解答圆锥曲线中定直线问题的两种思路

2021-11-24顾培松

语数外学习·高中版中旬 2021年4期

关键词：关系式动点定值

顾培松

圆锥曲线中的定值问题一直是高考数学中的热门题目之一，常常涉及了定点、定直线、定面积等.圆锥曲线中的定直线问题较为复杂，且运算量较大，属于一类难度较大的问题.本文通過对一道圆锥曲线定直线问题的分析，探讨了求圆锥曲线中定直线问题的两种思路.

例题：已知抛物线Cx2= 2py（p>o）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C交于A、B两点，IABl=8，若点D（l，2）的直线l与C交于M、N，点Q是MN的中点，QR⊥x轴交C于点R，已

（1）求抛物线C的方程;

（2）求证：动点T在定直线上，并求出定直线的方程.

本题主要考查了抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系以及定直线问题.第一个小问题较为简单，我们根据题意设出直线AB的方程以及点A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，借助韦达定理即可求得p的值以及抛物线的方程C：X2= 4y.这里主要讨论第二个小问题的解法，我们可以从设参数、借助相关点两种思路进行思考.

一、利用参数法求定值

运用参数法求圆锥曲线中的定直线问题，需首先根据题意引人参数，用参数表示经过定直线的动点，将其代入已知条件中并根据问题所给的条件建立关系式，如将直线与圆锥曲线的方程联立消去其中一个参数得到一元二次方程式、方程的根与系数的关系式等，然后消去参数，即可得到定直线的方程.

证明：由题意可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为

解答该题主要运用参数法，首先引入参数K，设出直线L的方程，然后根据问题所给的条件求得相关直线和点的表达式，用这些含参数K的关系式求出动点T的坐标，消去参数k就能得到定直线的方程.

二、利用相关点法求定值

相关点法适用于解答一个点的运动变化引起另外一些点的运动变化（这些点具有相关性）的问题.在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入已知的曲线方程和直线方程巾，便可求出定直线的方程.

证明：设

由QR= RT可得R点是QT中点，

又

R点在抛物线C上，

X2 =2（y5+y），即-x+4+2y=0，

动点T在直线x-2y-4=0上.