基于热约束的功率器件散热器成本最小化方法

赵文博， 应展烽， 宋新阳， 许芮豪

(南京理工大学能源与动力工程学院， 南京 210094)

随着光伏和风力发电技术的不断发展，功率金属-氧化物半导体场效应晶体管(metal-oxide-semiconductor field-effect transistor, MOSFET)和绝缘栅双极型晶体管(insulated gate bipolar transistor, IGBT)等功率器件已经在离网逆变器和并网变流器等电力电子装置中得到广泛应用[1-3]。受到导通和开关损耗作用，功率器件在工作过程中会产生一定热量。当散热性能不佳时，器件便会面临着严重的高温失效风险，并极易引发电力电子装置的热故障停机。为了提升器件散热能力和电力电子设备热可靠性，功率器件上需要加装散热器。

当前市面上常用的散热器一般为铝制或铜制散热器。在材料确定后，散热面积和质量便成为散热器的两个重要参数。其中，散热面积影响着散热器的对流热阻，而质量决定了散热器热容。对流热阻和热容又影响着功率器件的最高结温及其热时间常数。最高结温直接决定了功率器件是否会发生过温，而热时间常数则表征了器件的温升速率，影响着器件老化寿命。因此，散热器质量和散热面积均与功率器件的热安全性紧密相关。从理论上看，散热器质量和散热面积的取值越大，器件的热安全性则越强。但增大质量则会加大铜铝金属的投入，增加材料成本；而增大散热面积会复杂化工艺流程，增加加工成本。因此，散热器的质量和散热面积不能任意增大，否则将影响散热器的综合成本，进而影响整个电力电子设备的成本。尤其对于大功率电力电子设备而言，由于散热器结构复杂且质量较大，其成本将严重影响产品经济效益。

目前已有大量关于散热器设计或选型方面的研究。文献[4-6]分别通过有限元、神经网络以及热网络模型，对加装了散热器的功率器件进行热可靠性分析，所得结果有助于验证散热器选配的有效性；文献[7-8]对管片式散热器进行数值模拟，明确了翅片类型、参数及位置对散热器的散热性能影响；文献[9-10]利用有限元方法建立了热-流体耦合仿真模型，分析了极端环境下的功率器件及散热器热特性，并通过增材制造技术对散热器结构进行了设计。

上述研究表明，热分析手段可有效验证或修正散热器参数，使其满足散热设计要求。对不同散热器进行热分析和参数调整后，便可实现散热器的成本控制。然而目前缺乏针对散热器选型和设计的优化方法研究，这会在工程上导致两个问题。其一，散热器参数调整严重依赖人为经验，缺乏调整依据，存在盲目性。往往需要人为多次的反复迭代，才可能找到符合安全性和成本要求的散热器参数；其二，无法保证散热器参数的最优性。即便找到了满足器件热安全性要求的散热器参数，也无法保证该组参数能够使散热器成本最小化。

为了在不影响功率器件热安全性的前提下，充分实现散热器的成本控制，现提出一种散热器成本的最小化方法。该方法在功率器件热网络模型的基础上，以器件最大结温和热时间常数为热安全约束量，通过非线性优化算法，找寻最佳的散热器质量和散热面积参数，使散热器成本最小化。以期为散热器的合理设计或选型提供重要依据。

1 功率器件热网络模型

1.1 热网络模型结构

热网络模型是一种描述功率器件及其散热器热动态特性的有效方法。典型的热网络模型是一种结-环境模型，由结-壳热网络和壳-环境热网络两部分组成。以一个分立型功率MOSFET为例，图1给出了结-环境热网络模型的基本结构[11]。

P为器件损耗；Tj和Tc分别为器件结温和壳温；Th和Ta分别为散热器温度和环境温度；T1～Tm-1、C1～Cm和R1～Rm分别为结-壳中各节点的温度、热容和热阻；m为网络节点数；Cch为壳与散热器之间导热材料热容；Ch为散热器热容；Rch为壳与散热器之间导热材料的传导热阻；Rha为散热器与环境之间的对流热阻图1 结-环境热网络基本模型Fig.1 Basic model of junction-environment thermal network

该热网络模型可表示为

(1)

对式(1)进行离散化处理，得到该热网络模型的离散表达式为

(2)

由式(2)可见，当获得模型中损耗、热容和热阻等热参数后，再结合环境温度Ta测量值，便可有效估计任意时刻下的器件结温Tj。

1.2 模型热参数的确定

热网络模型中，器件损耗P是一个重要输入参数，主要由功率器件及其反并联二极管产生的通态损耗及开关损耗组成，相关计算方法与公式可参见文献[11-12]。结-壳热网络中的各热容C1～Cm和热阻R1～Rm等参数可通过器件厂家提供的数据手册中获得。尽管由于器件个体差异和老化程度影响，手册提供的热参数会存在一定误差，但其精度仍可满足大部分实际工程需要。

壳-环境热网络中的Cch、Ch、Rch和Rha等热容及热阻参数计算公式为

Cch=cchmch

(3)

Ch=chmh

(4)

(5)

(6)

式中：cch和mch分别为壳与散热器之间导热材料的比热容和质量；ch和mh分别为散热器的比热容和质量；dch、Ach和λch分别为壳与散热器之间导热材料的厚度、面积和导热系数；Aha和hha分别为散热器的散热面积和换热系数。

2 基于热约束的功率器件散热器成本最小化方法

2.1 功率器件的热约束

工程中，一般利用器件结温的最大值Tjmax及热时间常数τ来评价其热安全性。其中，最大值Tjmax是指器件在最大工作电流和保守散热环境下的最高结温，直接决定器件在极端条件是否会出现过温现象。由于器件在开关频率下的结温波动通常远小于其最大温升，故在散热设计阶段可忽略结温的高频波动[13]。此时，器件最大结温Tjmax可近似为稳态结温。依据式(2)可知，Tjmax的计算表达式为

(7)

式(7)中:Ri为结-壳中第i阶节点温度。

热时间常数τ是指器件结温变化到最终温度63.2%时所需的时间，表征了器件温升速率，影响着器件老化寿命。器件结-壳材料和导热材料分别具有质量小和导热系数高的特点，对热时间常数影响较小。因此，器件结温变化的热时间常数主要由其散热器热容和热阻参数决定，即

τ=ChRha

(8)

结合式(4)和式(6)，式(7)和式(8)可分别改写为

(9)

(10)

(11)

(12)

2.2 目标函数

为了最小化器件散热器成本，需要明确相关成本函数。一般情况下，散热器成本与质量和散热面积呈正比关系。其中，质量决定着物料成本，散热面积决定着加工工艺成本。为了便于分析，本文假设散热器成本与质量mh和散热面积Aha呈线性关系，即

C=amh+bAha

(13)

式(13)中：C为散热器成本；a和b分别为散热器质量与面积成本系数。

上述成本函数较为简单，但不影响对所提方法思想的有效性验证。未来实际应用时，也可将人工费、能耗费和废品率等因素考虑在成本函数中。

依据式(11)～式(13)，可在器件热约束下，构造散热器成本最小化的目标函数J：

(14)

令x1和x2为待优化变量，且有x1=mh，x2=Aha,则目标函数可改写为一般形式：

(15)

式(15)中：x=[x1,x2]T为待优化变量组成的向量；而r=[r1,r2]T为不等式约束向量，且有

(16)

2.3 优化解法

式(15)和式(16)表明散热器成本最小化问题本质为一个非线性优化问题。考虑到原对偶内点法是一种高效的非线性优化求解方法[14-17]，故利用该方法求解所提目标函数。

根据原始对偶内点法原理，式(15)所示目标函数存在拉格朗日函数：

(17)

式(17)中：z为拉格朗日乘子向量，z=[z1,z2]T，且有z>0；μ为障碍因子；s为非负的松弛变量向量，s=[s1s2s3s4]T；si为第i个松弛变量，i∈[1,4]。

再利用优化求解所需的一阶KKT(Karush -Kuhn-Tucker)条件，可得如下两个方程组：

(18)

(19)

对式(18)和式(19)进行计算，最终寻找到满足收敛条件的全局最优解，完成成本优化目标值的求解。

3 实例分析与验证

3.1 分析对象

以型号为IRFB4410PbF型功率MOSFET和5个常用的小型散热器为对象，对本文所提方法开展实例分析与验证。表1给出了数据手册中提供的功率MOSFET热网络模型参数；图2和表2分别给出了散热器的外形结构和规格参数。

表1 热网络模型中部分阶参数Table 1 Partial orders parameters in thermal network model

图2 常用的小型铝型材功率器件散热器Fig.2 Power device heatsinks for common miniature aluminum profile

表2 散热器规格参数Table 2 Specification parameters of heatsinks

3.2 验证与分析

经市场调研，散热器质量成本系数a和面积成本系数b分别可选取为15 元/kg和25 元/m2。由此可得各散热器生产成本，如表3所示。

表3 各散热器生产成本Table 3 Production cost of each heatsink

表4 散热器优化结果Table 4 Optimization results of heatsink

根据表4可知，A40型散热器与优化所得散热器参数最为接近。为对此结论进行验证，基于热网络模型对不同散热器下的功率器件结温进行估计，所得结果如图3所示。

图3 不同散热器结温上升过程Fig.3 Temperature rise process of different heatsinks

依据图3所示结果，可得不同散热器下的功率器件结温最大值及热时间常数，如表5所示。表中数据分析可见，加装A40型散热器后，器件结温最大值仅为72.780 5 ℃，热时间常数可达131.276 2 s，均可满足热约束要求。而A25、A30及B37型散热器则无法满足器件结温最大值约束要求。尽管A50型散热器同样可以满足器件最大结温和热时间常数的约束要求，但其成本却高于A40型散热器。因此，A40是在成本最小目标和热约束下的最佳散热器型号。这表明了本文优化结果的正确性。

表5 优化所得散热器与常用规格散热器热安全性参数Table 5 Thermal safety parameters of Optimized heatsink and common specification heatsinks

表6 不同实例分析中的最大允许结温和最小热时间常数设定值Table 6 The setting values of maximum allowable junction temperature and minimum thermal time constant in different case studies

表7给出了不同热安全约束条件下的散热器优化结果。表8给出了最接近优化结果的散热器型号及相应热安全性参数。结合图3、表3、表7和表8可知，B37、A30、A50分别为三个实例分析中的最佳散热器型号。其他类型散热器或不满足热约束，或具有较高成本。上述结果表明了本文所提散热器成本最小化方法的有效性，能够为散热器设计和选型提供有效依据。

表7 不同实例分析中散热器的优化结果Table 7 The optimization results of heatsink in different case analyses

表8 不同实例分析中最佳散热器选型及相应热安全性参数Table 8 The best heatsink selection and corresponding thermal safety parameters in different case analyses

4 结论

结合结-环境热网络模型，提出了一种基于热约束的功率器件散热器成本最小化方法。实例分析结果表明，所提方法能够以器件最大结温和热时间常数为热安全约束量，通过非线性优化算法，找寻最佳的散热器质量和散热面积参数，使散热器成本最小化，为功率器件散热器的设计和选型提供了重要依据。此外，尽管选择了成本相对低廉的小型散热器开展研究，但所提方法并不受散热器规格限制，可用于中大型规格散热器的成本优化中。未来将在复杂和随机散热环境下，开展散热器成本优化的实验研究，以进一步提升所提方法的工程适用性。