压缩感知等效源法近场声全息关键参数选取

魏晟弘，伍松，郑贤

摘  要：等效源距离是决定等效源法近场声全息精度的关键参数，传统等效源法中等效源距离根据传递矩阵奇异值分布进行选取，但随着压缩感知的引入，该方法不再适用.通过对压缩感知性质与奇异值分布联合研究，提出一种基于传递矩阵最大列相关系数的压缩感知等效源法的近场声全息等效源位置选取方式.研究结果表明，压缩感知等效源法的等效源距离选取与稀疏基选取有关，传统等效源选取范围距离重建面0.030～0.100 m，而带有稀疏基的等效源选取范围距离重建面0.010～0.060 m，在使用适当稀疏基的情况下，压缩感知方法的等效源布置距离较传统等效源法更为靠近重建面.

关键词：近场声全息;压缩感知;奇异值分解;等效源法;声模态

中图分类号：TN919.81        DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.008

0    引言

近場声全息（near field acoustic holography， NAH）是一种有效的声场识别和声场可视化工具，其近场测量的特性能够有效地捕捉倏逝波，因此，相对传统远场测量具有更高的声场分辨率[1].目前，NAH的主要实现方法有基于空间傅里叶变换法[2]、边界元法[3]以及等效源法[4-5]（equivalent source method， ESM）等.ESM因其计算简便，已在多个领域得到广泛应用[6-7].ESM求解通常是一个不适定问题，对此传统方法使用L2正则化对求解过程进行稳定，但受到Nyquist采样定律的限制.随着频率升高，该方法所需测点数量增多，精度降低.

压缩感知理论（compressed sensing， CS）自提出以来在多个领域得到广泛应用[8-9].为减少测点数量，扩大测量频域，Chardon等[10]首先将压缩感知引入NAH中，构建了稀疏框架并提出使用随机布置全息测点的方式进行测量.Fernandezg-Grande等[11]进一步对压缩等效源法（compressive equivalent source methods，CESM）进行了研究，提出了较低列相干性在CESM中的重要性，并指出CESM在处理空间连续型声源时存在稀疏性不足的问题.Hu等[12]提出了一种对重建传递矩阵进行奇异值分解，从而得到一组正交声模态作为稀疏基的方法（transfer matrix method，TMM），该方法对空间连续型声源有较高的重建精度，后续有学者也对其进行了进一步验证[13].

在ESM中等效源面与重建面、全息面之间的距离一直都是决定重建精度的重要因素，有多位学者对其进行了研究.陈心昭等[14]通过归一化传递矩阵奇异值对比方法确定了等效源位置应该分布在2个传递矩阵奇异值相对较小的区域，并且提出2个传递矩阵的奇异值大小对误差的放大作用是相反的.赵玉贵[15]通过模拟实验得出了等效源位置与频率之间的关系.以上研究都是针对传统等效源法进行，CS的引入势必造成传递矩阵性质以及计算方法发生变化，从而影响等效源距离的确定.为确定CS与TMM对ESM中等效源位置选取的影响，本文从传递矩阵相关性、奇异值分解与声模态的关系出发，对等效源距离的选取进行了研究，通过对比ESM、CESM以及TMM在等效源布置距离上的区别，提出了一种适用于TMM的新等效源距离选取方式，并通过模拟实验说明了该方法的有效性.

1    等效源法基本原理

ESM的基本思想是振动体产生的声场可以由置于该振动体内部的一系列等效源产生的声场叠加来替代，而等效源强可以通过匹配全息面测得声压反求得到.ESM原理如图1所示.

ESM：假设在等效源面上设有[N]个虚拟等效源点，在全息面上布置[M]个全息测点，则全息测点测得的声压值可以通过式（1）与等效源值联系起来：

[p（m）=n=1Ng（αm|αn）qn]               （1）

[g（αm|αn）=exp（-jk||αmn||）4π||αmn||]           （2）

式中：[g（αm|αn）]表示自由场格林函数，其形式如式（2）所示，其中[k=ω/c]，表示波数，[ω]为角频率，[c]为声速，[j=-1];[||αmn||]表示第[m]个全息测点与第[n]个等效源点之间的距离.将式（1）分别应用于全息点与等效源点并写成矩阵形式：

[p=Gq]                            （3）

其中：[pM×1]为全息测点声压向量，[qN×1]为等效源强向量，[GM×N]为传递矩阵.测得的[m]个全息点声压经过式（3）即可反求得到等效源强向量.

通常情况下全息测点数量小于等效源点数量，即[M

[Minimizeq  ||p?Gq||22+λ||q||22]              （4）

[pr=Grq]                            （5）

当等效源分布稀疏或者近似稀疏时，可以将CS引入ESM.对于CESM，可以使用如式（6）所示的1-范数代替式（4）所示的2-范数对问题进行求解.

式（7）等价于如式（6）所示的1-范数最小化问题，其中[Vr]表示稀疏基，CESM中[Vr]为一单位矩阵，在TMM方法中[Vr]是重建传递矩阵[Gr]奇异值分解后的右侧酉矩阵，如式（8）所示.[θ]是一个与本底噪声有关的常数，本文根据文献[16]确定常数[θ]后，采用CVX工具箱对其进行求解，之后通过式（9）求得重建声压.

[Minimizeq  ||p-GVrq||22+λ||q||1]           （6）

[Minimizeq  ||q||1   subject to  ||p-GVrq||22≤θ]  （7）

[Gr=UrΣrVrT]                        （8）

[pr=Gr*Vr*q]                        （9）

由上述可知，ESM的求解主要由2個变换组成，ESM、CESM、TMM等3种方法的区别在于是否有稀疏基，以及使用L1范数求解还是L2范数求解.由式（2）可知，2个变换中传递矩阵性质的影响因素是点之间的距离[α]与波数[k]，因此，相关分析将围绕这2个因素展开.

2    主要影响因素

2.1   传递矩阵奇异值分布

NAH具有高分辨率的根本原因是近场测量对倏逝波的获取，然而倏逝波也是影响NAH求解精度的因素之一.为分析高波数成分对重建精度的影响，对式（3）、式（5）进行奇异值分解得：

[p=UΣVTq]                         （10）

[pr=UrΣrVrTq]                       （11）

其中[U]、[Ur]为[M×N]酉矩阵，其各列向量之间相互正交，[V]和[Vr]也有类似性质.因此，可以将其列向量[vi]或[vri]理解为某一空间的一组标准正交基，而奇异值对角矩阵[Σ]与[Σr]的向量[σi]、[σri]表示该阶模态在声场中所占比例，其中[i=1， 2 …， n].关于奇异值与声模态之间的关系在文献[17]中有详细说明.

根据以上分析可知，等效源的求解过程是3个空间的变换过程，其对应关系由奇异值控制.将   式（10）代入式（11）可得：

[pr=UrΣrVrTVΣ-1UTp]                 （12）

其中奇异值[1/σi]与[σri]代表了2个变换中各阶模态在传播过程中所占的比例.由于奇异值的分布随着阶数[i]的增大而逐渐降低，所以在声场中高阶模态占比较小而低阶模态占比较大.这说明在辐射过程中高阶模态的辐射能力弱，并且随着等效源与其他点距离的增大而快速衰减，这与倏逝波的含义类似.

在式（12）中，随着等效源距离增加，[σi]快速衰减会导致[1/σi]的高阶模态快速减小，导致测量误差放大，因此，要保证等效源与全息点距离[αeh]在较小范围内.但重建变换中的奇异值[σri]与[1/σi]互为倒数，在重建点与等效源距离[αrh]越小时其对等效源误差的放大作用也越明显.在传统等效源布置方法中，为平衡两奇异值的大小，通常选取两者都为较小值处作为等效源选取点.然而由于CS的引入使得在满足CS条件时等效源点的求逆计算具有比之前更高的精度，[σri]的作用减弱，因此，等效源选取距离中[σi]的影响增强，在能够求得精确等效源解的情况下，应以[σi]的值最小为优先考虑条件.

2.2    传递矩阵相关性

传递矩阵[G]的列相关性是CS中重建精度的保证，然而在NAH中受到测量等外界因素影响，对传递矩阵[G]的相关性进行优化会对其物理意义产生影响，从而影响重建过程的稳定性与精度.在CS中通过约束等距特性（restricted isome try property，RIP）来判断重构条件，其形式如式（13）所示：

[（1?δK）q22≤Gq22≤（1+δK）q22]      （13）

其中[δK]是约束等距常数，只要矩阵[G]满足RIP条件，即存在[δK<1]，使得式（13）成立，就能够满足CS的要求，若[q]为K稀疏信号，则称测量矩阵[G]满足K阶RIP.

RIP条件已被证明是一个必要条件，而矩阵相关性最大值则是一个更为便捷有效的判断条件[11].传递矩阵列相关性最大值的表达式为：

[μ（G）=max Ωij=max1≤i≠j≤N gTigjgi?gj]        （14）

其中[gi（i=1， 2， …， n）]表示传递矩阵[G]的列向量.根据文献[18]所述，列相关系数最大值越小，通过CS进行重建的精度越高.根据式（2），传递矩阵列向量相关性与波数[k]以及等效源与全息面之间的距离[reh]有关，因此，改变等效源距离对传递矩阵的相关性有影响.同时根据式（6），TMM方法中引入的稀疏基对传递矩阵也有影响.

3    仿真分析

为验证上文所述因素对等效源点、全息点以及重建点布置位置的影响，使用MATLAB软件对不同布置情况下的声源重构情况进行模拟.其中求逆过程使用L1正则化进行约束，CVX工具求解.仿真采用如图2所示的布置方式，其中灰色区域代表声源，实线代表等效源以及重建面范围，空心点代表全息测点.仿真采用简支钢板作为声源，其尺寸为[0.500 m×0.500 m]，厚度为[0.003 m]，材料密度为[7 800 kg/m3]，泊松比为0.28，弹性模量为[2×105 MPa]，中心点位于坐标系原点处，在板的中心施加一个1 N的简谐力激励作为声源，平板振动产生的声场通过瑞利积分计算.全息面、重建面与等效源面的尺寸都为[0.500 m×0.500 m]，划分的网格间距为[0.025 m]，全息测点通过随机的方式从全息面上的441个测点中选取，在仿真中加入30 dB的高斯白噪声模拟干扰噪声信号.

本文的重建误差定义为：

[ε=pr?pt2pt2×100%]          （15）

其中[pr]、[pt]分别表示重建面上的理论声压值和重建声压值.

文中所提到的距离都为该面在坐标系中与原点平面的距离.图3（a）为800 Hz时全息面位于      0.060 m，重建面位于0.030 m处不同等效源距离的误差图，各点间隔为0.005 m.由图3（a）可以看出，在低频情况下，TMM方法与CESM方法的等效源距离选取范围较宽，从0.020 m到-0.025 m的重建误差变化较小，CESM方法呈现下降的趋势.随着频率升高至1 800 Hz，全息面位于0.060 m，重建面位于0.040 m处.TMM、CESM、ESM 这3种方法的重建误差分别如图3（b）—图3（d）所示，其中数值由10次模拟取平均值获得.从图中可以看出，CESM与ESM方法的重建误差始终大于30%，其中ESM方法由于L2正则化的固有缺陷，导致曲线波动较大，没有明显的最小值点，但两者整体上依旧呈现出U型变化曲线;TMM方法的重建误差在0.035 m时较大，之后快速下降并在0.020 m处取最小，之后随着等效源距离的增加逐渐增大，该曲线虽然也呈U型分布，但其极小值点明显较CESM与ESM方法提前.

出现以上现象的原因：一是随着频率的增加，奇异值中较大数值阶数的占比逐渐增多，等效源向量的稀疏性降低;二是受传递矩阵相关性的影响，不同方法传递矩阵列相关性变化形式不同.将通过一系列实验验证CS框架下等效源布置距离的变化.

3.1   相关性

图4显示了不同频率、不同等效源距离时，全息面位于0.060 m、重建面位于0.030 m处的传递矩阵[G]列向量的相关性.从图中可以看出，在250 Hz时，随着等效源距离的增加，矩阵的相关性呈现明显的增大趋势，并且由于ESM的测量方法以及等效源布置方式的限制，其相邻点区域的相关性较强（图中对角线区域）.同时可以看出，在低频时，间隔距离较远的点的相关性衰减幅度较低，在1 800 Hz时，仅有间隔较近的点之间的相关性较强.但是，矩阵最大列相关系数并没有随着距离与频率的变化产生较大的变化，并且由于低频时等效源稀疏度较好，相关性对重建精度的影响较小.

表1是带有TMM稀疏基和不带有稀疏基的传递矩阵列相关系数最大值的分布情况，其中左侧频率为800 Hz，右侧频率为1 800 Hz，全息面与重建面距离为0.060 m与0.030 m.带有稀疏基的传递矩阵列相关系数最大值的全部取值点都小于无稀疏基的情况，数值随着频率的上升而增大.系数的分布趋势与图3所示误差分布吻合，带有TMM稀疏基的最大列相关系数在0.015 m处取最小值，之后逐渐上升;而在无稀疏基的情况下，列相关系数最大值基本保持不变.因此，无论CESM还是ESM方法，在无稀疏基情况下的等效源距离选取都与相关性无关，应该使用传统奇异值判断方法进行判断.

在800 Hz时TMM的列相关系数最大值小于   1 800 Hz，这是因为列相关系数的大小与稀疏性密切相关.而TMM中使用的稀疏基的稀疏性取决于[σri]中较大值阶数占比的多少，该占比随着频率的增大快速增加.因此，高频时稀疏基的稀疏性不佳，造成了列相关系数的增大.

3.2   奇异值分布

根据3.1节所述，TMM方法相比CESM方法有更好重建效果的原因是稀疏基的使用增强了传递矩阵的稀疏性，该稀疏基性能与重建传递矩阵的奇异值[σri]中较大值阶数的占比有关.如图5所示，改变等效源距离对数值较小的奇异值的分布影响较大，对数值较大的奇异值的分布影响较小，说明在同一频率下等效源位置变化导致的奇异值分布变化对稀疏基性能的影响较小，其主要影响体现在重建误差与求逆誤差的对比，如图6所示.

图6是全息面与重建面距离分别为0.060 m与0.040 m时，归一化[σrimin]与[1/σimin]的数值对比图，[σrimin]与[1/σimin]分别表示[σri]与[σi]的最小值.

根据文献[14]所述，结合图6分析，在本文所使用的例子中，等效源距离的选择应该在-0.005 m附近，但是根据图3（b）所示，TMM在0.020 m处有最低重建误差，这时的归一化曲线还未取到最小值，而CESM与ESM方法则符合图6曲线，在归一化奇异值最小处取最小值.TMM等效源选取距离能够更加靠近重建面与全息面的原因是稀疏基的加入使得TMM方法的等效源求解精度相比传统正则化方法更高，这使得[σr]的误差对精度的影响降低.随着等效源距离的增加，[σr]的影响逐渐减小，[σ]的影响增大，但在低频时TMM方法的稀疏基能够有效地增加稀疏性，因此，在等效源距离较远时也能保证重建精度.在高频时，稀疏基的稀疏性降低，但在等效源距离较小时还能够保持较好的重建精度;随着等效源距离增大，[σ]逐渐增大，重建精度逐渐得不到保证.

由以上分析可以得出，相较于传统ESM方法TMM方法等效源距离的选取应当更为靠近重建面与全息面，以最大列相关系数的变化趋势为主要判断依据;而CESM方法的等效源距离选取则与传统ESM方法一致，以归一化奇异值取最小值为判断依据.

3.3   点声源情况

为进一步证明不同方法等效源距离选取的区别，对点声源进行实验，结果如图7所示.图7（a）是2 800 Hz点声源重建误差对比，单个点声源位于[0，0，0]处，全息面与重建面布置于0.060 m与    0.030 m处.从图7（a）可以看出，CESM方法的等效源位置与图7（b）所示的归一化奇异值最小值最为吻合，而ESM方法受频率影响严重.TMM与简支板声源类似，在归一化奇异值最小值之前取得最佳重建精度.

图7（c）、图7（d）为在原平面随机选取10个点作为点声源的重建误差图，频率为1 800 Hz.由于TMM稀疏基对于点声源重建精度较低，因此，其重建误差曲线分布规律性不强，但依旧能够看出其取值范围较CESM方法更为靠近重建面.

4     结论

由以上分析可知，TMM与CESM方法等效源距离选择的主要区别在于稀疏基[Vr]的应用，CESM与ESM方法则没有太大的区别.稀疏基对等效源距离选取的影响可以通过传递矩阵最大列相关系数的分布进行观测，在列相关系数较小时，应通过列相关系数的分布进行等效源距离的选取，若无法满足CS的相关条件，则应该以归一化奇异值最小区域作为判断条件.本文的结论如下：

1）在低频时，3种方法的等效源选取范围较广，随着频率的升高等效源的选取范围逐渐减小，误差随着等效源距离增大呈U型分布.

2）不带有稀疏基的CESM方法等效源位置选择与ESM方法相同，以传递矩阵归一化奇异值大小为标准，在两归一化最小奇异值同为最小的范围内选取.在本文例子中，1 000 Hz以下频域等效源距离选取应在距离重建面0.030～0.100 m范围内，频率越低，可选择的距离越远;1 000 Hz以上频域等效源距离选取应在距离重建面0.030～0.060 m范  围内.

3）使用稀疏基的TMM方法等效源位置选取以传递矩阵列相关系数最大值曲线为标准.在本文例子中，1 500 Hz以下频域等效源距离选取应在距离重建面0.010～0.060 m范围内，1 500 Hz以上频域等效源距离选取应在距离重建面0.010～0.040 m范   围内.

本文所采用的等效源布置方法都是沿声源法线后方一定距离布置，但实际情况中通常不能严格满足条件，因此，后续还需对不同等效源布置情况的距离设置进行研究，同时更多类型稀疏基的测试也有待后续实验.

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Research on key parameters selection of near field acoustic holography based on compressed sensing equivalent source method

WEI Shenghong1，2， WU Song*1，2， ZHENG Xian1，2

（1. School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China; 2. Guangxi Key Laboratory of Automobile Component and Vehicle Technology （Guangxi

University of Science and Technology）， Liuzhou 545006， China）

Abstract： The equivalent source distance is the key parameter to determine the accuracy of near-field acoustic holography. In traditional equivalent source method， the equivalent source distance is selected according to the singular value distribution of transfer matrix， but with the introduction of compressed sensing， this method is no longer applicable. Based on the joint study of the properties of compressed sensing and singular value distribution， a method of selecting the equivalent source position of         compressed near-field acoustic holography based on the maximum column correlation coefficient of transfer matrix is proposed. The results show that the selection of the equivalent source distance is      related to the selection of the sparse basis， the traditional equivalent source selection range is from 0.030 m to 0.100 m at the reconstruction surface， while the selection range of equivalent source with sparse basis is from 0.010 m to 0.060 m at the reconstruction surface， which proves that the equivalent source placement   distance of the compressed sensing method is closer to the reconstruction surface than that by the traditional equivalent source method when the appropriate sparse basis is used.

Key words： near-field acoustic holography; compressed sensing; singular value decomposition; equiralent source method; acoustic mode

（責任编辑：黎   娅）