莫让思维过程“一勾而过”

摘要：立足学生一道“找规律”问题的正确解答，展开深层次的对话，并运用SOLO分类理论分析对话中的学习成果，以了解学生的思维水平发展情况。学生已有经验不仅包括已有知识经验和生活经验，有时还包括半生活化半数学化的“混合经验”，要准确分析、利用，以促进学生思维发展;不仅要关注学生解答结果的正确与否，更应利用学生解答过程中生成的资源，通过合理的引导促进学生思维水平的进阶;可对学生学习材料再建构，适当为学生设计、提供一些阶梯式、开放性、便于思维外化的学习材料。

关键词：思维过程;SOLO分类理论;已有经验;生成资源;学材再建构

一次弹性离校值班，班上的一个男生小汤将完成的练习册拿来让我批改。我一边批改一边和他交流：“作业做得真快！有没有遇到不会的问题啊？”小汤得意地说道：“没有，都会做！”一个个“勾”也表明了解答的正确，印证了小汤的得意。“勾”完一道思维含量较高的“找规律”问题（如图1所示）时，我停了下来：解答这道题，小汤经历了怎样的思维过程呢？

一、关于“正确解答”的深入对话：把脉隐藏的思维过程

于是，关于小汤这道题目的解答过程，我们有了接下来的对话（为了更好地对应后续的研究分析，这里将对话分为5段，分别为“对话1”到“对话5”）：

【对话1】

“小汤，家庭作业全都做对了，真厉害！不过，对这道题，我有点好奇，这么复杂的算式，你怎么做对的啊？”小汤端详一番，说道：“你看，这里上面的算式是两个18相乘，下面的17比18少1，19比18多1;第二组也是这样，上面的算式是两个25相乘，下面的24比25少1，26比25多1;第三组也是这样。而且你看，第一个框里都是十几乘十几，第二个框是二十几乘二十几，第三个框是三十几乘三十几，这个框应该是四十几乘四十几。我就像这样，上面写45×45，下面就写44×46，然后列竖式计算两个算式就行了。”出乎意料！我本以为44×46的得数是按规律将2025减1得到的，没想到小汤只找了算式中的规律，两个得数都是列竖式计算得来的。

【对话2】

定了下神，我继续询问：“说得挺好！我都听懂了。你能结合题目要求说说解决这道题的关键是什么吗？”“题目要求比较下面三组算式，发现规律后照样子写一写。我觉得关键就是比较和找规律。”我追问道：“你能再比一比，把所有找到的规律说给我听听吗？”小汤再次观察算式，思考片刻后说道：“方框中上面的算式都是两个相同的数相乘，下面的算式都是前面一个数比上面的乘数少1，后面一个数比上面的乘数多1。嗯……其实得数也有规律，下面的得数都比上面的得数少1。”“你看，再深入观察一番，发现的规律更多了吧？如果现在让你做这道题，你会怎么做？”“我会先写45×45，然后列竖式算出2025。下面的算式和得数都用规律去写，算式还是44×46，得数只要把上面的2025减1，算出为2024。”

【对话3】

规律基本概括出来了，往下再问问看！“除了这组算式，你还能再写一组吗？”小汤得意地说：“当然行！比如46×46等于——得列竖式算一下，然后是45×47，得数将刚才的得数减1;还能写55×55，得数也要列竖式算，然后是54×56，结果也是将刚才的得数减1。”“像这样的例子能举完吗？”“太多了，举不完！”小汤的回答激起了我的好奇心，我想看看三年级的学生还能走多远。于是，我笑着问道：“既然这样的例子举不完，那我们好好想想，能不能写一组算式，就概括出所有这样的例子呢？”小汤皱着眉，一边想一边摇头，之后又突然道：“我想到了！先写10000×10000，然后将10000减1和10000加1乘起来。”我笑着对他说：“很有创意！这组式子把所有例子都概括进去了吗？”小汤想了一下，自言自语道：“好像不对。”想了一会儿后，沮丧地对我说：“我不会了。”看着他专注思考的过程，我欣慰地摸了摸他的头，说道：“想不出来没关系，这个问题留着有空的时候慢慢想，什么时候有想法了，随时跟我说说。”

【对话4】

小汤回到座位上，手中还是拿着那本练习册，眉头紧锁。好一会儿，他又慢慢走到我跟前，说道：“老师，我想了种方法，但不知道对不对。上面的算式是a×a=b，下面的算式是c×d=e。”听到这里，我很惊讶：让他再想想，并没有指望他用字母式去概括，而是觉得如果他在想的过程中能进一步感受算式组中的规律，用语言等方式表达出大概意思，也就不错了。用字母表示数是五年级的教学内容，据我所知，小汤没有参加过数学类课外拓展班，我在班上也从没教过他们类似的方法，那么，他怎么想到的？于是，我惊讶地问道：“太了不起了！你是怎么想到用字母概括规律的？谁教你的？”“没有谁教我，但我好像在哪儿看到过。”透过他的口气，我能想象他内心的得意。“刚才你用10000×10000概括，现在用a×a概括，哪个更好？”小汤继续得意地说：“a×a好，因为10000虽然很大，但还是不能概括所有的算式，a就可以代表所有的数。”

【对话5】

既然已经超出预期，那就继续往下试探。“为什么上面的算式用两个a相乘得到b呢？”“因为必须是两个相同的数相乘，a要乘a，但得数不是a了，就用b。”“概括得很棒！下面的算式用c×d=e概括我也懂了，相乘的数和得数都不相同，所以用不同的字母来表示。那c、d、e是不是随便表示任何数呢？”“不行！前面的数要比上面的少1，后面的数要比上面的多1……不对！我想一下。”接着是一阵数字与字母混雜的自言自语声。片刻后，小汤说道：“可以改进一下，上面算式还是a乘a等于b，下面算式是a减1乘a加1等于e。不对，等于b-1。”

二、关于对话的分析：探究思维层次的变化

上述关于“正确解答”的对话发生后，我立刻将其记了下来，并尝试运用彼格斯的SOLO分类理论（该理论认为，虽然一个人的认知水平不可测，但其应对及解决问题时所展现出的思维层次却是可以探知的;面对及解决问题时，学习者的反应表现出一种由简单到复杂的思维层次变化;思维层次变化由浅入深包括前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平、拓展抽象结构水平五类）分析对话，探究小汤的思维层次变化情况。

“对话1”中，算式规律与得数规律的发现是分离的：先纵向将前三组算式中乘数的变化进行关联，再点对点地按规律写出算式中的各个乘数，但却没能将前三组中两个算式的得数建立关联，因此所写出的两个算式是孤立的，得数是横向地通过计算得出的。学习成果的結构体现出选用素材单一、工作记忆容量少等特点，尤其是两个算式得数的获得，在运用最少数据的基础上迅速收敛，属于单点结构水平的回答。

“对话2”“对话3”中，答案是在与前三组等式建立纵向关联的基础上获得的，运用的数据开始增多，收敛开始放缓。但所举出的各个例子，包括试图对规律进行概括的“10000×10000”，反映出小汤试图通过提高数据值来表示个例数量的增多，以达到概括的目的，而这样的等式组依旧只是个例，不具备一般性。根据几个有限的、孤立的等式组试图进行“概括”，虽然想达到“一致”，但收敛还是相对较快，属于多点结构水平的回答。

“对话4”“对话5”中，我的引导已经不以具体等式的得出为目标，在一定程度上让小汤延缓收敛。小汤回答中字母的使用，表现出在一定情境范围内概括性在逐步增强，虽然并没有经过严格的推理来证明回答的一致性，也即“若a2=b，则（a-1）（a+1）=a2-12=b-1”，但三年级学生在当下的情境中，最终的回答已将问题线索、相关素材、相互关系进行了关联，实现了有效的概括，形成了初步的数学模型，属于关联结构水平的回答。

经由分析可见，随着对话的进行，小汤的回答表现出收敛在逐步放缓，对素材的关注和运用在广度上不断扩展，素材间的关联逐步形成，一致性在增强，思维水平也在逐步提高，符号意识被触发，并最终实现了模型的初步符号化建构。

三、关于发展学生思维的思考：如何促进思维进阶

我们一直关注学生解决问题过程中“错误资源”的利用，借助“错题”分析、探究错误根源，引导学生在再次解决问题的过程中发展思维、积累经验。而面对学生的正确解答，能做、要做的是否仅仅“一勾而过”？上述对“正确资源”的开发和使用，引发了我对发展学生思维的深入思考。

（一）对学生已有经验再认识

教师教学应该建立在学生已有经验的基础上。学生已有经验不仅包括已有知识经验和生活经验，有时还包括半生活化半数学化的“混合经验”。“对话4”中突然出现的用字母表示数就来自“混合经验”。这些字母是在生活中积累起的、零散的、未经数学化加工的材料，但这些半生活化半数学化的材料会作为学生已有经验的一部分，不自觉地参与到学生建构知识体系的过程中。生活中存在着大量信息，尤其在网络环境下，而儿童与成人在信息获得及加工方式等方面有所差异，一些被成人忽略的信息往往会被儿童捕获，并暂时存储在儿童记忆中。这些碎片化但对于数学学习有价值的信息可能随时被后续接收的其他信息“赶走”，等到后续学习时又需要重新施加刺激。而如果能在这些信息被“赶走”之前，适时组织编码，能延长这些信息在学生记忆中的储存时间，等到系统学习该内容时，学生就能及时调用并纳入认知体系。这不是传统意义上的提前教学，而是基于学生已有经验的、在学生“最近发展区”内的有效渗透。因此，生活环境中海量的信息让学生的已有经验更为多元，生活环境的差异让不同学生的已有经验更为多样。班级授课中，在教学设计前尽可能全面、精准地进行学情调研，是促进学生思维获得整体提升的基础。通过开放性问题激活学生记忆中的有用信息，通过问题引导学生组织信息编码，有助于学生思维获得个性发展。

（二）对学生生成资源再利用

当下，无论数学教材，还是配套的数学练习，大多是以纸面结论的方式呈现学生思维的结果，对学生解决问题过程中思维路径的呈现相对不足，或者说较难实现。这些习题对于知识巩固、技能形成等目标的达成无疑是必要的。美国数学家维纳认为，数学是“思维的科学”。这就要求数学教学不仅要关注思维的结果，更应该关注思维的过程;不仅要从思维层面剖析错误解答的根源，也要对正确解答背后的思维过程予以关注和分析。对练习、作业的使用同样如此。

借助SOLO分类理论，能对学生练习中错误解答所反映出的思维结构水平进行分类、分析：前结构水平的解答，说明学生未能在素材与问题之间建立连接，可能是知识点并未理解;单点结构水平的解答，说明学生注意的广度不够，在信息收集方面存在困难;多点结构水平的解答，说明学生在将信息关联起来并进行归纳方面有困难;关联结构水平的解答，说明学生需要在合乎逻辑的演绎方面再提升。

而通过上述案例我们可以发现，同样正确的解答，背后的思维结构水平也可能并不相同。图1中两组等式的得出，可能是单点结构水平的回答，也可能是多点结构水平的回答。学生对这一问题的解答可能最多只能达到多点结构水平，也可能通过适当引导还能达到初步的关联结构水平。以发展思维为目标的教学，不仅要关注学生解答结果的正确与否，更应利用学生解答过程中生成的资源，通过课间、课外谈话等方式延展学生获得结果的思维路径，了解学生学习结果背后的真实思维过程，对学生解决问题时表现出的思维结构水平进行分类，并通过合理的引导促进学生思维水平的进阶。

（三）对学生学习材料再建构

除了基于生成谈话引导，对学生学习材料再建构也是发展学生思维的重要方式。适当为学生设计、提供一些阶梯式、开放性、便于思维外化的学习材料，既让不同层次的学生都能基于已有经验解决问题，又能延展并外化学生的思维路径，以便对学生解答结果的思维结构水平进行精准评价。学习材料建构时还要关注问题设计，要能通过问题引导学生思维进阶，以充分发挥学习材料的功能。

以上述案例中的习题为例，可做如下优化设计：

如图2，仔细观察前面三组算式和结果，想一想：有怎样的规律？

（1）按发现的规律直接填写第四组算式，再列竖式计算检验是否正确。

（2）按发现的规律自己编写出两组算式并算出结果，看看是否符合规律。

（3）尝试挑战：你能试着将这些算式中的规律概括出来吗？用你喜欢的方式表示出来。（友情提醒：先好好想一想，可以用文字、图形、算式等方式概括表示）

问题（1），旨在引导学生消除因45×45需要列竖式计算而对第二道算式产生的导向，更多聚焦于规律的运用。而此刻发现的规律在严格意义上仅仅是由不完全归纳推理得到的、未经证明的猜想，之后引导学生列竖式检验，渗透培养学生的验算习惯，并让学生感受数学的严谨。通过检验，或反思填写中的错误并予以改正，或享受成功的喜悦并体验数学的奇妙。这一问题的正确解答仅需要点对点的规律发现，思维层次至少达到单点结构水平。问题（2）适度开放，一方面引导学生整体发现等式组中的规律，而不停留于单点结构水平的规律发现，另一方面直接引导学生通过计算得出结果，也是以枚举方式对规律的进一步验证，让学生在算式的编写、计算、验证过程中深化对规律的体验和感悟，感受数学的严谨与奇妙。这一问题的正确解答所体现出的思维层次至少达到多点结构水平。至此，本题所应承载的主体教学目标已完成。问题（3）为尝试选答题，旨在给学有余力的学生以一定空间和时间，促成他们的思维进阶。前面已对规律进行了不断深入的探究、尝试运用、计算验证，这一环节引导学生通过不完全归纳，概括、表征出规律。该问题对三年级学生而言难度较高，我们需要给予学生更多时间，避免因为时间压力迫使学生快速收敛而得到低层次回答。三年级学生表征经验相对缺乏，可能因找不到合适的表征方式而无法外化思维，所以通过“友情提醒”，一方面引导学生进行长时间思考，另一方面为学生的合理表征搭建支架。从这一问题的解答中，我们能分析出学生在该问题上所表现出的数学化能力和思维水平。

需要强调的是，发展学生思维并非一味拔高。正如上述案例中所描述的，“对话3”之后，我就没有过高的结论型期望和对时间的限制，更未要求小汤能用字母式建构出数学模型，只是在他已能达到的思维水平基础上，给予思维升阶的空间和时间，鼓励他多“跳一跳”，在此過程中积累再思考的经验，而不仅以“做对”为目标。过难的挑战和过高的期望会挫伤儿童学习的信心，而学习动机、情感态度等因素对儿童思维的发展有着直接的影响。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第3版）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[2]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[3]约翰·B.彼格斯，凯文·F.科利斯.学习质量评价：SOLO分类理论（可观察的学习成果结构）[M].高凌飚，张洪岩，译.北京：人民教育出版社，2010.

（赵斌，江苏省南京市高淳区淳溪中心小学。南京市学科带头人，南京市优秀青年教师，南京市基础教育课程改革先进个人，南京市先进教研组长，南京市优秀教育工作者。获评首届新一轮南京市“斯霞奖”。）