伪核逆的广义Cline公式和广义Jacobson引理

2021-08-18管健行宋贤梅李明珠

安徽师范大学学报（自然科学版） 2021年4期

管健行，宋贤梅，李明珠

(安徽师范大学数学与统计学院，安徽芜湖 241002)

引言

Cline[7]证明了环中若ab是Drazin可逆的，则ba是Drazin可逆的。此时(ba)D=b[(ab)D]2a，称之为Cline公式。Liao[8]证明了Cline公式适用于广义Drazin逆。近几年，许多学者对Cline公式也进行了各种形式的推广。Zeng[9]研究在dbd=acd,aca=dba条件下广义逆的Cline公式。Chen[10]研究环中Drazin逆，广义Drazin逆，伪Drazin逆在dbd=acd,bdb=bac条件下的Cline公式。Shi等[6]研究了当ab有伪核逆，则ba有伪核逆的充分必要条件。

受此启发，本文研究了在dbd=acd,bdb=bac条件和dbd=acd,aca=dba条件下伪核逆的广义Cline公式和广义Jacobson引理。为了简便，我们将条件dbd=acd,bdb=bac记为条件1，条件dbd=acd,aca=dba记为条件2。文中的第二部分，我们给出了在条件1下ac是伪核可逆，则bd是伪核可逆的充分必要条件，且由ac的伪核逆给出了bd的伪核逆。第三部分研究了在条件2下ac(或bd)是伪核可逆，则bd(或ac)是伪核可逆的充分必要条件，且由ac(或bd)的伪核逆给出了bd(或ac)的伪核逆。第四部分我们给出了在条件1下1-ac是伪核可逆，则1-bd是伪核可逆的充分必要条件，且由1-ac的伪核逆给出了1-bd的伪核逆。第五部分，我们给出了在条件2下1-ac(或1-bd)是伪核可逆，则1-bd(或1-ac)是伪核可逆的充分必要条件，且由1-ac(或1-bd)的伪核逆给出了1-bd(或1-ac)的伪核逆。

最后，为了讨论的方便，给出文中需要的定义与符号。

设R是有单位元的结合环，若存在映射*：R→R使得对所有的x，y∈R，均满足(1)(x+y)*=x*+y*,(2)(xy)*=y*x*,(3)(x*)*=x,则称R是*-环。

定义1[11]a∈R是伪核可逆当且仅当存在x∈R满足下列条件：

(1)xam+1=am,整数m≥1；(2)ax2=x；(3)(ax)*=ax。

若这样的x存在，则它是唯一的且称之为a的伪核逆(记为a)。

定义2[11]a∈R是对偶伪核可逆当且仅当存在y∈R满足下列条件：

(1)am+1y=am,整数m≥1；(2)y2a=y；(3)(ya)*=ya。

若这样的y存在，则它是唯一的且称之为a的对偶伪核逆(记为a)。

环R中伪核可逆元素的集合记为R，对偶伪核可逆元素的集合记为R。记α(1,3)是α的{1,3}逆，α(1,4)是α的{1,4}逆。

1 伪核逆在条件1下的Cline公式

[6]中的定理4.5研究了当ab是伪核可逆，则ba是伪核可逆的充分必要条件是b(ab)Da∈R{1,3}。同样地，本节讨论了在条件1下当ac是伪核可逆，则bd是伪核可逆的充分必要条件是b(ac)Dd∈R{1,3}。

引理1.1设a，b，c，d∈R，满足条件1。若α=ac∈RD,则β=bd∈RD。此时，βD=b(αD)2d。

证明：令x=b(αD)2d，易知

b(αD)2dbd=b(αD)2acd=bαDd,b(αD)2dbdb(αD)2d=b(αD)2dbd。因为b(αD)2dbdb(αD)2d=bαDdb(αD)2d，又因为αD与ac可交换，由dbac=dbdb=acdb知αD与db可交换，所以

b(αD)2dbdb(αD)2d=bαDdb(αD)2d=b(αD)2d

此外，

(bd)k+2b(αD)2d=b(ac)k+1db(αD)2d=b(ac)k+1(αD)2acd=b(ac)kd=(bd)k+1，

因此，bd是Drazin可逆，且βD=b(αD)2d。

引理1.2[6，引理3.1]设a∈R且I(a)=m，则：

(1)aa=ak(a)k，任意的整数k≥1；

(2)aaa=a；

(3)ak(a)kak=ak，任意的整数k≥1；

(4)a∈RD且i(a)=m，同时，aD=(a)m+1am。

引理1.3[6，定理3.3]若a∈RD，则下列条件等价：

(1)a∈R；

(2)aa∈R{1,3}；

(3)aπ∈R{1,4}。

此时，aaD∈(aaD){1,3}，(1-aa)∈aπ{1,4}，且

a=aD(aaD)(1,3)=aD(1-(aπ)(1,4)aπ)，

对任意的(aaD)(1,3)∈(aaD){1,3}和(aπ)(1,4)∈aπ{1,4}。

引理1.4[6，定理3.4]若a∈RD，则下列条件等价：

(1)a∈R；

(2)aaD∈R{1,4}；

(3)aπ∈R{1,3}。

此时，aa∈(aaD){1,4}，1-aa∈aπ{1,3}，且

a=(aaD)(1,4)aD=(1-aπ(aπ)(1,3))aD，

对任意的(aaD)(1,4)∈(aaD){1,4}和(aπ)(1,3)∈aπ{1,3}。

定理1.5设a，b，c，d∈R，满足条件1。若ac∈R,则bd∈R当且仅当b(ac)Dd∈R{1,3}。此时，(bd)=b((ac)D)2d(b(ac)Dd)(1,3)。

证明令α=ac,β=bd。因为α=ac∈R，由引理1.2知α∈RD，根据引理1.3知ααD∈R{1,3}。

由引理1.1可知，β∈RD且βD=b(αD)2d。因为

ββD=bdb(αD)2d=bac(αD)2d=bαDd，

所以由引理1.3知β∈R⟺bαDd∈R{1,3}。此时，对于任意的(bαDd)(1,3)∈(bαDd){1,3}，有

β=βD(ββD)(1,3)=b(αD)2d(bαDd)(1,3)

注1.6若α∈R，由引理1.2知α∈RD且αD=(α)k+1αk，其中I(α)=k,定理1.5中的β可写为：

β=b((α)k+1αk)2d(bαDd)(1,3)。

定理1.7设a，b，c，d∈R，满足条件1。若ac∈R,则bd∈R当且仅当b(ac)Dd∈R{1,4}。此时，(bd)=(b(ac)Dd)(1,4)b((ac)D)2d

证明令α=ac,β=bd，因为α=ac∈R，由引理1.2知α∈RD。根据引理1.1可知，β∈RD且βD=b(αD)2d。

因为β∈RD和ββD=bαDd，所以由引理1.4知

β∈R⟺bαDd∈R{1,4}。

此时，对于任意的(ββD)(1,4)∈(ββD){1,4}，有

β=(bαDd)(1,4)b(αD)2d=(b(ac)Dd)(1,4)b(ac)D)2d。

注1.8由注1.6，知αD=(α)k+1αk，所以定理1.7中的β可写为：

β=(bαDd)(1,4)b(α)k+1αk)2d

2 伪核逆在条件2下的Cline公式

本节主要研究了在条件2下当ac(或bd)是伪核可逆，则bd(或ac)是伪核可逆的充分必要条件。

引理2.1[9，定理2.1]设a，b，c，d∈R，满足条件2。则ac∈RD⟺bd∈RD。此时，(ac)D=d((bd)D)3bac和(bd)D=b((ac)D)2d。

定理2.2设a，b，c，d∈R，满足条件2。若bd∈R,则ac∈R当且仅当d((bd)D)2bac∈R{1,3}。

此时,(ac)=d((bd)D)3bac[d((bd)D)2bac](1,3)。

证明令α=ac,β=bd。因为β=bd∈R，由引理1.2知β∈RD，根据引理1.3知ββD∈R{1,3}和ββ∈(ββD){1,3}。

由引理2.1可知，α∈RD且αD=d(βD)3bac。因为ααD=acd(βD)3bac=dbd(βD)3bac=d(βD)2bac，所以由引理1.3知ac∈R⟺d((bd)D)2bac∈R{1,3}。

此时，对于任意的(d(βD)2bac)(1,3)=d(βD)2bac{1,3}，由引理1.3有

α=αD(ααD)(1,3)=d(βD)3bac(d(d(βD)2bac)(1,3)。

定理2.3设a，b，c，d∈R，满足条件2。若ac∈R,bd∈R当且仅当b(ac)Dd∈R{1,3}。此时，(bd)=b((ac)D)2d(b(ac)Dd)(1,3)。

证明与定理2.2类似。

定理2.4设a，b，c，d∈R，满足条件2。若bd∈R,则ac∈R当且仅当d((bd)D)2bac∈R{1,4}。

此时，(ac)=(d((bd)D)2bac)(1,4)d((bd)D)3bac

证明：令α=ac,β=bd,因为α=ac∈R,由引理1.2知β∈RD。根据引理2.1可知，α∈RD且αD=d(βD)3bac。

因为ααD=acd(βD)3bac=dbd(βD)3bac=d(βD)2bac，所以由引理1.4知,ac∈R⟺d((bd)D)2bac∈R{1,4}。

此时，对于任意的(d((bd)D)2bac)(1,4)∈d((bd)D)2bac{1,4},有

(ac)=(ac(ac)D)(1,4)(ac)D=(d((bd)D)2bac)(1,4)d((bd)D)3bac。

定理2.5设a，b，c，d∈R，满足条件2。若ac∈R,则bd∈R当且仅当b(ac)Dd∈R{1,4}。此时，(bd)=(b(ac)Dd)(1,4)b((ac)D)2d

证明与定理2.4相类似。

3 伪核逆在条件1下的Jacobson引理

[6]研究了1-ab是伪核可逆，则1-ba是伪核可逆的充分必要条件，且由1-ab的伪核逆给出了1-ba的伪核逆。本节给出了在条件1下，1-ac是伪核可逆，则1-bd是伪核可逆当且仅当b(1-ac)πrd∈R{1,4}。

定理3.1设a，b，c，d∈R，满足条件1。若1-ac∈R,则1-bd∈R当且仅当b(1-ac)πrd∈R{1,4}。其中r=1+(1-ac)+…+(1-ac)k-1。此时，

(1-bd)=(1+b(1-ac)Dd)[1-(b(1-ac)πrd)(1,4)b(1-ac)πrd]。

证明令α=1-ac，β=1-bd,I(α)=k。因为1-ac∈R，由引理1.2知α∈RD且i(α)=k。由引理1.3知απ∈R{1,4}，所以根据[4,定理2.3]，可知β∈RD且βD=1+bαDd-bαπrd，其中r=1+(1-ac)+…+(1-ac)k-1。所以

βπ=1-ββD

=1-(1-bd)(1+bαDd-bαπrd)

=1-(1-bd)-(1-bd)bαDd+(1-bd)bαπrd

=bd-bαDd+bdbαDd+bαπrd-bdbαπrd

=bαπrd+b[1-αD+(1-α)αD-(1-α)απr]d

=bαπrd+b[1-ααD-(1-α)απr]d

=bαπrd

因此，由引理1.3可得β∈R⟺βπ=b(1-ac)πrd∈R{1,4}。

此时，对于任意的(βπ)(1,4)∈βπ{1,4}，由引理1.3可得

β=βD[1-(βπ)(1,4)βπ]。

又因为βD=1+bαDd-bαπrd=(1+bαDd)(1-bαπrd)，则

β=βD[1-(βπ)(1,4)βπ]

=(1+bαDd)(1-bαπrd)[1-(bαπrd)(1,4)bαπrd]

=(1+bαDd)[1-(bαπrd)(1,4)bαπrd]

注3.2若α∈R，由引理1.2知α∈RD且αD=(α)k+1αk，其中I(α)=k。此时定理3.1中的β可写为：

β=(1+b(α)k+1αkd)[1-(bαπrd)(1,4)bαπrd]

若令定理3.1中I(1-ab)=1，我们有下面的推论：

推论3.3设a，b，c，d∈R，满足条件1。若α=1-ac∈R,β=1-bd∈R当且仅当b(1-ac)πd∈R{1,4}。

此时，β=(1+bα#d)[1-(bαπd)(1,4)bαπd]。

定理3.4设a，b，c，d∈R，满足条件1。若α=1-ac∈R,则β=1-bd∈R当且仅当b(1-ac)πrd∈R{1,3}。其中r=1+(1-ac)+…+(1-ac)k-1。

此时，(1-bd)=(1-b(1-ac)πrd(b(1-ac)πrd)(1,3))(1+bαDd)。

证明：因为α∈R，由引理1.2知α∈RD且i(α)=k。根据[4,定理2.3]，可知β∈RD且βD=1+bαDd-bαπrd，其中r=1+(1-ac)+…+(1-ac)k-1。此外，我们知βπ=bαπrd。因此，由引理1.4可得β∈R⟺bαπrd∈R{1,3}。

此时，对任意的(βπ)(1,3)∈βπ{1,3}，有β=(1-βπ(βπ)(1,3))βD，则

β=[1-bαπrd(bαπrd)(1,3)](1+bαDd)(1-bαπrd)

=(1-bαπrd(bαπrd)(1,3))(1+bαDd)

4 伪核逆在条件2下的Jacobson引理

本节研究了在条件2下当ac(或bd)是伪核可逆，则bd(或ac)是伪核可逆的充分必要条件。

定理4.1设a，b，c，d∈R，满足条件2。若1-ac∈R,则1-bd∈R当且仅当bac(1-ac)πr′d∈R{1,4}。

其中r′=1+(1-acac)+…+(1-acac)k-1。此时

β=(1+bacαDd+bd)[1-(bac(1-ac)πr′d)(1,4)bac(1-ac)πr′d]

证明：令α=1-ac，β=1-bd,I(α)=k。因为1-ac∈R，由引理1.2知α∈RD且i(α)=k。由引理1.3知απ∈R{1,4}，所以由[5,定理3.1]知β=1-bd∈RD和βD=βn(1+bd+bacαDd)n+1，所以ββD=βn+1(1+bd+bacαDd)n+1=(1-bacαπd)n+1。

由Drazin逆的唯一性知当n≥k时，(1-bacαπd)n都相等。因此ββD=(1-bacαπd)k+1=(1-bacαπd)k。从而

βπ=1-ββD=1-(1-bacαπd)k=bacαπd[1+(1-bacαπd)+…+(1-bacαπd)k-1]。

因为d(1-bacαπd)=d-dbacαπd=d-acacαπd=(1-acacαπ)d，且απac=acαπ，所以

απd(1-bacαπd)i=απ(1-απacac)id=(απ-απacac)id=απ(1-acac)id。