因式分解的11种变换策略

于喆 王峰

一、符號变换

例1 分解因式：z2（x - y） - 4（x - y） - 3z（y - x）.

解析：以（x - y）为标准，将（y - x）变换为 - （x - y）.

原式 =  z2（x - y） - 4（x - y） + 3z（x - y） = （x - y）（z2 + 3z - 4）

= （x - y）（z - 1）（z + 4）.

二、指数变换

例2 分解因式：2xn + 2 + 4xn - 6xn - 2.

解析：以指数低的xn - 2为标准，将xn变换为xn - 2·x2，xn + 2变换为xn - 2·x4.

原式 =  2xn - 2（x4 + 2x2 - 3）= 2xn - 2（x2 - 1）（x2 + 3）= 2xn - 2（x + 1）（x - 1）（x2 + 3）.

三、组合变换

例3 分解因式：a2 - 2ab + b2 - 6a + 6b + 5.

解析：将第一、二、三项合并为一组，第四、五项合并为一组.

原式 = （a2 - 2ab + b2） - （6a - 6b） + 5 = （a - b）2 - 6（a - b）+ 5

= （a - b - 1）（a - b - 5）.

四、展合变换

例4 分解因式：（a + b）（a - b）+ c（2b - c）.

解析：将多个括号展开后重新组合.

原式 = a2 - b2 + 2bc - c2 = a2 - （b2 - 2bc + c2）= a2 - （b - c）2 = （a + b - c）（a - b + c）.

五、公式变换

例5 分解因式：（x + 1）4 - 2（x2 - 1）2 +（x - 1）4 - （x2 + 3）2.

解析：将前三项变换成完全平方公式，再用公式法分解因式.

原式 = [（x + 1）2]2 - 2[（x + 1）2（x - 1）2] + [（x - 1）2]2 - （x2 + 3）2

= [（x + 1）2 - （x - 1）2]2 - （x2 + 3）2 = （4x）2 - （x2 + 3）2

= - （x2 + 4x + 3）（x2 - 4x + 3） = - （x + 1）（x + 3）（x - 1）（x - 3）.

六、拆项变换

例6 分解因式：（1 - a2）（1 - b2） - 4ab.

解析：将 - 4ab拆成 - 2ab - 2ab，再用公式法分解因式.

原式 = 1 - a2 - b2 + a2b2 - 4ab = （1 - 2ab + a2b2） - （a2 + 2ab + b2）

= （1 - ab）2 - （a + b）2 = （1 - ab + a + b）（1 - ab - a - b）.

七、添项变换

例7 分解因式：a5 + a + 1.

解析：添加a2 - a2，再分组分解.

原式 = a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2（a3 - 1） + （a2 + a + 1）

= a2（a - 1）（a2 + a + 1） + （a2 + a + 1） = （a2 + a + 1）（a3 - a2 + 1）.

八、对称变换

例8 分解因式：（a + b - 2ab）（a + b - 2） + （1 - ab）2.

解析：设a + b = x，ab = y，

原式 = （x - 2y）（x - 2） + （1 - y）2 = x2 - 2x - 2xy + 4y + 1 - 2y + y2

= （x2 - 2xy + y2） - 2（x - y） + 1 = （x - y）2 - 2（x - y） + 1 = （x - y - 1）2

= （a + b - ab - 1）2 = （a - 1）2（b - 1）2.

九、平均值变换

例9 分解因式：（x2 + 5x + 9）（x2 - 3x + 7） - 3（4x + 1）2.

解析：设[y=12][（[x2+5x+9]）+（[x2-3x+7]）] [=x2+x+8]，

原式 = [y + （4x + 1）][y - （4x + 1）]  - 3（4x + 1）2 = y2 - 4（4x + 1）2

= （x2 + x + 8）2 - 4（4x + 1）2 = （x2 - 7x + 6）（x2 + 9x + 10）

= （x - 1）（x - 6）（x2 + 9x + 10）.

十、主元变换

例10 分解因式：x4 + x2 + 2ax + 1 - a2.

解析：视a为主元，将多项式变换整理.

原式 = - a2 + 2xa + x4 + x2 + 1 = -（a2 - 2xa + x2） + x4 + 2x2 + 1 = - [（a - x）2 - （x2 + 1）2]

= - （a - x + x2 + 1）（a - x - x2 - 1） = （x2 - x + a + 1）（x2 + x - a + 1）.

十一、十字相乘法

例11 分解因式：x2 + 3xy + 2y2 - x + y - 6.

解析：利用“双十字相乘法”.

原式 = （x + y + 2）（x + 2y - 3）.

1. 分解因式：[x4-2ax2+x+a2-a.]

2. 分解因式：[x2+4y2+9z2+4xy-6zx-12yz.]

3. 分解因式：[x3-3x2+]（[a+2]）[x-2a.]

答案：

1. （[x2+x-a]）（[x2-x-a+1]）

2. （[x+2y-3z]）2

3. （[x-2]）（[x2-x+a]）