应用“MOOC+SPOC”模式进行《常微分方程》教学探究

邱玮

（福建江夏学院数理教研部，福建 福州 350108）

《常微分方程》从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用，通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，海王星的存在是天文学家先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的。时至今日，可以说《常微分方程》在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，《常微分方程》是常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分。《常微分方程》理论丰富且实用性强，兼具理论与实践双重价值，其研修对于学生未来的发展意义明显，而在线下的学习过程中，不少学生都有较大困难，并没有真正领悟其数学之美和应用之广。本文探索将“MOOC+SPOC”模式应用到《常微分方程》的教学中，希望能使学生在学习过程中体会到数学的乐趣和学习的成就感。

一、“MOOC+SPOC”模式

MOOC 是大型开放式在线课程，它的出现成功地实现了知识交换。MOOC整合多种形式的数字化资源和多种社交网络工具，形成丰富的课程资源和多元化的学习工具，突破传统课程在时间、空间上的限制，依托互联网世界使得各地的学习者在家即可学到著名高校课程，MOOC 具有较高的入学率，同时也具有较高的辍学率，它需要学习者具有较强的自主学习能力。

SPOC 是小规模限制性网络课程，它具有MOOC 无法比拟的优势。SPOC 用于小规模、特定人群的教学，通过限定课程的准入条件和学生规模，SPOC 能够为这些的学生定制课程，提供有区别的、力度更大的专业支持，可以增进学生对课程的完整体验，从而避免MOOC 的高辍学率和低完成率。

“MOOC+SPOC”教学模式则是把MOOC 作为重要的课程资源，采用SPOC的教学环节、课程设计、评价手段，以课堂教学为主，网络指导为辅，课内课外相协调，在教师规划、指引和推动下充分发挥学生的主体地位，引导学生开展课前网络学习、课堂探究学习、课后拓展学习，帮助学生吸收知识、提高能力，并在师生协作互动中，教学相长，最终完成教学任务，实现教学目标。

二、《常微分方程》课程特点

《常微分方程》是所体现的数学思想、数学方法是进行数学研究的基石，它对培养学生数学素养、逻辑思维能力具有不可替代的作用，它的思维模式和思想方法也被广泛渗透到许多课程中，运用到各种领域内。我们采用王高雄、周之铭等主编的《常微分方程》（第三版）为主讲教材，该教材系统且完整地介绍了《常微分方程》这门学科的基本理论及相关问题，体现了学科新视野、新理论。

《常微分方程》部分知识涉及大学先修课程“高等数学”和“线性代数”，比如极限与连续、导数与微分、基本积分公式和基本积分方法、无穷级数的敛散性、行列式与矩阵、线性方程组理论等，主要目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，需要学生具备较强的数学专业素养，此时可通过分享视频等教学资源，引导学生自主复习，提高学习能力。

《常微分方程》作为数学类的一门专业必修课，无论是数学思想的理解，还是对后续课程的展开，都起着至关重要的作用，但其部分章节概念抽象，理论推导较多，初学者往往不易理解和接受。比如“解的存在唯一性定理与逐步逼近法”一节，涉及若干命题的证明，而又是该章节甚至该课程的核心思想，如果完全采用“粉笔+黑板”的讲授式教学形式，学生只能被动地接受枯燥、繁琐的理论，在学习过程中逐渐失去对该门课程的兴趣，此时采用“慕课视频学习+分享屏幕互动”的形式，通过启发式、发现式、探究式教学方法，帮助学生吸收知识，提高课堂教学效果。

《常微分方程》课程中各类微分方程的解法较多，有的问题可用多种解法实现，这就要求学生对微分方程的各种解法有一个系统地把握。此时用传统的授课模式一一呈现，学生的记忆效果过于平面，难以深入；而采用“分屏互动+合作探究”的形式，注重知识的发生、发现过程和来龙去脉，提高学生发现问题、分析问题和解决问题能力，推动学生探究学习，发挥学生主体地位。

三、“MOOC+SPOC”模式在“3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法”一课的具体教学设计

下面以《常微分方程》中“3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法”一课为例，阐述如何将“MOOC+SPOC”模式应用于《常微分方程》课程教学。

（一）课前引导学习

课前发布本节知识简要：本节介绍3.1 节解的存在唯一性定理与逐步逼近法，它明确地肯定了一阶微分方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是《常微分方程》理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。使学生对课程内容有初步认识，引导学生进行课前预备学习。

（二）慕课视频学习

本节由1 个定理（解的存在唯一性定理简述：在一定条件下，一阶微分方程满足初值条件的解存在且唯一）和5 个命题（关于一阶微分方程满足初值条件的解的存在性和唯一性的证明）组成，理论性较强，概念较抽象，按传统的教学模式学生不易理解，效果较差。在课前将授课班级学生分成8 人左右的学习小组，再将1 个定理与5 个命题分配给各小组学习讨论，并请每个小组选一名代表在分屏互动时报告。

（三）分享屏幕互动

各小组代表进行报告，小组成员可协作补充，老师或其他小组提出想法和疑问。这种以学生为主体的互动教学模式，能使学生更好地参与和投入，充分调动学生学习的积极性和主动性，在合作学习中达到取长补短，共同进步的目的，还可以促进学生从多角度多侧面研究和探讨问题，充分发挥他们的创新潜质，最后由老师进行归纳总结，（命题1 简述：一阶微分方程满足初值条件的解与一个积分方程的解相同，这就将微分方程解的存在唯一性转化为积分方程解的存在唯一性。采用逐步逼近法证明积分方程解的在一定条件下的存在性（命题2-4）和唯一性（命题5），最终证得一阶微分方程解的存在唯一性定理）完成定理的证明，强化知识体系，提高学习效果。

（四）知识延展探究

老师提出问题：既然已证得一阶微分方程满足初值条件的解存在且唯一，那么如何求解呢？

学生按照学习小组进行探究，发现存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且在证明中所采用的逐步逼近法实际上也是求方程近似解的一种方法，进一步得到近似解和真正解的误差估计。在此学习过程中，引导学生通过直接参与探究过程，通过自己的反思与思考，获得对问题结论的深刻认识，还能让学生更加深刻地体会到探究是怎样导致科学的发现的等一系列与科学的本质有关的问题。

（五）总结升华思想

由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有十分重要地实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。因为如果解根本不存在，却要去近似地求解，问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地求解，问题也是不明确的。解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和理论基础。在定理的证明过程中还具体地提供了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。通过总结升华，使学生感悟到数学之美和应用之广。

（六）课后及时反馈

课后利用SPOC 布置作业，学生完成后进行批阅，再反馈给学生，学生及时修正。

课后思考：由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。因此我们以它作为初值条件所得到的解是否能用作真正的解呢？这就产生了解对初值的连续依赖性问题，即当初值微小变动时，方程的解的变化是否也很小？如果不然的话，这样所求得的解就失去实用的意义，因它可能与实际情况产生很大的误差。正是由于《常微分方程》在各个领域的广泛应用，研究它时更加要严谨细致，使学生深刻认识到科学工作的严谨性，在今后的学习工作中保持如一的态度与初心。

四、总结

《常微分方程》在自然科学和社会科学各领域中都有广泛的应用，并取得了很多重要的成果。应用“MOOC+SPOC”模式进行《常微分方程》课程教学，既能利用丰富的课程资源和多元化的学习工具，又能适应各专业各层次的学生个性化需求，充分发挥教师在教学中的主导作用和学生在学习中的主体地位，实现教学目标。本文基于“MOOC+SPOC”模式对《常微分方程》课程进行教学探究，在今后教学实践中不断总结，对混合教学模式不断完善，着力打造真正适合学生发展的好课。