挖掘试题本质 体现特殊与一般的思想——2019高考新课标Ⅱ卷理科第21题背景探源及思考

佛山市顺德区青云中学(528313) 范友宝

由特殊到一般的思想的运用水平,能反映出考生的数学素养和一般能力,所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置. 在新课标高考中,有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的解析几何试题,突出体现了特殊化方法的意义与作用. 如通过构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊位置,利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等. 下面笔者以一道试题为例,具体分析如何挖掘试题的本质,发现其中一般性的结论并给予证明,充分体现了试题一般到特殊再由特殊到一般的数学思想.

1 试题展示

题目(2019年高考新课标Ⅱ卷第21 题) 已知点A(-2,0),B(2,0), 动点M(x,y) 满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.

(I)证明: ΔPQG是直角三角形;

(Ⅱ)求ΔPQG面积的最大值.

2 试题解析

第(1)问考查回归教材,考查了圆锥曲线有关的轨迹问题,用方程的思想研究曲线,用曲线的性质研究方程,考察了求轨迹方程的一般方法. 以上题目来源于教材但不拘泥于教材.

第(2)问中的(I)题考查对解析化途经的选择,证明三角形为直角三角形的方法有: 勾股定理,向量法,平面几何知识等等,如何解析更为简便,是要学生学会解析并做出选择. 在这里,自然选择坐标法更为合适,作答如下:

设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k ＞0). 由则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直线QG的斜率为方程为由得

设G(xG,yG), 则-u和xG是方程①的解, 故xG=由此得yG=从而直线PG的斜率为所以PQ⊥PG, 即ΔPQG是直角三角形.

以下考虑求解第(II)问的三种思路:

思路一由(I) 得|PQ|=所以ΔPQG的面积

设t=则由k ＞0 得t≥2,当且仅当k= 1 时取等号. 因为S=在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1 时,S取得最大值,最大值为因此,ΔPQG面积的最大值为

思路一的难点在于如何将面积S表述成t的函数,从而转化为我们熟悉的函数模型,并运用函数单调性求最值. 其过程考察了函数与方程的思想. 既然可以采用函数思想求最值,那么导数法应该也可以用,于是笔者给出如下的思路二.

思路二由(I) 得|PQ|=所以ΔPQG的面积S=由于

令S′=0,解得k=1,当0＜k ＜1 时,S′ ＞0;当k ＞1 时,S′ ＜0;所以当k=1 时,Smax=

思路三在思路二的基础上,继续研究面积的表示方法,我们还可以发现运动中解析几何的特殊性,进而挖掘其几何特征,往往几何特征挖掘的越充分, 运算量就越简单, 事实上,本题还可以角度与距离来表示此三角形的面积. 作答如下:(1+2k2)x2= 4,所以|OP|2=如图1, 设∠PQG=θ, 直线PQ的倾斜角为α, 直线QG的倾斜角为β, 由图1 可知:tanθ=tan(α-β)=余下解答同思路二.

图1

从解析几何的不同的解析途径来看,在研究运动变化下的特殊问题,利用将几何问题转化为代数问题. 主要用到的就是特殊与一般的思想,而思路三正是抓住了运动中的特殊性,挖掘几何关系,并转化为代数问题.

3 背景溯源

来源1(人教A 版P41.2.2.1 例题3)设A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM与BM相交于点M,且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程.

来源2(人教A 版P55.例题2)设A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM与BM相交于点M,且它们的斜率之积为求点M的轨迹方程并判断轨迹的形状.

来源3(人教A 版P80.复习参考题A 组第10 题)已知ΔABC中,A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AC,BC的斜率之积为m(m/=0),试探求顶点C的轨迹.

真题溯源(2011年高考江苏卷理科第18 题) 如图2,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆1 的顶点, 过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B. 设直线PA的斜率为k.

图2

(1)当直线PA平分线段MN,求k的值;

(2)当k=2 时,求点P到直线AB的距离d;

(3)对任意k ＞0,求证:PA ⊥PB.

4 拓展推广

探究1设A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0),直线AM与BM相交于点M,且它们的斜率之积为λ(λ/=0),则动点M的轨迹方程为=1(x/=±a).

①若λ ＜0 且λ/=-1,则动点M的轨迹是椭圆(除去A,B两点);

②若λ=-1,则动点M的轨迹是圆(除去A,B两点);

③若λ ＞0,则动点M的轨迹是双曲线(除去A,B两点);

探究2过坐标原点的直线交椭圆C:=1(a ＞b ＞0)于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴, 垂足为E,连结QE并延长交C于点G. 试问ΔPQG是否一定是直角三角形,请说明理由.

图3

解析设直线PQ的斜率为k, 则其方程为y=kx(k ＞0). 由记则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直线QG的斜率为直线方程为(x-u). 由直线QG与椭圆C的方程联立,得到

设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,故

从而直线PG的斜率为:

所以当a2=2b2时,PQ⊥PG,即ΔPQG是直角三角形.

事实上,此题也可证明直线PQ与直线PG斜率之积为定值它也体现了用解析几何方法解决数学中提出有数学特点的问题(如存在性、唯一性、不变性). 研究运动中的不变性也是解析几何的热点问题. 本题在高考试题的基础上进行探索其一般性结论,充分体现了由特殊到一般性的思想.

探究3过坐标原点的直线交椭圆C:=1(a ＞b ＞0) 于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G. 作PF⊥y轴,延长QF交椭圆C于点M,则有:

(1)直线QM,QP,QG的斜率成等比数列;

(2)直线PQ与直线PM斜率之积为定值

(3)ΔPQG的面积的最大值为

证明(1)设P(x1,y1),则Q(-x1,-y1),E(x1,0),F(0,y1),所以kQM=kQM ·kQG,所以直线QM,QP,QG的斜率成等比数列.

(2)设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k ＞0).由记u=|x|, 则P(u,uk),Q(-u,-uk),F(0,uk). 于是直线QM的斜率为2k,直线方程为y= 2kx+uk. 由将直线QM与椭圆C的方程联立,得到:

设M(xM,yM), 则-u和xM是方程②的解, 由xQ ·xM=从而xM=故yM=从而直线PM的斜率为:

所以kP Q ·kP M=所以直线PQ与直线PM斜率之积为定值

如图4, 设∠PQG=θ, 直线PQ的倾斜角为α, 直线QG的倾斜角为β,由图4 可知:

图4

由第一问可知a2=2b2代入可得:

设t=则由k ＞0 得t≥2,当且仅当k=1 时取等号. 因为S=2a2b2·在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1 时,S取得最大值,最大值为因此,ΔPQG面积的最大值为

事实上,前面提及的2019年高考新课标II 卷的第21 题正是基于以上一般性结论的基础上,将a2= 4,b2= 2 代入即可得到该试题的答案正是体现了解析几何试题中特殊与一般的转换思想.

特殊与一般的数学思想方法在试题中被广泛的应用,尤其是在处理一般性问题、抽象问题、运动变化问题和不确定性等问题时,都可考虑运用特殊与一般的思想方法去探求解题途径. 我们应该多加积累,充分挖掘试题的本质与背景,以期对“一般与特殊”的辩证关系的理解和掌握要达到较高的层次.