积分方法在判断级数敛散性中的应用

2021-11-18杨卓翟羽

科学与生活 2021年20期

杨卓翟羽

摘要：本文通过几个实例，介绍了定积分在判断数项级数敛散性以及求级数和运算中的应用，这种方法是数学分析级数理论中积分判别法应用的延伸.

关键词：数项级数正项级数敛散性定积分

数项级数敛散性的判别是数学分析课程中级数理论的重点和难点内容，其中又以正项级数的敛散性最为重要.大部分数学分析教材中涉及的正项级数敛散性判别法主要包括达朗贝尔判别法，柯西判别法和积分判别法等，它们的本质都是比较原則.其中，积分判别法是利用非负函数的单调性与积分性质，以反常积分作为比较对象来判断正项级数敛散性的方法，例如重要的级数的敛散性结论就是利用积分判别法给出的.关于级数的基本概念与理论，可以参考[1]和[2].接下来，我们将通过几个例子来进一步说明积分工具在处理级数敛散性问题中的重要应用.

（2013年第五届全国大学生数学竞赛（非数学专业类）预赛试题[3]）判断级数的敛散性，若收敛，求其和.

分析：判断正项级数敛散性时，我们主要采用的方法是比较估计级数通项趋于0的速度，经常选取的比较对象是级数.本题无法直接使用达朗贝尔判别法或柯西判别法判断，不过可以借助适用范围更广泛的拉贝判别法来判断其收敛性.这里，我们通过将通项分子中的各项转化为定积分，从而给出通项趋于0的速度的估计.

如果大家熟悉欧拉常数

那本题中得到的对通项的估计是非常显然的.

在级数理论中有一个常识性的结论：没有收敛最慢的正项级数，也就是说，对任何一个收敛的正项级数，总可以找到另外一个比它收敛更慢的正项级数.所以没有任何一种收敛判别法对所有的正项级数都适用.证明这个结论的方法有很多，下面的这种方法就利用了定积分这一工具.

通过以上几个例子我们可以发现，在估计正项级数收敛速度和计算级数部分和数列时，利用积分技巧，将通项转化为定积分形式，可以大大简化证明和计算的过程，且这个过程较容易理解.因此，掌握这种技巧对于处理某些类型数项级数的敛散性问题是十分必要的.

参考文献

[1]华东师范大学数学科学学院，数学分析（第五版）.高等教育出版社，2019.5.

[2]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第三版）.高等教育出版社，2019.5.

[3].吕新民，吕新华，大学生数学竞赛辅导及真题详解（第2版），北京航空航天大学出版社，2021.1.

[4].林源渠，方企勤，数学分析解题指南.北京大学出版社，2003.11.

[5].蒲和平，大学生数学竞赛教程.电子工业出版社，2014.7.