环上广义逆包含性质的一个注记

孙玉虎，王 龙

(1.中国矿业大学 徐海学院，江苏 徐州 221008；2.扬州大学 数学科学学院，江苏 扬州 225002)

1 预备知识和引理

本文中R表示一个有单位元的结合环，如果存在一个元素x∈R使得方程(1)axa=a成立，则称元素a(von Neumann)正则。此时，元素x被称为a的内逆(或者a的{1}-逆)，用符号a(1)(或者a-)来表示。本文中用符号Reg(R)来表示环R中所有正则元素的集合。如果Reg(R)=R，则称环R为正则环。通常一个正则元可能有不止一个内逆，我们用符号a{1}来表示元素a的所有内逆的集合。若存在一个元素x∈R使得方程(2)xax=x成立，则称元素x是a的一个外逆(或者a的{2}-逆)，用符号a(2)(或者a=)来表示。如果存在一个元素x∈R既是a的内逆又是a的外逆，此时称x∈R为a的自反逆。我们用符号a(1,2)来表示a的自反逆，用符号a{1,2}来表示元素a的所有自反逆的集合。

最近的文章中，作者Alahmadi等人证明了如下的结果(见[1，定理7，定理10])。

引理1假设R是一个半素环，a和b为环中两个正则元。如果a{1}=b{1}或者a{1,2}=b{1,2}，则a=b。

随后，T.K.Lee将该结果推广(见[2，定理2.3])。

引理2假设R是一个半素环，a和b为环中两个正则元。如果a{1,2}⊆b{1,2}，则a=b。

在文献[3，推论1.8]中，T.K.Lee又讨论了{2}-逆的包含性质。

引理3假设R是一个半素环，a和b为环中两个正则元。如果a{2}=b{2}，则a=b。

2 主要内容

本文将继续研究环中广义逆包含性质，我们将上述的结果从半素环推广到幂等自反环的情形下。本文中，符号E(R)表示环中了所有的幂等元之集。对于环中元素a和幂等元e，如果aRe=0蕴含着eRa=0，此时称环R为左幂等自反环[4]。类似的，如果eRa=0蕴含着aRe=0，此时称环R为右幂等自反环。若环R既是左幂等自反环又是右幂等自反环，则称R是幂等自反环。

引理4半素环是幂等自反环。

证明假设R是一个半素环，对于环中任意元素a和幂等元e，满足aRe=0。那么一定有eRa=0。若eRa≠0，则一定存在元素b使得eba≠0。注意到aRe=0，由此可得，ebaReba=eb(aRe)ba=0。由于R是一个半素环，那么可以得到eba=0(矛盾)。这说明eRa=0，也就是说环R是左幂等自反环。类似证明可得，环R也是右幂等自反环。

例子1设R为模4剩余类环。容易验证环R是幂等自反环，但不是半素环。由此可知引理4的逆命题不成立。

下文中，我们将在幂等自反环的情形下研究广义逆的包含性质。首先给出关于a的{1}-逆的表达式。

引理5[5，推论1]假设a∈Reg(R)且a0为a的一个内逆，则a{1}={a0+x-a0axaa0}，其中x为R中任意元素。

定理1假设R是一个幂等自反环且a,b∈Reg(R)。若a{1}=b{1}，则a=b。

证明由于a{1}=b{1}，则ba{1}b=bb{1}b=b。这里任取元素a的一个内逆a0，则有ba0b=b，另外由引理5，我们可得对于任意的x∈R，b(a0+x-a0axaa0)b=b。于是可得，b(x-a0axaa0)b=0。由于x为环中任意元，取(1-a0a)y代替前式中的x，这里y为环中任意元素，则有b(1-a0a)yb=0，即b(1-a0a)Rb=0。由题设知b∈Reg(R)，那么取b0为元素b的一个内逆，由等式b(1-a0a)Rb=0可得b(1-a0a)Rbb0=0。由题设R是一个幂等自反环，则bb0Rb(1-a0a)=0，进一步可得b(1-a0a)=0，即b=ba0a，那么b∈Ra。

类似证明，由于a{1}=b{1}，这里任取元素b的一个内逆b0，则有ab0a=a。由引理5可得，对于任意的x∈R，则a(b0+x-b0bxbb0)a=a。由此可知a(x-b0bxbb0)a=0。取y(1-bb0)代替前式中的x，这里y为环中任意元素，那么aR(1-bb0)a=0。取a0为元素a的一个内逆。由等式aR(1-bb0)a=0可得a0aR(1-bb0)a=0。由于R是一个幂等自反环，则(1-bb0)aRa0a=0，进一步可得(1-bb0)a=0，即a=bb0a，那么a∈bR。

由于a{1}=b{1}，则对于元素b的一个内逆b-，一定存在元素a的一个内逆a-使得a-=b-。由a∈bR和b∈Ra可知，a=bb-a=ba-a=b。

推论1假设R是一个半素环且a,b∈Reg(R)。若a{1}=b{1}，则a=b。

定理2假设R是一个幂等自反环且a,b∈Reg(R)。若a{1,2}⊆b{1,2}，则a=b。

证明由于a{1,2}⊆b{1,2}，则ba{1，2}b=bb{1，2}b=b。这里任取元素a的一个内逆a0，则有ba0b=b。注意到对于任意x∈R，a0+a0ax(1-aa0)∈a{1，2}，则b[a0+a0ax(1-aa0)]b=b，于是可得ba0ax(1-aa0)b=0，即ba0axb=ba0axaa0b。对上式左乘aa0可得ax(1-aa0)b=0。由于x为R中任意元素，用b0x来替换x，则ab0x(1-aa0)b=0。对上式左乘bb0，则有bb0x(1-aa0)b=0。由于R是一个幂等自反环，则(1-aa0)bxbb0=0，取x=b0进一步可得(1-aa0)b=0，即b=aa0b，那么b∈aR。因此，对于任意的a(1,2)∈a{1,2}，由于a{1,2}⊆b{1,2}且b∈aR，那么可以得到aa(1,2)=aa(1,2)ba(1,2)=ba(1,2)，也就是说，aa0=ba0成立。

注意到对于任意x∈R，a0+(1-a0a)xaa0∈a{1，2}，类似地，可以得到b=ba0a，那么由于aa0=ba0，于是可得b=ba0a=aa0a=a。

推论2假设R是一个幂等自反环且a,b∈Reg(R)。若a{1,2}=b{1,2}，则a=b。

推论3假设R是一个半素环且a,b∈Reg(R)。则a{1,2}⊆b{1,2}当且仅当a{1,2}=b{1,2}当且仅当a=b。