复数与三角齐飞 共轭与模长联袂

摘要：复数一直是高中数学联赛和自主招生数学考试中的命题热点，其中模长问题又是历年考查的重点.而复数的模长与共轭复数联系紧密，经常联袂出演，利用共轭复数解题可以起到四两拨千斤的效果.复数的三角形式也进入了新教材，用三角形式解题可以减少计算量，洞悉题目本质.

关键词：复数;共轭;模长;三角形式

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0066-02

一、源于教材，高于教材

在原来的旧教材人教A版选修2-2中，对复数的模长与共轭提及甚少，只是简单的介绍，不太重视.而在2019年人教A版第二册中，复数的地位得到提升，不仅给出了求复数模长的训练题，还给出了与数形结合有关的思考题;在2019年全国Ⅰ卷数学试卷中，选择题第2题复数也改变了以往的常规考法，创新了命题方式，2020年的全国Ⅰ卷理科15题也是.具体题目展示如下，由于题目简单，详细解答略.

在新教材2019年人教A版第二册中则增加了复数的三角表示，而且内容详实，“三角表示”本是竞赛数学的内容，如今也渐渐走入教材，无不凸显复数地位的提升. 复数本身就是沟通向量与三角函数的重要载体，所以对其进行深入学习，无论是对自招与竞赛考试而言，还是对有志参加强基计划的学生来说，都是大有裨益. 如果只是应对高考，课本知识足矣.但要应对更难的题目还远远不够.下面补充一些课本未曾提及的复数模长与共轭的性质.

二、共轭复数的重要性质

三、自主招生与竞赛真题解析

复数的三角形式已经进入新教材，高考对复数的考查难度也发生变化，未来复数在高考、自主招生、各类竞赛中的地位会越来越高，值得我们重视.本文主要展示共轭与模长的“联袂”解题以及复数三角形式的应用，而复数是沟通三角函数和向量的重要载体，它所包含的知识和性质数不胜数，笔者的研究只是冰山一角，还需砥砺前行继续研究，希望对读者有所帮助，文中若有不正之处，还望同行批评指正.

参考文献：

[1]刘诗雄.奥数教程高中第二分册[M].上海：华东师范大学出版社，2018.

[2]章建跃.普通高中标准实验教科书人教A版第二册[M].北京：人民教育出版社，2017.

[責任编辑：李璟]

作者简介：谢贤祖（1992.1-），男，广东省汕头人，本科，中学二级教师，从事中学数学教学研究.