小学数学解题反思内容概述

2021-11-25陈丹阳

科学与生活 2021年16期

陈丹阳

摘要：数学解题反思是数学解题的一个重要的组成部分，它不仅能进一步促进学生对知识的理解，也能提高学生对知识的建构能力，还能能提高学生的思维能力。但在对小学高年级学生数学解题反思的现状的调查看来，大多数学生缺乏解题反思的意识，不明确解题反思的内容，解题反思策略比较单一等等。因此，厘清数学解题反思的内容很有必要。学生可以在解题过程中不断地学习，具备解题反思的意识，学会解题反思的方法，在数学解题过程中运用解题反思完善自己的数学知识体系、提高自身的思维水平，实现学会学习的目标。

关键词：小学高年级，数学解题反思，解题反思能力

一、数学解题反思的重要意义

在《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》中，明确界定了核心素养，即学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。数学是一种理性的精神，它追求的是真理，促进人们认识世界和发展自己。通过不断的批判和反思，探索知识的真正内涵。《数学课程标准》指出：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、反思与建构等思维过程;能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性;通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验;学生只有明确了解题的目的，通过解题反思将知识、方法、策略内化成自身的经验，才能提高学生的解题能力，提升学生的思维能力。

二、数学解题反思的概念界定及理论

数学解题反思就是学生对整个数学解题活动的“再认识”。具体而言，指的是对题意、知识、思想方法、拓展等各方面的反思，在不断地解题反思中，改进解题思路、把握解题规律、优化解题结果、总结解题经验、拓展解题方法等，进一步加深对数学问题的了解，提高自身的思维水平。

建构主义的教育理论的主要观点就是，知识不是通过感官或交流被动获得的，而是通过认识主体的反省抽象来主动建构的。数学解题反思是建立在学生已有的知识结构上的，学生在解题后对解题过程、解题方法、解题结果等进行反思，其本质就是自我的沟通过程，也就是重新建構知识体系的过程。董奇教授认为元认知概念包括三方面：元认知知识、元认知体验、元认知监控。如果教师在数学解题教学中，能够运用元认知理论去指导学生进行自我评价和自我调节，引导学生培养解题反思能力，养成反思习惯，那么学生会有更好地学习主动性、自主性、自觉性。波利亚在他的《怎样解题》中提出了解题过程的四个基本步骤，即理解问题、拟定方案、执行方案、回顾这四个步骤。第四步回顾是最重要且有益的环节，回顾即反思，通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，能巩固知识，并培养他们的数学解题能力。

三、小学数学解题反思的内容

在我们的教学中，教师们也经常会让学生反思，但大多只是回顾解题过程，或者摘抄错题等等，并没有系统地引导学生反思，更不清楚学生们应该反思什么，这就导致学生的反思流于表面，并没有很好地促进学生能力的发展。因此，教师先了解小学数学解题反思的内容，才能更好地引导学生学会反思。

（一）反思解题的过程

反思解题的过程就是要求学生回顾从解题开始到结束的每一个步骤和相应心理活动，实现认知监控，培养元认知能力。

1.反思题意的理解过程

反思题意的理解过程就是要求学生重新思考自己从题目中获取的信息是否准确、全面、深刻，信息之间有何关系，关键的信息是什么，哪些信息被遗漏、被忽略，哪些信息是多余、被隐藏的信息，信息理解不准确的原因是什么等。

例题：一本书共270页，王强前3天看了78页，后4天每天看了20页。他一共看了多少页？

师：从中你得到了哪些信息？

生：一本书共270页，王强前3天看了78页，后4天每天看了20页。

师：要解决什么问题？

生：他一共看了多少页？

师：你打算怎么列式解决？

错误方法一：78+20=98（页）错误方法二：78×3+20×4=314（页）

学生出错的原因就在于没有抓住题干的关键词，没有弄清题意就开始盲目做题，这时就应该引导学生抓住关键句和关键词进行解题反思。

师：你认为问题中有没有关键的词？

生：有，“看了”，我们要解决的是“看了”多少页。

师：那题目中的信息都要用到吗？

生：不是的，一本书共270页，这个信息是多余的。

师：“王强前3天看了78页”是什么意思？

生：就是前3天一共看了78页。

师：“后4天每天看了20页”又是怎么理解呢？

生：这里的20页是每天看20页，不是这4天的看的，这4天一共看了多少页，还得算一算。

学生针对问题中的关键词“看了”的理解，排除了一个多余信息。通过对两个关键句的理解，学生明白了第一个信息的78页是3天一共看的，而第二个信息的20页是“每天”看的。通过题意理解过程的反思，促使学生学会审题，弄清题意给解题奠定正确的基础，使她们的审题能力获得显著提升。

2.反思解题的探索过程

在解决一个数学问题时，往往不是马上就产生明确的解题思路，而是通过不断地尝试、推演，反复分析思考，才能是问题解决不断地明朗和具体。反思解题的探索过程其实是对信息进行加工的过程，即重新思考信息的检索、提取、组合及重新组合的过程。思考在探索过程中走过哪些弯路，为什么会遇到困难：是信息把握不准确，还是被浅层信息所迷惑？是单一地看待问题，还是将问题进行了分割？是思维方向单一，还是自我条件设置？特别是对探索过程中出现的灵感、直觉思维要充分挖掘，仔细分析，才能是探索过程变得具体化，从而应用于平时的解题中。

例题：求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

师：我们来回顾一下是怎么找到求长方形ABCD的面积的。

师：首先，要求长方形的面积，需要知道什么？

生：长方形的长和宽。

师：但是从图中的数据，我们无法确定长方形的长和宽（学生在刚开始解决这个问题时，由于对求解长方形面积方法的方向单一性，只想到了要求长方形的面积，就必须知道长方形的长和宽，导致解题思路中断。）。

师：我们能从图中观察到什么？又能求出什么呢？（需要重新对题目进行思考，对于所给的信息进行再次加工，探索解题思路。）

生：从图中我们观察到有一个直角三角形，并且知道底和高分别是6厘米和8厘米，那么就可以求出三角形的面积等于12平方厘米。

师：求出来是否有用呢？这个三角形跟长方形有什么关系呢？我们求一个图形的面积，还有什么方法呢？（面对第一种常规思路无法解决问题时，我们就需要打开思路，重新探索解决方法。）

生：求一个图形的面积，我们还可以对图形进行割补。

师：通过我们对长方形进行分割的尝试，我们可以观察到三角形的面积正好是长方形面积的一半，从而求的长方形的面积。

学生从一开始的无从下手，到思路的慢慢显现，反思解题的探索过程，让学生再一次系统地经历求解的过程，帮助学生学会思考，将这样的探索过程迁移到别的问题解决上。

3.反思推理过程

推理是从一个或几个一致的判断得出一个新的判断的逻辑方法。反思推理过程就是重新思考逻辑基础是否充分，得到了怎样的新判断，整个推理的过程是否严谨、周密。教师先是引导学生展开推理，然后通过反思推理的结果，利用问题串的形式，进一步提升对小数的意义的认识。使学生收获的不仅仅是知识，还有推理的方法、经验和思想。

4.反思运算过程

运算能力是小学生高年级学生的一个重要能力，反思运算过程就是要检验整个运算过程，思考用到了什么运算法则，运用是否得当，有无增、减、漏、笔误等情况，运算过程是是否简便，运算方法是否可以推广等。

例题：典型错题

师：这道题，运用了什么运算定律？

生：乘法分配律。

师：你认为用的对吗？你有什么想说的？

生：不对，原来是99乘17，怎么变成100乘17了，

师：你认为这道题错误的原因是什么？

生：不能看到99就把99变成了100，不能改变数的大小，不然结果就会变化。

师：那应该怎么联系99和100呢？

生：将99变成100-1。再利用乘法分配律进行计算。

这样的错误做法在学生中很常见，学生总是片面的觉得要把99变成100，而忽略了简便计算的前提是不改变结果的大小。只是盲目地凑整，仅仅只知道计算的结构上，而并没有理解算式的意义。让学生去反思自己运算过程，明确错误的原因和改正的方法，从而加深对简便运算、乘法分配律的认识和运用。

5.反思语言表述过程

数学有其獨有、特殊的语言符号。反思数学语言表述过程，就是重新思考符号、公式的表意是否准确，使用的数学语言是否正确，语言的表述过程可否简略等。

在学生展示并说明了不同的解题思路后，首先，教师可以提问学生：这几种方法和思路你都听懂了吗？你觉得都对吗？如果是对的，为什么对？如果是错的，错误的原因什么？其次，比较几种正确的解题思路，教师可以提问学生：这几种思路的相同之处是什么，又有什么不同的地方？哪种方法更加简便？对你又有什么启发？

通过问题串的形式，引导学生理性地的思考自己的思维过程和表达过程，合理的质疑，帮助学生形成自觉反思的意识，养成理性思考的习惯。

（二）反思解题涉及的知识

认识数学对象的过程，不是一蹴而就的，而是需要在一次次的数学活动中不断地认识再认识。在不同在情境下，同一个数学对象的本质特征是不变的，但是表现出来的形式却多种多样。通过在不同情境下对同一数学对象进行反思，可以提高认识的水平，产生更多新的认识，不断丰富和完善自己对数学对象的理解。

1.反思知识的理解

反思知识的理解就是重新思考解题过程中涉及的概念、公式、法则等，反思解决问题的关键知识是什么？对涉及到的知识是否理解清楚准确？各概念之间的有什么关系？公式、法则等成立的条件如何？更多地思考还有哪些知识没有掌握，没掌握的原因是什么，是否对原有的知识有个新的认识等。

2.反思知识的运用

同一个概念可以以不同的形式呈现在不同的情境中，同一公式、法则也可以运用于不同的情形。反思知识的运用，首先，要回顾知识运用的情境，以促成知识的迁移;其次，要思考如何运用知识解决问题，是否对数学知识做到了活学活用;最后还要思考知识运用的灵活程度与熟练程度。

例题：六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加的人数的比是3：4。六年级一共有多少人？

师：在解决这道题时，我们用到了哪些知识，你是如何理解的？

生：用到了分数的意义，把六年级总人数看成单位“1”;用到了比的意义，参加的同学与未参加的人数的比时3：4;我们可以分数乘除法来解决这类问题。

师：解决这样类型的题，关键的知识是什么？

生：找到一个具体的量除以所对应的分率，就能求出单位“1”的量，也就是六年级一共有多少人。

师：我们是怎么找到具体的量和它所对应的分率的？

生：具体的量题目中已经告诉我们了，而对应的分率需要从题目中算出来。

师：在求对应的分率时，你用到了什么知识来解决？

生：六年级的总人数是不变的，而参加的人数改变了，原来是总人数的，现在是总人数的，所以参加的同学就多了。

师：最后用分数除法列式计算：（人），就能求出六年级一共有多少人。

基本上每个学生都明确知道求单位“1”的方法，但是当题目中所给的信息无法直接解决问题时，这就需要学生灵活的运用所学的知识。经过这样的对知识运用的反思，让学生对这一知识有了更深刻的理解，进一步提高运用知识的能力。

（三）反思数学思想方法

反思数学思想方法是数学解题反思的一个重要内容，对数学思想方法进行挖掘和提炼，帮助学生对数学思想方法的领会、掌握和运用，从而提高学生的思维水平和数学能力。

1.反思解题所涉及的思想方法

每种数学思想都不是出现在某一道特定的数学题中，往往出现在具体的解题过程之中。反思解题所涉及的数学思想方法，就是重新思考和探究在解题过程中用到了哪一种数学方法，该类方法运用的原理是什么，反映了什么数学思想，这种数学思想可以具体表现在哪一类情境中。

2.反思數学思想方法的具体运用

反思数学思想方法的具体运用就是要重新思考解题的方法和策略的运用过程、运用是否合理，具体的运用程序、运用的背景和特点、在运用的过程有哪些注意事项等。还可以反思数学思想方法的指导下数学知识，如何用数学思想和方法统帅具体问题的解决。

教学片段：

例题：客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，8小时相遇，相遇后又行了6小时，这时客车到达乙地，问货车还要几小时才能到甲地？

解法一：以全程为单位“1”。

先算客车行驶完全程需要多少小时：（小时）

再算货车的速度：

再算货车行驶完全程需要多少时间：（小时）

最后算出货车还要几小时才能到甲地：（小时）

解法二：先算客车行驶完全程需要多少小时：（小时）

再算，行驶同样的路程，货车所用的时间是客车的多少倍？

再算货车行驶完全程需要多少时间：（小时）

最后算出货车还要几小时才能到甲地：（小时）

师：在解决这道题时，我们用到了两种方法，你认为最关键的是什么？

生：画出线段图。

师：画出线段图后有什么好处？

生：我可以一眼就能看出，客车行驶完全程用了14小时;同样一段路程，客车用的时间是6小时，而货车用了8小时;

师：你知道借用线段图解决问题的方法叫什么吗？

生：数形结合法。

师：是的，关于行程问题，在读完题却没有解题思路时，我们可以借助画线段图，利用数形结合的方法帮助我们理清数量关系，从而解决问题。

（四）反思数学问题之间的联系

新的数学问题的解题过程中，必然与一些做过的题或者似曾相识的有一定地练习，所以在解题后要可以进行必要的收敛性思索，对这些有联系的问题一起进行反思，并概括出某种规律或经验，引导学生进行举一反三，以达到融会贯通的目的。

1.反思问题情景的联系

反思问题情景的联系就是要回过头去思考问题的情景、问题的呈现形式与曾经遇见过的哪些问题有什么相同之处，又有何不同之处，探究其是表面上的相似还是本质上的相似。

2.反思方法间的联系

反思方法间的联系就是要回过头去思考在整个解题过程中用到的策略、方法是否在过去的解题中运用过，对比前后的运用，是否存在差异，是否有规律可寻，得到的规律能否推广，不同的解法之间又有什么样的联系和区别等。

教学片段

例题：一个笼子里，鸡和兔子一共有7只，共有脚22只，鸡和兔子各有几只？（复习课）

教师呈现新课教学中的四种方法：画一画、列表法、算一算、解方程。

环节一：沟通画一画和列表法。教师画一步，学生填表。

环节二：沟通画一画和算一算。教师画一步，学生算一步。

环节三：体验画一画和解方程。

环师：请你仔细观察这四种解法，说说你的看法？

生：这四种方法其实是一样的，只是呈现的方式不一样。

师：是啊，都用到了“假设法”。

学生经历了对四种方法的再思考再沟通，通过反思，发现四种解法只是表达形式的不同，而内在的本质是一样的，都是用到了“假设法”来思考问题的。从而将只关注表面的数学知识和技能，发展为更多地关注学生的深度学习，比如思想、策略和方法等。

（五）反思是否可以拓展延伸

在解题之后，不仅要进行收敛性思考，还可以拓广，进行发散性思考。

1.解题思路的拓展延伸

同一个数学问题，如果从不同的角度去思考，或者对信息采用不同的组合加工形式，那么在解题过程中所使用的解题策略、方法就不同，从而蕴含的数学思想也会有所不同。在完成解题后，不要拘泥于一种解题方法或解题模式，而是要多角度、多层次的探索不同的解题思路。在得到一题多解以后，比较各种解法之间的相同和不同之处，寻求最简单、最自然、最合理的解题途径。

2.问题本身的拓展延伸

学生不仅要具备解决问题的能力，也要学会发现问题，更要学会提出问题，以提出问题为起点进行进一步地思考。这就要求对问题本身作更高层次的反思，求变求推广。从问题本身出发，能否推出更一般或更特殊的问题;改变、删减问题的条件，扩大或缩小条件的范围，进行一题多变;提出开放型、探究型的问题等。以达到在变中求“活”、求“异”、求“新”、求“广”。

教学片段：

例题：比较和的大小。

解法一：分母通分，，所以。

解法二：化为小数，，所以。

解法三：化为同分子分数：，，所以。

师：反思问题的特征，问题与结论的联系，能发现什么规律？（小组讨论）

生：这两个分数的分子相差2，分母也相差2。

师：你认为像这样，分数的分子和分母相差一样多时，他们之间有什么样的大小关系？

生：分子和分母比较小的那个分数就小，分子和分母都比较大的那个分数就大。

师：同学们说的很有道理，其实啊，还有个前提，这样的分数必须是真分数。也就是一个真分数的分子和分母同时加上一个相同的数（零除外），这个真分数就就会变小。

师：你能举例来说一说吗？

在复习完三种分数比较大小的方法后，再回去思考问题，从问题出发去发现一个规律，以此规律再来判断分数之间的大小关系，拓广了解题的思路，也可以将此“新”解法推广。

（六）反思解题的情感与态度

对于小学高年级学生来说，反思解题涉及的知识、方法、思路等都是比较常见的，但却往往忽视了解题的情感与态度。事实上，在学生的整个解题的过程中，不仅有知识的存在，也有情感和态度的参与，缺乏解题情感和态度的反思显然是不完善的。因此，在引导学生反思知识、方法，形成新的认知结构的同时，还应该营造反思解题态度和情感情境，以催化、强化积极的解题反思的情感和态度，从而完善认知、健全品格，促进学生全面发展。

师：同学们，今天这节《百分数的应用》你感觉学得怎么样？如果从“满意”和“遗憾”这两个角度来评价自己，你能用百分数来说一说吗？

生1：满意占100%，没有遗憾。因为我觉得百分数很好理解，今天的题我都会做，而且速度很快。

生2：满意占80%，遗憾占20%。因为有一道题，我因为没理解题意，最后列算式列错了。

生3：满意占50%，遗憾站50%。因为这节课，我有一些题没有做出来，但是听了同学的发言和老师的发言，我弄明白了。

师：看来，大部分同学既有满意的地方，也有遗憾的地方，希望同学们可以多多思考满意什么，又有什么遗憾。争取满意多一点，遗憾少一点。

数学核心素养的培养，源自学生的思考和质疑，反思和解题反思正是一项重要的思维活动，教师要引导学生不断地进行反思、带着问题去思考和探究，多角度地观察、联想，从而寻求更多的思维方式。只有这样，才能真正提高学生的思维能力和创新意识，发展学生的数学核心素养。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（实验）[M].北京：北京师范大学出版社，2011

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2011

[3]波利亚著.李心灿译，怎样解题[M].北京：科学出版社，1984

[4]殷群.论数学解题反思及其能力培养[D].南京：南京师范大学，2004

[5]林婷.培养学生反思能力的教学实践[D].福建师范大学硕士学位论文，2003