对数均值不等式在一类极值点偏移问题中的应用

安徽省合肥市第四中学(230000) 周赛龙 储炳南

1 对数均值不等式及其变式

对于任意的x1,x2＞0 且x1/=x2, 有:我们称此式为对数均值不等式,证明见文[1].

变式1

证明当x1＞x2＞0 时,由令得: lnx ＞(x ＞1).又由令故变式1 成立.

变式2(证明从略.)

2 运用对数均值不等式证明极值点偏移问题

引例已知函数f(x) =若方程f(x) =m有两个不等实数根x1,x2(x1＜x2). (1)求实数m的范围;(2)证明:x1x2＞e2;(3)x1+x2＞2e.

解析(1)0＜m ＜.(过程从略.)

(2)f(x)的图像如图1 所示,这是一道典型的极值点向偏移问题,且1＜x1＜e＜x2. 由

图1

结合对数均值不等式得:又由⇒lnx1+lnx2=m(x1+x2)＞m·=2⇒x1x2＞e2.

(3)因为0＜x1＜e＜x2,所以x1+x2＞所以x1+x2＞2e.

评注利用对数均值不等式不仅可以巧解极值点偏移问题, 而且可以加强不等式. 从上述证明引例的过程中,我们由对数均值不等式可得到:即x1+x2＞且x1x2＜由于0＜m ＜故x1+x2＞是一个比x1+x2＞2e 更强的不等式; 又由m(x1+x2)=lnx1x2＜于是我们得到了一组更强的不等式:

3 运用对数均值不等式进一步加强不等式

3.1 不等式x1+x2 ＞2e 的第2 次加强

由1＜ x1＜e＜ x2知: 0＜＞1.由=m结合lnx ＜(0＜ x ＜1) 得:mx1=lnx1=整理得:

由①②得:

评注因为0＜m ＜所以所以不等式x1+x2＞-e 比x1+x2＞更强.

3.2 对不等式x1+x2 ＞2e 第3 次加强

因为0＜x1＜e, 所以=m ⇒mx1= lnx1＜1⇒0＜x1＜因为x2＞e, 所以=m ⇒mx2= lnx2＞1⇒x2＞所以0＜x1＜＜x2.由lnx ＜(0＜ x ＜1) 得:mx1= lnx1=lnmx1-lnm ＜-lnm,整理得:

同理,由lnx ＞(x ＞1)得:

由③④式得:

3.3 对不等式x1x2 ＞e2 的第1 次加强

因为x1+x2＞-e,所以m(x1+x2) = lnx1x2＞所以x1x2＞e3-me.

评注因为0＜m ＜所以e3-me＞e2,所以,不等式x1x2＞e3-me比x1x2＞e2更强.

3.4 对不等式x1x2 ＞e2 第2 次加强

因为x1+x2＞所以lnx1x2=m(x1+x2)＞1-lnm,所以x1x2＞

评注由e3-me,所以不等式x1x2＞比x1x2＞e3-me更强.

3.5 加强结果

4 加强结果的应用

4.1 限定的范围

4.2 限定的范围

4.3 限定x21+x22 的范围

由x21+x22= (x1+x2)2-2x1x2＜整理得:x21+x22＜结合x21+x22＞2x1x2＞得: 综上,＜x21+x22＜

4.4 限定(x2-x1)的范围

由(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2(1＜x1＜e＜x2)得: (x2-x1)2＜整理得:x2- x1＜(x2-x1)2＞整理得:x2-x1＞综上,＜x2-x1＜

4.5 限定 的范围

评注类似地,等式子得范围均可进行限定,此处不再一一列举.

5 总结归纳

利用对数均值不等式不仅能简化与对数有关的极值点偏移问题,而且能加强极值点偏移问题中一些不等式. 但是,需要强调的是,在实际解题过程中,凡涉及使用对数均值不等式的,都需要给先给出证明. 值得注意的是,并不是所有的极值偏移问题都能用对数均值不等式解决,而本文所介绍的对数均值不等式法只是给出处理此类问题一种通法. 由于指数与对数是可以互化的,在指数型函数的极值点偏移问题中,对数均值不等式也有很好的应用. 有兴趣的读者可以对下面问题自行证明之,并可尝试探究更多更强的不等式.

变式已知函数f(x) =aex -x有两个零点x1,x2且x1＜x2.

(1)证明:x1+x2＞2;(2)证明:x1x2＜1;

(3)证明:x1+x2＜-2 lna; (4)证明:x1x2＞ae;

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