小电容应用下的三角形联结级联H 桥STATCOM建模和最优控制器设计*

王恒宜 汪 飞

(上海大学机电工程与自动化学院 上海 200244)

1 引言

多电平变换器在诸如柔性交流输电系统、高压直流输电等中高压大容量场合发挥着越来越重要的作用[1]。静止同步补偿器(Static synchronous compensator, STATCOM)是多电平变换器的典型应用之一，三角形联结级联H 桥STATCOM 是中高压无功补偿和谐波抑制的先进技术[2]。三角形联结级联H 桥STATCOM 适用于中高压应用场合，可省去多重化变压器，其级联H 桥方式容易模块化，能够通过冗余模块实现较高的容错性，比起传统的中点钳位和飞跨电容STATCOM，不需要大量的钳位二极管和钳位电容，更容易扩展电平数，比起模块化多电平STATCOM 功率密度更大，比起星形联结级联H 桥STATCOM 负序无功补偿能力更强[3-4]。

三角形联结级联H 桥STATCOM 直流侧电容需要承担功率波动，多选用大容值薄膜电容。薄膜电容具有良好的电工特性和高可靠性，然而薄膜电容功率密度低、造价高[5-6]，造成STATCOM 装置占地面积大、建造成本高，为了减小STATCOM 装置的体积和成本，适宜采用较小容值的薄膜电容[7]。小容值电容的使用会导致直流侧电容电压波动变大，直流侧电容电压所含谐波不能像大电容STATCOM那样被忽略，因此小电容STATCOM 的建模和控制应当区别于大电容STATCOM。

从建模方面来说，传统STATCOM 广泛使用dq坐标系下的数学模型[8]，在这个模型里，各变量是不变的。时不变模型易于进行控制器设计。小电容应用下的三角形联结级联H 桥STATCOM 电容电压的波动较大，不能像大电容STATCOM 那样，电容电压被近似为一个常数，电容电压和调制信号的耦合不能被近似为电容电压直流分量和调制信号的耦合，因而难以建立dq坐标系下的时不变数学模型。

从控制方面来说，三角形联结级联 H 桥STATCOM 广泛使用级联PI(D)控制器，即外环控制电容电压直流分量，内环控制电流[9-11]。然而在小电容应用下，系统里存在的复杂耦合增加了PI(D)控制器设计的难度。此外，PI(D)控制器的缺点在于难以预测的收敛度、不能完全利用系统的自由度等。

所以，本文针对小电容应用下的三角形联结级联H 桥STATCOM 建立了以STATCOM 三相支路电流和三相支路电容电压为状态变量、三相调制信号为控制输入的abc坐标系下的多变量状态空间模型，提出了一种系统性的处理多变量的控制器，即基于有限时域LQR[12]的多变量最优控制方法来对三角形联结级联H 桥STATCOM 的支路电流和支路电容电压进行最优控制。

本文首先对小电容应用下的三角形联结级联H桥STATCOM 的各电流和电容电压进行了分析，给出了abc坐标系下的多变量状态空间描述，然后提出了针对多变量系统的有限时域LQR 方法来对小电容STATCOM 中的电流和电容电压变量进行精确控制。最后，通过建立仿真模型验证了本文提出的建模方法和控制器设计。

2 小电容应用下的三角形联结级联H 桥STATCOM 的分析

如图1 所示，Rs和Ls为电网等效阻抗；isa、isb、isc分别为网侧三相电流；iLa、iLb、iLc分别为负载三相电流；vsa、vsb、vsc分别为公共连接点(Point of common coupling，PCC)的电压；ia、ib、ic分别为STATCOM 三相端口电流；r和L为STATCOM 每个支路的等效阻抗；iab、ibc、ica分别为三相支路电流；i0为环路电流；C为子模块(Submodule, SM)直流侧电容的容值；每个支路的子模块数为N；每个子模块为单相H 桥电路；uab、ubc、uca为支路输出电压。

图1 基于三角形联结级联H 桥多电平变换器的静止同步补偿器在电网中的典型应用图

2.1 电流分析

如图 1 所示，根据基尔霍夫电流定律，STATCOM 支路电流iab、ibc、ica，端口电流ia、ib、ic和环路电流i0满足以下关系式

此外，为了子模块的电容电压不漂移，在稳态时每个支路的有功功率直流分量必须为0，如式(2)所示

2.2 电容电压分析

不同于传统的大电容 STATCOM，小电容STATCOM 的电容电压波动较大，因而在分析、建模等过程中不能被忽略。支路上电容存贮的能量的导数为有功功率，即

3 STATCOM 状态空间模型

图2 支路上所有子模块等效为可控电压源

选取支路电流iab、ibc、ica以及支路电容电压uCab、uCbc、uCca为系统的状态变量，调制信号mab、mbc、mca为控制输入，三角形联结级联 H 桥STATCOM 在abc坐标系下的状态空间方程为

从式(6)可以看出，系统模型具有以下特点。

(1) 由于STATCOM 使用的是小电容，电容电压纹波较大，不能被忽略，在以支路电流为状态变量的微分方程中存在着电容电压谐波和调制信号的耦合。

(2) 在以电容电压为状态变量的微分方程中，存在调制信号和支路电流的耦合。

也就是说，在小电容应用下的STATCOM 模型里，系统矩阵A(u)和B(x)是时变的，正因为A(u)和B(x)的时变性、A(u)和时变状态变量x的耦合、以及B(x)和时变控制输入u的耦合，导致难以对式(6)进行dq变换得到时不变模型。

到目前为止，三角形级联H 桥STATCOM 大多采用双闭环比例积分控制，其需要以支路电流的dq时不变模型和电容电压直流分量模型为基础。然而由前面已经分析得知，小电容STATCOM 时变变量之间的耦合导致难以得到时不变模型，因而本文将直接针对式(6)描述的模型设计有限时域LQR 控制器。

4 有限时域LQR 控制器

通过分析式(6)的状态空间方程发现，abc坐标下的STATCOM 模型是涉及状态变量和控制输入耦合的多变量系统，令

对rank(C)的分析发现，当A(u) 矩阵里mab、mbc、mca，也就是系统在mab、mbc、mca过零点处rank(C)小于6，不能采用无限时域LQR 控制器，因为无限时域LQR 控制器要求在整个时域内系统可控。一套可行的方案是对系统进行有限时域LQR 控制器设计。

4.1 系统离散化操作

可用期望状态变量和控制输入代入，即用A(u*)和B(x*)分别替代式(6)中A(u)和B(x)，式(6)则变成以下表达式

式中，I为单位矩阵。

4.2 有限时域LQR 控制器的设计

控制多变量周期系统的有限时域LQR 理论可以简述如下：对于一个离散周期系统，定义一个周期性的增益矩阵Kk和状态变量Δxk相乘得到的反馈控制律Δku，即

有两种方法可以求解式(12)相应的最优化问题，一种是批处理方法(Batch approach)，这种方法是把优化问题式(12)转换成一个最小二乘问题，这种方法需要重复求解大矩阵的逆，工程实践中难以实现。另外一种方法是动态编程(Dynamic programming)的递归方法，动态编程方法比批处理方法更加有效，不需要求解大矩阵的逆。利用动态编程的方法需要求解黎卡迪方程

三角形联结级联H 桥STATCOM 反馈控制环如图3 所示，Kk即为通过有限时域LQR 控制算法得到的增益矩阵。相移PWM 和排序算法相结合可以保证电容电压均衡，具体的均衡策略将在第5 节进行详细描述。

图3 三角形联结级联H 桥STATCOM 反馈控制环

5 电容电压均衡策略

模块化多电平变换器电容均压控制大多采用以下两种方法[17-18]：一种是利用比例积分环节控制子模块的均压算法，该方法均压效果好，且实现简单，但子模块数量较多时，会导致控制过于复杂；另一种是将变换器的其中一个支路子模块电容电压进行排序控制的均压算法，考虑当前支路电流对电容的充放电影响，保证电容电压相互平衡且动态稳定。

本文则采用了第二种均压方法，其工作流程如图4 所示。控制与监测系统需要不断地检测同一个支路内的各子模块电容电压和支路电流，然后通过对子模块电容电压进行排序，最后根据支路电流的方向有选择性地投入或切换相应的子模块。

图4 基于相移PWM 和排序算法的电压均衡策略流程图

6 仿真结果

通过在Matlab/Simulink中建立三角形联结级联H 桥STATCOM 系统和有限时域LQR 控制器来验证本文提出的数学模型和控制器性能。仿真系统的参数如表1 所示。

表1 仿真系统参数设定

整个系统的框图如图5 所示，根据检测到的PCC 电压和负载电流，计算出期望电流和期望电容电压，再经过有限时域LQR 控制器得到调制信号。相移PWM 和排序算法相结合可以保持支路内部每个子模块的电容电压平衡。

本文装置不仅可以用于无功补偿，还可以用于抑制低次谐波(一般为小于19 次的谐波)[19-20]。它可以作为辅助装置，通过滤除一些特定的谐波来辅助电力系统中的无源滤波装置，从而增强整个系统的谐波抑制功能；也作为一个冗余装置，当系统中的无源滤波器发生故障，暂时替代无源滤波器进行工作。因此接下来的仿真将同时体现本文装置的无功补偿和谐波抑制功能。

本文的仿真试验分为三种情况。

(1) 正常的PCC 电压，仿真结果如图6 所示。

图6 当电网电压正常时候的仿真波形

(2) PCC 电压含有不平衡，即a相PCC 电压幅值为其他两相电压幅值的25%，仿真结果如图7所示。

图7 当电网电压不平衡时候的仿真波形

(3) PCC 电压既含有不平衡又含有谐波，即a相PCC 电压对地短路，并且b相和c相电压含有5次和7 次谐波，总谐波畸变为17.7%，仿真结果如图8 所示。

图8 当电网电压含不平衡和谐波时候的仿真波形

以上三种情况下的仿真试验中皆设定检测到的非线性负载电流(kA)为

仿真试验中，支路电容电压的初始值设为40 kV。期望支路电容电压的直流分量为62 kV，电容电压波动约为 ±25%。在t=0.02 s，STATCOM 连接入电网，并且有限时域LQR 控制器开始工作。图6～8皆由五个子图组成，从上到下波形分别为三相PCC电压vsj，(j=a,b,c)、三相电网电流isj、三相支路电流iij，(ij=ab,bc,ca)、环路电流i0和三相支路电容电压uCij。

图6 是PCC 电压在正常情况下的仿真结果。可以看出，在0～0.02 s 期间由于STATCOM 并未接入电网，电网电流即为负载电流，含有明显失真。在t=0.02 s 接入STATCOM，在有限时域LQR 控制器作用下系统能够在极短的时间内进入稳态，网侧电流没有谐波也没有不平衡；PCC 电压以及负载电流都不含不平衡，系统不需要补偿负序无功功率，环路电流为零。电容电压稳态时直流分量稳定在62 kV，电容电压波动较大。可见各电流和电容电压跟随性好，控制器的优良效果得到了验证。

图7 是PCC 电压含有不平衡时候的仿真结果。三相PCC 电压如图7 最上方子图。可以看出，在t=0.02 s 接入STATCOM 后，系统能够在极短的时间内进入稳态，电网电流只含有正序基波分量。由于PCC 电压含有不平衡，所以环路电流不为零。各电流和电容电压得到了很好的控制，控制器的优良效果也得到了验证。

图8 是PCC 电压含有不平衡和谐波时候的仿真结果。同样可以看出，在接入STATCOM 后，系统能够在极短的时间内进入稳态，这种情况下STATCOM 需要补偿负序无功功率，环路电流也不为零。尽管电容电压的波动较大，其直流分量稳定在62 kV。各电流和电容电压跟随性好，验证了LQR控制器的优良效果。

7 结论

本文对小电容应用下的三角形联结级联H 桥STATCOM 进行了分析，指出了和大电容STATCOM 之间的区别，得到了其在abc坐标系下的状态空间方程，进而给出了针对小电容应用下的三角形联结级联H 桥STATCOM 的有限时域LQR控制器的设计步骤。最后，通过建立仿真模型对所建模的小电容STATCOM 及其LQR 控制器的功能和表现进行了验证和分析。本文提出的建模方法和控制器设计具有很强的通用性，可以被应用到其他的多电平变换器拓扑和电力电子系统中，尤其是需要考量电容电压波动的场合。