例谈三类三角函数最值问题的解法

陈海燕

三角函数最值问题是各类试题中经常出现的题目.此类问题主要考查三角恒等变换的技巧以及函数图象、性质的应用，属于一类综合性较强的问题.常见的三角函数最值问题有三种类型：形如.下面，我们结合实例来谈一谈解答三类三角函数最值问题的方法.

一、形如 y =a sinx +b cosx +c 的最值問题

对于形如 y =a sinx +bcosx +c 的三角函数最值问题，需首先利用辅助角公式将三角函数式转化为 y =A sin（wx +?）+k 的形式，然后利用正弦函数的图象

和性质来求得三角函数的最值.由于函数的最值受函数定义域的影响，所以在求最值时，同学们要注意关注定义域的取值范围.

例1.

解：

该函数属于 y =a sinx +b cosx +c 型函数，需先利用辅助角公式将三角函数式化简，然后结合已知条件确定角 A 的取值范围，再利用正弦函数的有界性求得三角函数式的最大值.

二、形如的最值问题

形如的三角函数最值问题涉及二次式，首先设sinx =t ，将原函数转化为的形式，这样就将问题就转化成了关于t 的二次函数最值问题，根据二次函数的图象和性质便可求出原三角函数的最值.

例2.求函数（其中 a 为常数）的最大值.

解：

解答本题，首先利用诱导公式将函数式化简，然后通过换元，将三角函数式转化为关于 t 的二次函数式，分析二次函数的对称轴与定义域的三种位置关系，便可求得函数式的最值.

三、形如的最值问题

在求形如 y =a sinxcosx +b（sinx ± cosx）+c 的三角函数的最值时，需首先利用同角的三角函数关系式，将三角函数式转化为只含有sinx ±cosx的式子，然后令 t = sinx ±cosx，通过换元将原函数式转化为关于 t 的二次函数式，再根据二次函数的图象和性质就可以求得三角函数的最值.

例3.求函数 y = sinx - cosx + sinxcosx的最值.

解：设 t = sinx - cosx，

我们先设 t = sinx - cosx，将 x 替换出来，再利用同角的三角函数关系式将原函数式转化为关于t 的二次函数式，将问题转化为求二次函数的最值.

总之，三角函数最值问题的命题方式有很多，但无论遇到哪种形式的最值问题，同学们都要先利用三角函数中的基本公式对三角函数式进行恒等变换，将其化简为简单的三角函数式、二次函数式，然后根据三角函数、二次函数的图象和性质来求得最值.

（作者单位：江苏省启东市第一中学）