例谈求圆锥曲线离心率的三种方法

何广

离心率是圆锥曲线的基本性质.求圆锥曲线的离心率问题在解析几何中比较常见，主要考查圆锥曲线的方程、简单几何性质.笔者总结了求圆锥曲线离心率的三种方法，以帮助同学们提升解答此类问题的速度和正确率.

一、公式法

公式法是指利用圆锥曲线的离心率公式e=

来解题的方法.在运用公式法解题时，首先根据题意和圆锥曲线的方程求出a、b、c的值或相关的关系式，然后利用圆锥曲线的离心率公式e=

来求得结果.

例1.点P（一3.1）在椭圆

=l（a>6>o）的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线经直线y= -2反射后通过椭圆的左焦点，求椭圆的离心率.

解：由题意可知，入射光线的直线方程为y—l=一

（x+3），

其反射光线的直线方程为5x-2y+5=0，

解得a=

，c=l，

故：=

本题不仅考查了圆锥曲线的准线方程、离心率、焦点坐标以及对称问题，还考查了物理中的反射问题，题目的综合性较强.解答本题的关键在于结合题意求出左焦点的坐标，建立关于a、c的方程，然后利用圆锥曲线的离心率公式求得结果.

二、齐次式法

运用齐次式法解题的基本思路是，首先根据问题的条件找到建立关于a、b、c的关系式，然后构造出有关a、c的二次齐次式，得到关于e的方程，解方程就可以求得圆锥曲线离心率的大小.运用齐次式法求圆锥曲线的离心率，能使解题的思路变得更加清晰.

例2.设双曲线

=1（o

解：由题意可知直线L的方程为bx +ay-ab =0，

由点到直线的距离公式可得

，

C2 =a2 +b2，

4ab=

，

將上式两边平方可得16a2（c 2一a 2）= 3 c4，

左右同时除以n2可得3e4一16e2+ 16=0，

解方程可得。e 2=4或 e 2=

又o

，

e2 =4.e=2.

齐次式法是求解圆锥曲线离心率的常用方法之一.在上述解题的过程中，对有关a、b、c关系式的整理和化简是解题的关键.

三、定义法

在求解圆锥曲线离心率问题时，我们经常要用椭圆的第二定义来解题.圆锥曲线的第二定义是动点到焦点的距离和动点到准线距离之比等于离心率.定义法一般适用于解答与圆锥曲线的准线有关的问题.

例3.设椭

a>0，b>0）的右焦点为F1.右准线为L1，若过F1垂直于x轴的弦长等于点F1到L 1的距离，则椭圆的离心率为____.

解：根据题意作出如图所示的图形，其中AB是过点F1且垂直于x轴的弦，

因为AD

于D，所以IADI为F.到准线f.的距离，

根据椭圆的第二定义可得

解答本题，我们直接利用了椭圆的第二定义.画出恰当的图形，作出动点到焦点的距离和动点到准线距离对应的线段，是运用定义法解题的关键.

总之，公式法、齐次式法、定义法都是能有效解答圆锥曲线离心率问题的方法.值得注意的是，运用公式法、齐次式法解题，需要熟练掌握一些恒等变形的技巧;运用定义法解题，需结合圆锥曲线的定义画出正确的图形.

（作者单位：山东省郓城县实验中学）