：显然当 β= 1时, 此不等式就是凸函数的典型的Jensen-型不等式。在文[6]中的Godunova-Levin 函数得到了与此类似的结果。下面令K是有限非空的正整数集合，我们定义一个指标集的函数F如下：

推论2 设E是实线性空间，f是E上的β-凸函数，若M，K是有限非空的正整数集，且M∩K=∅，则对∀ωi>0,xi∈E(i∈M∪K)，都有F(M∪K)≤F(M)+F(K)。

证明：我们令：

不妨设：

显然满足λβ+μβ=1， 又由f是E上的β-凸函数，可得：

因此，我们有下面的不等式：

可得：

显然对∀ωi>0,xi∈E(i∈M∪K)，都有F(M∪K)≤F(M)+F(K)成立。