“四何”模式下离散数学的教学实践探索——以欧拉图为例

覃雪清

(桂林信息科技学院，广西 桂林 541004)

离散数学作为一门与计算机及其相关专业的一门专业必修课，在计算机理论及软硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。计算机相关专业学生的知识技能及相关行业的开发研究都与之有着密不可分的联系[1]，同时学生抓住事物本质的能力和严密的逻辑思维方式离不开离散数学的学习，但是离散数学的课程学习有一定的难度。该课程内容主要包括集合论、数理逻辑、代数和图论四个相对独立的模块。其理论性强、内容丰富、高度抽象以及逻辑严密的课程特点会大大地降低学生的学习兴趣。同时模块之间内容繁多，内容相对独立的特征导致学习过程中无法形成合理的知识概念地图，学生无法将前后知识联系起来，增加了课程学习难度。针对此课程的特点，文章提出“四何”学习模式，以期能够增加学生的学习兴趣，能有助于离散数学的学习。

何为“四何”理论？周莹教授基于系统论和连贯性理论，提出“从何？→是何？→与何？→如何？→变何？→有何？”的认知方法论[2]。周莹教授的“六何”理论在很多文章和实践中得到了应用，如：张国玭就高中数学特点在 “六何”理论基础上进行了创新，提出“六何三线”理论的课堂教学模式[3]，该模式有利于提高学生数学成绩以及培养了学生的自省能力；周莹、黄翠平在“基于“六何”认知策略的数学教学反思—以平方差公式为例”中提出 “六何”认知策略[4]，此认知策略在保障教师的教学反思体系理论性和指导性的同时，还可以有效地形成教师的反思教学系统。

为更清楚明了地阐述“六何”理论，以如图1所示的框架图表示“六何”。

图1 “六何“理论基本框架

从周莹教授的“六何”理论以及文献[3]、[4]中“六何”理论的应用得到启发，并结合离散数学的课程特点，在初阶的离散数学学习中，教师更关注其中的“四何”，即“从何→是何→如何→有何”。参考曾红中“结构教学+专题教学”教学法[5]文章以离散数学中欧拉图为例，对“四何”学习模式进行具体分析。

一、“从何”

在学习任何新的知识点之前，学生都应了解知识点的来源及其发展历程，也就是“四何”理论中强调的“从何”。瑞士数学家欧拉在研究哥尼斯堡七桥问题[6]时最先形成欧拉图的概念。哥尼斯堡的一个公园里，七座桥a,b,c,d,e,f,g将普雷格尔河中两个岛A岛与B岛及陆地C，D连接起来，即如图2所示。问题是：能否从A，B，C，D任一地点出发，有且仅一次通过每座桥并能成功回到原点？欧拉采用“现实—数学”的建模手段经过探索于1736解决了著名的七桥问题，由此开启了图论—欧拉图的这一数学分支。欧拉把该问题归结为三个字，即能否对图形进行“一笔画”，也就是将现实生活中的七桥问题抽象成数学图形，这个便是数学模型构建的过程。欧拉此举架构起了现实与数学之间的桥梁，并且欧拉成功地利用图3证明了上述所说的“一笔画”走法是不可能实现的。

图2 七桥示意图

图3 七桥问题图形

在学生学习欧拉图之前，需先了解欧拉图的来源，即知识点的来源，了解一定的知识背景，知其源方得其法。这样不仅能够提高学生的数学素养，还能帮助学生进行知识点的记忆，对于后续给出的欧拉图的概念能加深理解。在进行欧拉图的学习之前，可以以这个趣味小故事引入，从而诱导学生的思考——满足什么条件的图可以从某一个点出发有且仅经过每一条边还能回到起点？经过图中每条边一次且仅一次的回路称为欧拉回路，含有欧拉回路的图被定义为“欧拉图”[6]。

二、“是何”

由“从何”学生已经对欧拉图这个概念印象深刻，并且诱发了一系列问题，即什么样的图才是欧拉图，是不是所有的图都是欧拉图，是否存在一个方法能够简单且快速地判断出图形为欧拉图？接下来进行“是何”环节，即需要探索知识点的本质是什么，包括欧拉图的含义，欧拉图的判定方法及其证明方法。由上易知，图形有两大要素，即边和结点。要进行深入研究欧拉图及其性质特点，那么便离不开这两大要素。为了更好地探寻知识点的本质，首先应该了解以下两个定义。

定义1[7]：以结点v作为端点的次数称为结点v的度数，记为deg(v)。

定义2[7]：从结点v出发回到结点v的路径称为v的一条回路。

由上，给出了欧拉图的概念，即如果一个图形存在一条经过图中每条边有且仅有一次的回路，那么这类图形称为欧拉图[7]。如何快速判断一个图形是否为欧拉图呢？经过对欧拉图的不断深入研究，得到相对完美的答案——无向连通图为欧拉图当且仅当所有的结点度数均为偶数[7]。利用此结论可以判断图2是否为欧拉图：

deg(A)=3，deg(B)=5，

deg(C)=3，deg(D)=3

由上可知，每个结点度数均为奇数，不符合条件，即七桥图不是欧拉图。学生可以按上述结论再进行判断下图是否为欧拉图。

图4 图的示例

三、“如何”

在经过“从何”与“是何”后，到了“如何”，即如何利用已学知识应用到现实生活中。欧拉图的运用非常广泛，而中国邮路[8]就是其中一个典型的应用。我国数学家管梅谷于1962年首先提出中国邮路问题，并得到了此问题的一种求解方法。该问题是，邮递员从邮局出发在他管辖范围内投递邮件，然后回到邮局。显然，邮递员必须且至少经过他管辖范围内的每一条街道一次，并希望能找到一条尽可能短的路线。如果将此问题抽象成图论问题，就是给定一个连通图，连通图每条边都有权值(距离)，如果这个图是欧拉图，那么便能够寻找到其中的一条欧拉回路；如果这个图不是欧拉图，那么现实中邮递员就重复走某些边。将这些重复的边抽象成图论中的边，则是以平行边的形式出现，重复走几次，就添加几次。则把这样的问题转化为：在一个含有奇度数结点的赋权图增加一些平行边，使得原图不再含有奇度数结点，并且增加的边总权值最小[9]。这样的做法就完成了由非欧拉图到欧拉图的转变。变成欧拉图后，再利用Fleury算法[10]，即可找出欧拉回路。以下附上Fleury算法：

设G为一无向欧拉图，求G中的一条欧拉回路算法为：

1.任取G的一个顶点v0为起始结点，并令L0=v0；

2.设已选好的简单通路为L0=v0e1v1e2v2…eivi，按下面的方法从E-{e1,e2,e3,…,ei}中选取边ei+1(ei表示图G中的边，E表示图中G的边集，G′为从G中删除边集{e1,e2,e3,…ei}得到的图)；

(1)结点vi是边ei+1的端点；

(2)除非无其他边可选择，否则删除边ei+1不应该改变图G′的连通性。

3.当2不能进行时(所有边已选择)，算法停止。其中，ei表示图G中的边，E(G)-{e1,e2,e3,…,ei}

四、“有何”

每一次的学习都应该贯穿“反思”，古人有云，吾日三省吾身，不仅为人处世上需要反思，学习也需要反思和总结。从上述的学习中，有什么收获？有何感受？还有什么困惑吗？若存在困惑，下一步该怎样解决这个困惑呢？由欧拉图概念的给出，其实很容易思考出另一问题，也就是离散数学中继欧拉图后另一类经典图—哈密顿图。欧拉图是至少存在一条走遍所有的边并且不走相同边的回路的图，那么如果存在一条经过图中所有结点有且仅一次的回路的图又称为什么图呢？这样的图是否一定存在？显然，这类图是存在的。如果存在，能否也如欧拉图一般存在一个简单的判断此图的方法，这类图在现实中又有什么样子的应用呢？由上述反思过程可知，学生不断地对知识点进行整理学习不仅可以获得更深层次的知识点，并在此过程中无形增强了学生思维力度和高度并提高学生归纳的能力，而且能够引发新的知识点—哈密顿图[11]。从而，在学生对离散数学中的图论这一模块形成了一个基本的知识体系，知识点也不再枯燥无味、孤立离散。参照欧拉图的“四何”学习模式，学生可以继续学习哈密顿图。在这个以老师为辅，学生为主构建知识体系过程中，学生不仅获得了新的知识点，并且情感体验上有很强的满足感，从而有更大的兴趣去进行更多的知识探索。从这一反思过程中，不断对自身知识进行管理和添加新的知识点，从而形成一个庞大的知识体系，为后续学习和工作做好准备。

结语

文章以欧拉图这个知识点为例，具体讲解了如何利用“四何”理论进行学习，不仅适用于学生的学习，也适用于老师的备课。希望“四何”学习模式能够给予学生学习上的一些启发，能够有效高效地进行学习，学会融会贯通，举一反三。进而也得到一个启发，“四何”学习模式不仅仅可以应用于图论的学习，也适用于其他学科的学习中。给出以下的思维导图(图5)以便更好地表达文章中心内容。

图5 欧拉图的“四何”学习模式

由图5可知，“四何”学习是一种相互渗透，相互影响又属层层递进的关系。 由“从何”提出问题引发思考，从而探究“是何”，在“是何”获得知识本质后，解决“如何”，最后收获属于自己的知识与学习知识体会—“有何”。这是一个完整的且贴合实际应用的学习方法指导，期望“四何”学习理论能够给学生在学习过程中一些启发。