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构造函数,解答复杂不等式问题

2021-11-24吴必潜

语数外学习·高中版中旬 2021年4期
关键词:奇函数指数函数单调

吴必潜

在解题时,我们常常会遇到一些较为复杂的与导数有关的不等式问题.由于此类问题中一般含有导数,我们很难快速求得函数的解析式,此时可考虑根据导数的运算法则构造函数来进行求解.其中,特殊指数函数y=e x在导数运算中有一个特殊的性质:(e x)y=e x,在解答与导数有关的不等式问题时,我们可以巧借这一性质来构造函数,根据导数的运算法则来解题.

例1.设函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,f'(x)+f(x)>0,则对任意正数a,必有(

).

A.f(a)>e a f(0)

B.f (a)

c.f(a)

D.f(a)>f(0)/fe a

解:构造函数g(x)=e xf (x),

因为f'(x)+f(x)>0,所以g'(x)=e x[f'(x)+f(x)]>0,

所以g(x)在R上单调递增.

又a>0,所以g(a>g(0),即ea f(a)> eo f(0),

所以f(a)>f(0)/e a故選D.

当遇到形如af'(x)+bf(x)的不等式问题时,可巧借指数函数y= ex的性质,并结合导数“积”的运算法则(uv)'=u'v+uv',构造函数ke xf(x),利用函数的单调性解题.本题就是借助指数函数y=e x的性质来构造函数g(x)=e xf(x),在判断出函数g(x)的单调性后,结合a与0之间的大小关系,得出结论.

例2.已知定义在(0,+∞上的函数f(x)的导函数为f'(x),若矿xf'(x)一(1+x)f(x)>0,且f(1)=e,其中e为自然对数的底数,则不等式f(lnx)

).

A.(0,e)B.(e,+∞)

C.(1,e)

D.(0,1)

解:由xf'(x)-(l+x)f(x)>0构造函数g(x)=f(x)/xe x

(x>0)

则g'(x)=

所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.

因为由函数f(x)的定义域可知Inx>0,即x>l,

由不等式.f(Inx)

<1,

,即g(lnx)

于是可得O

当遇到形如af'(x) - bf (x)的不等式问题时,可巧借指数函数y=e x的性质,并结合导数“商”的运算法则

,灵活构造函数

,然后利用函数的单调性求解.

例3.已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x<0时,f(x)满足2f(x)+xf'(x)

A.0

B.1

C.2

D.3

解:当x<0时,不等式2f(x)+xf'(x) X2f(X),也等价于[2xf(x)+x 2f'(x)].e x- x2f(x)·(ex)'>0.于是想到导数“商”的运算法则,构造函数g(x)=,

当x<0时,g'(x):

>0.

所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递增;

当x<0时,g(x)

根据f (x)是R上的奇函数知:当x>0时,由-x<0得f(-x)<0,此时f(x)=-f(-x)>0.

又厂(0)=0,故f(x)在R上只有一个零点.故选B.

利用构造函数法求解本题,需要先对不等式2f(x)+xf'(x)

综上所述,借助指数函数y=e x的性质来构造函数解答不等式问题的关键在于:(l)明确指数函数y=e x的性质;(2)灵活运用导数的运算法则;(3)巧妙利用新函数的单调性.

(作者单位:宁夏石嘴山市第一中学)

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