习题施演变 思维上水平

蔡振玲

引例 （人教版数学9年级上册第102页第12题）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠BAD.

思路1：根据“有切点连半径”，连接OC，根据“切线垂直于过切点的半径”，得到OC[⫽]AD.（请同学们自己完成证明过程.）

思路2：联想到切线长定理，构造另一条⊙O的切线：过点A作⊙O的另一条切线，交CD于点E. （请同学们自己完成证明过程.）

这道习题每年都在各地的中考中演变拓展，散发出无穷魅力.下面我们共同探究这道习题的精彩演绎.

变式1：交换习题的条件与结论，并将角平分线转变为用等弧形式给出，探究直线与圆的位置关系及弦长.

例1（2020·黑龙江·齐齐哈尔）如图2，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，[AC=CD=DB]，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.

（1）求证：DE是⊙O的切线.

（2）若直径AB=6，求AD的长.

解析：（1）证明：如图3，连接OD，

∵[CD=BD]，∴∠EAD=∠DAB，

又∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD ，

∴∠EAD = ∠ADO，

∴OD[⫽]AE，∴∠AED + ∠EDO = 180°，

又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，

∴∠EDO = 90°，即OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线.

（2）解：如图3，连接BD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

∵[AC=CD=DB]，∴∠DAB [=12∠]BOD=[12×13×180°]=30°.

∴BD [=12]AB=3，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD [=62-32= ]3[3].

点评：证明一条直线是圆的切线通常有如下两种方法：

（1）当直线过圆上某一点时，常常连接这点与圆心构造半径，然后证明直线垂直于这条半径，即有“点”连“半径”，证“垂直”;

（2）当直线与圆的公共点不确定时，常过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径，即无“点”作“垂线”，证“垂线段等于半径”.

变式2：交换习题的条件与结论，构造其逆命题.

例2 如图4，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F.

（1）求证：AF⊥EF.

（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮小强同学证明这一结论.

解析：（1）如圖5，连接OD，因为EF是⊙O的过点D的切线，则有OD⊥EF，故只需说明AF[⫽]OD，这可由“内错角相等，两直线平行”（∠ODA = ∠OAD = ∠FAD）获得.

（2）根据角是轴对称图形构造全等三角形来证明. 为此可过点D作DM⊥AB于M（如图5），根据“AAS”可证△AFD≌△AMD，则有AM = AF，DF = DM，

连接CD，BD，根据“同圆或等圆中，相等的圆心角（或圆周角）所对的弦相等”，有CD = BD，所以△CFD≌△BMD（HL），所以BM = CF，

所以AF + CF = AM + BM = AB.

点评：利用图形的轴对称性构造全等三角形，是一种常用的添加辅助线的方法，本题演绎为过点D作DM⊥AB于M，就是基于上述思想的结晶. 另外本题还提供了证明“线段和差关系”的一种方法：如果图形中没有显现出最长的线段等于另外两条较短线段的和，这时我们可以通过添加辅助线，在最长线段上截取其中一条较短的线段（当然截的方法要根据题设来选取，本题就是通过作垂线来实现的），然后再证明剩余的线段等于另外的一条较短的线段即可.

（作者单位：江苏淮海技师学院汽车工程系）