高职数学课型分类与教学特征

吴定能 丁 洪

（贵州电子信息职业技术学院基础教学部，贵州 凯里 556000）

随着高职院校招生制度的改革，学生生源形式多样，导致相同专业班级的学生组成结构复杂。据调查显示，为了便于管理，大部分高职院校都采用混合组班教学，同一班级不同学生比例存在差异[1]。高职数学课型种类复杂，不同课型的授课方式也略有不同，相同课型不同专业、不同班级的教学方法也不唯一。在这种形势下，如何高效开展教学，是教学一线的教师研究的课题，其中分析课型分类既可提高课堂教学质量，也是教学一线教师研究的热点问题。

一、高职数学课的课型

结合高职数学课程内容特点、职业院校培养学生的目标以及数学在职业院校中的作用意义，可以将数学课主要分为以下几种类型。

一类概念课，像函数、极限、导数及积分等给概念下定义的课，称为一类概念课，以及像无穷小、拐点、分段函数等用一些纯文字语言描述和介绍的课。

二类概念课，专指定理的归纳与推理，法则、公式的得出与推导等，如拉格朗日中值定理、导数四则运算的推导、极限四则运算的推导、两个重要极限及积分公式等。此类概念课占据了高职数学课程三分之一以上的内容。

应用课，专指法则、公式、定义、定理及结论等的运用[2]。如求函数的定义域、求函数的极限、两个重要极限的应用、利用导数四则运算法则求函数的导数、用拉格朗日定理求某些方程的根的个数等，它在高职数学课内容中的占比与二类概念课相当。

实验课，通过上机学习如何利用Mathematica、MATLAB、SPSS等数学软件来解决计算问题的课，称为实验课，高职数学选用率较高的教程都有该部分内容。

实践课，专指运用数学理论知识来解决实际问题，变化率模型求解电流强度问题、边际成本问题及定积分在几何物理中的应用等，可以把这类课视为数学建模课。

我国高职院校的培养目标中大多数都是以培养专业技能型人才为主，提升文化素养为辅。对于基础文化课基本不重视，设备、师资不足，数学课的课时少、容量大，难以开设实验课和实践课，因此本文仅把一类概念课、二类概念课及应用课作为重点研究对象。

二、高职数学不同课型的教学特征

高职数学的内容中，除了常微分方程之外，其他内容与高中内容大致相同，而在知识点的深度、内容的呈现方式等方面有所不同，不同课型的特征也略有不同。下面结合高职数学教材内容探讨不同课型的教学特征。

（一）一类概念课的特征

1．概念提炼过程的抽象性、概括性，抽象是排除非本质性的、不重要的属性，区分出本质特性的方法，概括是将同一类对象的共同属性提炼出来，结合成一般类的属性的方法[3]。例如，导数定义的产生，先讨论了求做变速直线运动的物体的瞬时速度，再讨论了求平面曲线的切线的斜率，略去其它属性特征，仅从数学结构上看，却有完全相同的形式，可归纳为函数的增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限，数学中就把这种形式的极限定义为函数的导数，经过上述实例的分析、提炼概括出函数的导数概念，并以数学符号来表示。

2．概念定义的直接性、简明化，直接性是直接给出某个概念的定义，缺少概念产生的探索、帮助观察理解的实物，简明化是简单明了的给概念下定义，没有给出简单实例帮助理解。例如，函数的极限在解读了趋近符号及去心邻域后，直接性的给函数的极限下定义，简洁明了的给出了函数的极限符号表示，然后就进入到应用部分。少了结合学生已学的简单函数的变化先探索同类属性，函数的概念也是如此。这些之前初步学过的内容，也是数学上被称为最难理解的概念，在高职数学教材中大多数都是简洁明了的直接给出概念的定义。

3．概念定义过程的严谨性、准确性，下定义就是指出它反映的对象所具有的本质属性的一种形式化、逻辑化、简明化的活动，它的使命就是总结出研究的结果。因而，给概念下定义是严谨的，观察、发掘、抽象之后概括出感性材料的本质属性，并不断地实验、改进补充，最终形成简洁清晰、准确严谨的定义。例如，我们在开展“函数的概念”的教学时，我们要设计情境让学生明白，第一，变量不能在空集中，否则任取变量时，没有变量值可取。第二，变量不能在实数集外的集合，否则就不是给函数的概念下定义，而是给映射下定义。第三，是在非空实数集中任意取变量，不是仅取其中几个实数满足定义即可。第四，任意取一个变量后，按照定义法则，一定是有且仅有一个变量与之对应。同时满足上述四个条件之后，函数的概念定义即可形成。

4．概念巩固过程的递进性，我们知道，当新概念形成之后，教师可以在学生的“已知区”与“最近发展区”的结合点上设计问题，给出一些由易到难具有递进性的题组，有时还给出一些反例或变式题等帮助学生理解概念。例如，函数的导数概念产生之后，为了让学生熟悉概念，首先选择最简单的常数函数作为第一个例子，计算简单，非常便于巩固定义产生的过程，更利于再次提炼步骤，即求增量—算比值—取极限。然后依次选择正弦函数、自然对数函数作为实例，逐次增强计算难度、思维技巧。这样递进性的巩固题组，既让不同层次的学生都有了体验的机会，也让学生们掌握了函数的导数的概念产生过程。

（二）二类概念课的特征

1．语义性特征，数学的公式、定理、法则等虽然是一些语言和符号，但是它们代表了一些明确性的意义，语义性是指利用更为具体的形式来陈述公式、定理过程中所表现出的特征，该特征主要包含了一些要素：概念、关系、量词及逻辑联结词[4]。如极限四则运算中的乘法运算，即两个函数乘积的极限等于两函数极限的后的乘积，该法则可以用文字语言陈述，也可以用符号语言呈现，其中的概念有函数的极限，关系有两函数乘积的极限运算，命题中省略了“任意”的量词，没有出现逻辑联结词。

2．真理性特征，公式、定理、法则等的确定性，即为真理性特征，在数学中它主要真理的内容和确定逻辑真值过程中所体现出来的特征。对于某些具体的公式、定理和法则，它们的真理性呈现过程是略有不同的，推理方法也不唯一。

3．应用性特征，数学的每个公式、法则都是应用的工具，定理也不例外。他们的应用主要表现为解题和计算，有的是用于解决数学内部问题，有的是用于解决数学的实际问题，学习过程中关键的是何时用、怎么用及用于哪些方面。如导数可以用来解决实际问题中曲线的斜率。

4．关联性特征，有一些公式、法则、定理的存在和应用不是单独出现的，而是相互之间关联的，数学中的关联性是指知识点之间是相互运用，不能仅仅用一个知识点就可以解决问题，数学的学习往往出现一种现象，若某一部分知识点没学好，后面遇到相关联的知识学习就非常困难。如学好了极限才能理解导数，学好了导数相关公式后才能熟练求解各积分。

（三）应用课的特征

1．应用对象的准确性，在不同的数学知识领域都有相应的定义、公式、法则及一些定理，因此，在应用过程中必须确保运用对象的准确无误。教学中必须对通过不同的实例充分说明相应公式定理的适用范围，让学生真正地理解，避免知其一，不知其二的现象产生。如“勾股定理”解三角形的问题，该定理只能用于解直角三角形，余弦定理就可以用来求解任意的三角形；微分应用过程中，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况，适用的对象显然有区别，在教学中必须做到让学生明确各定理的准确应用。

2．灵活变换性较强，直接套用公式、定理的应用一般比较少，在数学中的应用课普遍偏向于变换后的应用，这里的变换除了简单的内部变化之外，还有整体性的变换，要想在应用中做到灵活变换，必须对原定理、公式中各字符的含义弄明白，仅仅是简单的记忆公式是不能解决问题的。如两个重要极限的应用，这里的x代表的含义是分子中正弦后的部分和分母完全相同，且满足该整体趋近于0的极限，它们的极限值都为1。

3．教学中需有示范性，促使学生体验，即使公式给出、定理内容讲解清楚以及运用法则说明到位，学生在该类问题的应用中，书写仍然有很大的问题，此类课程教学中教师必须亲自示范讲解，然后在让学生亲自实践，留给学生充足的时间练习，才能让学生在实践中加深对应用的知识的理解。即使学生明确表示已经弄懂，也要求学生实践一次，这样既起到加深理解的作用，也可以发现学生在书写中的问题。