培养高中生数学高阶思维能力的实践探索

王莺

（福清华侨中学，福建 福州 350300）

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》提出“发展学生数学学科核心素养”的理念，凝练了课程改革十余年的成功经验，是对数学课程三维目标的传承与创新。随着福建省高中数学新课程改革的深入实施和新教材的正式启用，高中数学教师正尽力转变个人的教学方式，努力探索有益于学生数学核心素养发展的课堂教学方法。在这个过程中，不同的教师会有各自不同的实践探索，生成各自不同的教学体会。

在近年的教学中，笔者越来越深刻地认识到，发展学生数学学科核心素养，必须重在发展学生的数学思维素养，而培养学生的数学高阶思维能力则是此教学过程的重中之重。一般认为，高阶思维是发生在较高认知层次上的心智认知活动方式。高阶思维概念的内涵与外延有不同界定，但大都包括有批判性思维能力、问题求解能力、创造性思维能力和决策能力等。［1］在学生进行数学问题的发现与解决过程中，都需要进行深度思考，实现低阶思维到高阶思维的跃迁，方可把握问题实质突破思维屏障。数学高阶思维的发生与核心素养发展可相互促进。［2］

综合国内外相关研究与新课程教学目标取向，归纳高中数学学科学习与研究的思维特征，笔者认为，培养高中生数学高阶思维能力，主要是要培养学生的探究创新、批判质疑、直观想象、问题解决等能力。［3］本文针对高中生数学高阶思维能力培养的教学路径问题进行论述。

一、注重生成提高探究与创新能力

由于高考注重考查的是学生解决数学问题的能力，在实际教学中，大部分教师也会将教学的重点迁移到数学习题教学，通过布置较大量的练习对学生的解题能力进行强化训练，在数学概念与命题教学中，往往只是用很短的课时给出定义、公式和定理让学生记忆并模仿题型解题方法，这样的教学过程大都忽略了数学知识的生成教学过程，培养的是一些表面上看可适于应试的低阶思维。发展学生的数学核心素养与高阶思维，需要教师积极开展探究示范教学展现知识生成过程，或引导学生通过动手实践、自主探索与合作交流等理解知识的发现过程，从而培养学生的探究创新等高阶思维能力。

知识的论证过程，可展现知识间的逻辑联系，发现与探索知识的过程，才可展现知识间的生成关系。学生了解了知识间的生成关系后，其知识系统愈加丰富、牢固，在面对一个数学问题时，就越容易理解问题实质，并提取、运用与之相关的已学知识经验，通过分析与综合进行高阶思维活动。数学知识系统具有基础性、联结性与结构性，如果不注重展现或研究知识的生成过程，学生就难以深入理解数学并很好地进行知识的储存和检索，在面对一个复杂问题时不能快速提取有用知识，导致信息获取受阻，就无法进行较高层次的思维活动。

知识的生成教学过程往往会占用比较多的教学课时，在教学用时紧张的情况下，教师可采用探究示范教学，由教师通过有意义的讲授，揭示知识的前因后果、来龙去脉，同样可以收到较好的效果。在教学用时较宽裕的情况下，为了提高学生的数学学习的自主性与学习兴趣，教师可以根据课程教学需求大胆采用一些新颖的教学方式。笔者就曾经在数学课堂上采用“沙龙”的方式开展过探究式教学活动。引进数学沙龙，主要目的是促进学生学会学习，自主探究、合作交流，搭建教学互动的平台。

数学知识、方法与经验的生成性教学过程，是涵育数学核心素养培育探究创新高阶思维能力的主要环节。数学探究与数学建模活动是高中数学新课程的一条主线，其内容与过程实际上也是数学方法与经验的生成教学。我们也可以通过“沙龙”的方式组织开展数学建模活动和数学探究活动。在“沙龙”活动中，学生可就共同感兴趣的数学课题聚在一起，共同探索，互相借鉴，取长补短，共同提高。其间，教师可对活动进行必要的指导，根据学生的意愿、兴趣和水平优化组合，分成若干小组，其活动程序如下：1.发挥学生主体作用，教师与学生组长商定开展活动的时间、地点及方式；2.教师与学生商定若干个数学沙龙活动的课题，如：课题一，测量学校内、外建筑物的高度，体验教学建模活动的过程；课题二，采用新版课标中的案例11《正方体截面的探究》，引导学生完成探索、发现、证明新问题的过程，积累数学探究的经验；课题三，组织学生到某房地产售楼中心参观，帮助购房客户搜集一些住房信息，运用数列知识制定可供选择的最佳购房方案；3.根据课题的要求，可从图书馆、网络、生活调查等渠道，还可咨询有关机构，搜集所需资料并整理材料，积极准备在小组活动中发言、交流、展示；4.各组把数学沙龙活动的成果汇编成册，分发给全班同学阅读，有利于优势互补，相互促进。

从以上活动程序可以看出，沙龙活动十分有利于高中数学新课程中的“数学建模或数学探究”活动的开展，从准备材料到发言交流，经历了文献查找，资料阅读，调查研究等环节，不仅让学生体验了许多知识与方法的生成过程，也调动了学生数学学习的积极性、趣味性，让学生在建模和探究活动中丰富了实践经验，增强了创新的意识与能力，从而使学生的数学核心素养与探究创新等高阶思维得以同步的发展和提升。

二、技术辅助发展直觉与想象能力

所谓直觉，意思指直观感觉，或没有经过分析推理的观点；所谓想象，是指人脑将储存的表象改造成新形象的心理过程。数学直觉是比抽象的理性更基本、也是更可靠的认识数学的方式。善于发挥数学直觉与数学想象的人，才能善于进行数学的发现与创造。爱因斯坦认为：想象力比知识更重要。马克思则将想象力视为十分强烈的促进人类发展的伟大天赋。著名数学家希尔伯特认为，在数学学习与研究的过程中，直觉与想象都是不可或缺的重要心智过程。基于当代脑科学和众多学习心理学的研究成果，将直觉与想象能力视为数学高阶思维，有充分的数学史实证据与科学道理。

信息化与人工智能时代，高科技在教学中的广泛应用对数学教育产生重大影响。在日常数学教学中，信息技术可以改变教与学的内容与方式，也可以帮助教师创设唯美的数学教学情景，通过生动精确的画面展现数学概念知识的直观形象，通过动态的演示让学生直观观测实验现象，猜测数学结论，从而更有利于学生数学想象力的正常发挥与培养。直观想象作为高中数学核心素养之一，主要表现为建立数形联系，用几何图形展现问题，以几何直观理解问题，用空间想象认识事物。笔者认为，在高中数学教师中，数学教师可视具体情况利用多媒体和数学软件等信息技术，引导学生在数学试验中认真观察大胆猜想，不仅可以培养学生的直观与想象能力，还可以很好地增强学习乐趣。

以空间几何体的直观图和三视图的教学为例，教师首先创设问题：学习了平行投影之后，大家知道把一个空间几何体投影到一个平面上获得一个平面图形，然而一个平面图形难以反映整个几何体的全貌，应该怎么投影才能把握几何体的形状与大小呢？启发学生从多角度观察几何体。

接着，教师利用多媒体信息技术，以长方体为例，用动画展示，引导学生从正面、左面、上面看几何长方体（如图1）。由此提出问题，同学们看出什么投影图呢？引导学生思考，学生们凭借动画变幻、线条闪烁、形象直观理解了三视图的概念。要求学生“看”图形其实就是要学生“想象”。通过屏幕上展示图2，再提出问题：根据所展示四种几何体的三视图，你能想象出它们对应的几何体的吗？随着问题的提出，学生思维活跃起来，异口同声说出对应的几何体。

图1

图2

在高中数学教学中运用信息技术与数学课程深度融合，在创设情境、空间几何、处理繁杂的计算，呈现以往教学中难以呈现的教学内容等方面发挥了独特的作用。正如新版课标所列举的：利用计算机展示函数图象、几何图形运动变化过程；利用计算机探究算法，绘制合适的统计图表；利用计算机随机模拟结果等方面达到良好的效果。例如，课标中提到了“指数爆炸”这个名词，那么如何感知和理解“指数爆炸”的含义呢？如果局限于纸笔运算，学生只能够计算整数底数的某些幂。如果借助计算机进行作图，那其含义的理解就会进一步加深了。笔者要求学生利用计算机作图工具，画出y=2x，y=xm，y=x0.25，y=log2x的函数图象，通过比较这四个图象，分析其函数增长的特性。特别是当x 值比较大的时候，直观感知这四个函数值的差异。接着让学生利用计算机画出y=1.01x与y=x10的图象、y=x0.1与y=lgx图象，并且两两进行比较，学生会进一步猜想，借助计算机进行辅助教学，能够使学生体会指数函数、幂函数、对数函数增长速度的差异及其这三种函数的变化趋势。学生经过图形建立直观猜想、计算验证结论的思维与操作过程，有利于提升学生的直观想象和逻辑推理素养。

由于学生的数学直觉与想象能力参差不齐，利用多媒体与数学软件等信息技术作为课堂教学手段，一方面可以弥补后进生数学直觉与想象能力的欠缺，另一方面也可以激发优等生的数学直觉与想象力潜能。［4］需要注意的是，在教学过程中教师应视教学内容与思维难度决定是否需要运用信息技术，如果课程内容已相当直白，或者运用了信息技术就将问题结论揭示无遗，减少了学生数学思维的量与度，那就要少用或者不用。

三、创境设疑培养质疑与批判能力

当代思维心理学认为，高阶思维是一个人高阶能力的核心，主要指创新能力、问题求解能力、决策力和批判性思维能力，其中，批判性思维是指通过一定的标准去评价思维，进而改善思维，它是一种合理的、反思性的思维，也是一种思维的技能与倾向。批判性思维的起源可追溯到苏格拉底，在现代社会，它已被普遍确立为教育特别是高等教育的重要目标之一。批判性思维的概念内涵侧重于一个人的思维技能、思想态度和科学精神，不存在学科边界，所有涉及智力或想象的论题都可从批判性思维的角度进行考查。在高中数学教学中，培养学生的批判性思维能力，主要是要培养学生的问题意识、质疑意识与反思批判能力，对更高维度的理性思维与科学精神的培育有重要作用。

在高中数学教学中培养学生高阶思维中的批判性思维，应把握数学课程内容的本质，创设恰当的数学问题情境，设置合适的数学问题，引发学生质疑与反思、交流。“学起于思，思源于疑”，新课程特别强调问题在教学活动中的重要性，指出问题是诱发和激起求知欲的动力，反之，没有问题，学生不可能去深入思考，更不可能激发学生的求异思维和创新思维。心理学研究表明，思维通常由问题情境产生的，原因在于问题是新的学习需求和已有的知识能力之间的矛盾，这种矛盾是激发学生思维最直接的因素。数学问题从何而来呢？它是在数学课堂教学中教师有意识地创设情境，让学生陶醉在情境中产生强烈的好奇心，使问题油然而生。

创设可引发学生质疑反思的思辨型问题情境，可以让学生运用所学数学知识对某个命题、结论或观点进行有依据的判断、辨析与评价。日常教学中的教材知识都是完整无误的，问题的答案也都是正确甚至唯一的，很难引发学生质疑、反思与批判，因此，在教学中设置思辨型或一些疑难问题情境，让学生在自主探索与合作交流中结合个人的知识经验，提出疑问，深入反思，才能增强批判思维能力。更广泛地看，培养学生的批判性思维能力，还需要让学生学会质疑教材、质疑老师、质疑试题与习题等。实际上，可以创境设疑的教学环节是大量存在的，如在基本不等式的公式应用教学中，设置一些需要正反辨析运用的问题，让学生明确“一定、二正、三相等”的真实含义，亦可让学生在反思与质疑中深化理解，很好地培养批判思维能力。

以《向量加法运算及其几何意义》的教学为例，笔者在开课时播放了一段《西游记》的故事视频：唐僧师徒四人在西天取经路上行走，孙悟空到前方探路时被一块大石头挡住了去路，来回跳跃用尽办法都无法挪动半分，等八戒、沙僧到时才一起搬走这个大石头。故事很简单，但班级学生却兴趣盎然。笔者问为什么三个人就可以搬走大石头？学生异口同声地回答：人多力量大呗。笔者抓住这个培养学生反思质疑能力的机会，反问道：人多就一定力量大吗？同学们乍听之下稍有发愣，然后就开始对这个问题进行交流讨论。有学生指出，人多不一定力量大，有时候反而会更小。比如，两个人在搬同一个物体时，用了相同的力但方向相反，就会相互抵消；有学生指出，人多不一定力量大，比如，三个和尚没水喝，三个臭皮匠才抵得上一个诸葛亮。学生对问题的思考有很多不同的思路，经过笔者引导，大部分同学最终都明白了这个道理：在进行力合成计算时要同时关注它们的大小与方向，向量的加法与数量的加法是完全不一样的。

在数学教学中，教师结合教学内容都不难设计出一个合适的教学情境，提出一些可以培养学生反思质疑能力的挑战性问题，引导学生反思、质疑与辨析，通过师生交流互动，有效提高批判思维能力。批判性思维在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中有着重要作用，在学生数学高阶思维能力培养与数学核心素养发展过程中，同样也是不可或缺的一个方面。

四、结语

高阶思维能力集中体现了知识时代对人才素质提出的新要求，是适应知识时代发展的关键能力。［5］在笔者的课堂教学实践中，注重数学知识的生成性教学，促进了学生的数学深度学习；开展了沙龙活动，消除了许多学生对数学的畏惧感，让一些对数学学习原本不感兴趣的学生有了参与意愿，大面积提升了班级学生数学探究创新高阶思维能力；利用多媒体、希沃白板、数学软件更广泛地应用信息技术开展数学实验，有效提升了数学课堂探究式教学的层次与内涵，对排除数学理解障碍，发展学生的数学直觉与想象高阶思维能力产生了重要作用；创境设疑有效提高了很多学生的数学学习兴趣，使他们在课内外更乐意集中注意力思考数学疑难问题，大大促进了学生数学学习的深度与数学思维素养的提升，较好地培养了学生质疑与批判等高阶思维能力。

个人多年的教学实践结果表明，以上的尝试与探索成效比较明显，希望有抛砖引玉之效，引发同行们更多的研究与探讨，使高中生数学高阶思维能力的培养与数学核心素养的发展问题有更多方向的创新研究与突破。